2025年高考数学一轮复习-9.6.2-直线和双曲线-专项训练【含解析】

9.6.2-直线和双曲线-专项训练【原卷版】基础巩固练1.已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（）.A.32 B.62 C.122.“mn<0”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F2A.x216−y29=1 4.已知双曲线的渐近线方程为y=±A.52 B.5 C.55 D.55.已知双曲线x2−y224=1的两个焦点分别为F1，A.23 B.24 C.25 D.266.若等轴双曲线C：x2A.1 B.2 C.2 D.17.已知双曲线M：x24−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2A.3+1 B.3+12 8.(2024·九省适应性测试)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C的左、右支分别交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2BA.2 B.2 C.5 D.7综合提升练9.（多选题）已知双曲线E：x2A.E的实轴长为2 B.E的焦距为4C.E的离心率为2 D.E的渐近线方程是y10.（多选题）已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b1A.a12−C.14e12+11.[2024·湖北模拟]（双空题）已知Px0,y0是双曲线E：x24−y2=1上一点，F12.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2应用情境练13.如图，某水杯的主体部分可以近似看作是离心率为5的双曲线C：x2−y2b2=1b>0的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若P为双曲线14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>1,b>0的焦距为2c，直线l过点创新拓展练15.（改编）已知椭圆和双曲线有相同的焦点（在x轴上）F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，若P为它们的一个交点，且∠16.已知双曲线C：x2a2−y2=1a>0（1）求双曲线C的方程.（2）设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断△MON(O9.6.2-直线和双曲线-专项训练【解析版】基础巩固练1.已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（B）.A.32 B.62 C.12[解析]因为2c=12，所以c=6.因为a=b，所以2a2=c2=362.“mn<0”是“mxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]因为方程mx2+ny2又当mn<0时，方程mx所以“mn<0”是“方程mx2+ny23.已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,−A.x216−y29=1 [解析]依题意得c=5，PF所以b=c2−a2=4，因为双曲线的焦点在y4.已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则双曲线的离心率为（A.52 B.5 C.55 D.5[解析]当双曲线的方程为x2a2−y2b2当双曲线的方程为y2a2−x2b2综上所述，双曲线的离心率为52或5.故选D5.已知双曲线x2−y224=1的两个焦点分别为F1，F2A.23 B.24 C.25 D.26[解析]由双曲线的定义可得PF解得PF2=6因为F1F2=2c=10，则因此S△F1P6.若等轴双曲线C：x2−yA.1 B.2 C.2 D.1[解析]由题意可知，双曲线C的方程为x2∴渐近线的方程为y=±又2c=4，则c=2，∴a=b=2，7.已知双曲线M：x24−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，记FA.3+1 B.3+12 [解析]如图，由题意可得，PF1⊥因为点P在第一象限，PF且PF1−P在Rt△F1PF2中，由勾股定理可得PF12+PF22=F1F22，即8.(2024·九省适应性测试)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C的左、右支分别交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2B=4A.2 B.2 C.5 D.7[解析]如图,设双曲线的半焦距长为c,离心率为e,由双曲线的对称性可知|F1A|=|F2B|,|F1B|=|F2A|,则四边形AF1BF2为平行四边形,令|F1A|=|F2B|=m,则|F1B|=|F2A|=2m,由双曲线的定义可知|F2A|-|F1A|=2a,故2m-m=2a,即m=2a,即|F1A|=|F2B|=m=2a,|F1B|=|F2A|=4a,F2A·F2B=|F2A|·|F2B|cos∠AF2B=4a·2acos则cos∠AF2B=12,即∠AF2B=π3,故∠F2BF1=则cos∠F2BF1=|F1B|2即20a2-4c216a2=-12,即2016-4e故选D.综合提升练9.（多选题）已知双曲线E：x2a2A.E的实轴长为2 B.E的焦距为4C.E的离心率为2 D.E的渐近线方程是y[解析]由题意得222a2−224=1，解得a=2，即双曲线E的方程为x24−y24=1,所以双曲线E的实轴长为4，焦距为4210.（多选题）已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=A.a12−C.14e12+[解析]由题意可得a12−b12不妨设P是第一象限的点，PF1=由椭圆和双曲线的定义可得m+n=解得m=a1因为∠F在△F1PF2化简为a12+3a22=4由a12+3a22=4c2，可得a1由e12+e22=141e12+3e22e12+e2211.[2024·湖北模拟]（双空题）已知Px0,y0是双曲线E：x24−y2=1上一点，F1，F[解析]在双曲线E中，a=2，b=1根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，如图，则PF因为F1F2=2c=25所以PF1=在△PF1F2则sin∠F所以S△12.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0[解析]设双曲线C的焦距为2c，离心率为e.当PF1⋅PF2=0∵e=5根据双曲线C上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当PF1⋅PF2<0时，应用情境练13.如图，某水杯的主体部分可以近似看作是离心率为5的双曲线C：x2−y2b2=1b>0的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若P为双曲线C[解析]由题意可知a=1,e=ca=所以b=故双曲线C的方程为x2−y2设双曲线C的右焦点为F2,则焦点F25,0到渐近线所以PF2与点P到双曲线C又PF=2a+PF2，所以PF与点P14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>1,b>0的焦距为2c，直线l过点a,0[解析]设直线l的方程为xa+yb由点到直线的距离公式，且a>1，得点1,0到直线l的距离d1=ba−1所以s=由s≥45c，得2ab因为e=ca，所以5e即4e4−25e2+即e的取值范围为[52,创新拓展练15.（改编）已知椭圆和双曲线有相同的焦点（在x轴上）F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，若P为它们的一个交点，且∠F1[解析]设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2,椭圆与双曲线的焦距为2c，则由∠F∴PF1∴22a将①②两式相加得4a12+∴4e12+e22=121e12+∴双曲线的渐近线方程为y=±16.已知双曲线C：x2a2−y2=1a>0（1）求双曲线C的方程.（2）设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断△MON(O[解析]（1）由题意，得Fc,0