三角形的“四心”及奔驰定理-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷15三角形的“四心”及奔驰定理

孱题型预策

内心问题

三

外心问题

ft及

形

奔

的

驰垂心问题

“

定

四

理重心问题

心

”

、奔驰定理

&题型突破

1.内心问题

1.已知点。是“3C所在平面上的一点，A/8C的三边为。,6,C,aOA+bOB+cOC=Q'则点。是。台。

的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

-»->

【分析】在NC上分别取点。，E,使得石=丝，成=江，以40,4E为邻边作平行四边形

cb

ADFE,即可得到四边形/DFE是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到A,。，尸三点共

线，即可得到。在/8/C的平分线上，同理说明可得。在其它两角的平分线上，即可判断.

【详解】在48，4C上分别取点。，E,使得方）=包，嬴="则石=/=1.

cb

以4D,/E为邻边作平行四边形产E,如图,

则四边形/r甲E是菱形，且而=而+/=包+型.

cb

•••4F为/BAC的平分线••..〃OA+bOB+cOC=0

:.a-OA+b-(OA+AB)+c^(OA+AC)=O，

即(a+6+c)0A+bAB+cAC=0，

->—>

•力b1e/厂be.ABAC.be六

-AO=------ABr+-t-----AC=------(——+——)二-------AF.

a+b+ca+b+ca+b+ccba+b+c

:.A,O,尸三点共线，即。在/A4C的平分线上.

同理可得。在其它两角的平分线上,

是。8C的内心.

故选：B.

2.已知点。是。BC的内心，48=4,NC=3,CB=ACA+juCO,贝!M+〃=()

457

A.-B.-C.2D.-

333

【答案】D

【分析】连接“。并延长交3c于点。，连接CO,则由角平分线定理得到CH,CD的长度关系，再由平面向

量基本定理，利用4。,。三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.

【详解】连接“。并延长交3c于点。，连接CO,

因为。是“BC的内心，所以为/历1C的平分线，

A/?4

所以根据角平分线定理可得右=方=£,

—•7—

所以C8=§CD,

因为4。,。三点共线，所以设丽=/0+(1-/)前，

则每二函=卫0+止^南，

333

因为屈二疝+//前,

_7t7(1T)_7

所以2+〃=§+—--=~,

故选：D

3.三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或

三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心

是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数

学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中

心.如图，〃是的垂心，分别交BC,4C,AB于D,E,F,则〃是心£尸的（）

【答案】A

【分析】根据题意，结合圆内接四边形的性质，分别证得4E2C和〃、D、C、E四点共圆，得到

ZFDA=ZHDE,即。〃平分/FDE,同理证得平分/EFO,EH平分/FED,即可得到答案.

【详解】因为H是“8c的垂心，所以尸，N2,

所以44。。=乙4尸。=90°,所以4尸,AC四点共圆，所以=，

又因为“是“BC的垂心，ADLBC,BE1.AC,所以NNDC=NBEC=90°

所以N/OC+NN/C=180°,所以，、AC、E四点共圆，NFCA=/HDE,

所以NFDA=NHDE,即平分/FOE.

同理：FH平分/EFD,EH平分■NFED，所以“是尸的内心.

故选：A.

4.校考期末）已知/为“BC的内心，且满足4万+3岳+3^=0,若小8C内切圆半径为2,则其外接圆半

径的大小为（）

99

氏3c4

A.2-4-D.

—3—

【分析】取3c边的中点。，根据给定条件可得//=,">,求出"，进而求出sin/A4c及3C,再利用正

弦定理求解作答.

【详解】在“3。中，取3C边的中点。，连接〃）,

__3_►3►

则方+人2而，而疝+3而+3%=0,有力=*+向=/,因此点40共线,

-AB-ADsmZBAD«

AB2_S,BD

由/为的内心，得。平分即有二“BD

2/5ZC,]c1,

AC/-AC-ADsinZCAD)"CDCD

2

3

因此/5=/C,ADIBC,有〃)=2,AI=-ID=3,令“5C内切圆与边/C切于点E,连接",

IF2/-------；--------Js

贝!]7E_L/C,"=2,smZIAC=—cosZZ4C=V1-sin2ZZ4C=-y

AI

tan/L4c=2,sinABAC=2sinZZ4C-cosZIAC=述，

J59

在RtA4CD中.BC=2CD=2AD,tanZ.IAC=2x5x-^==4^/5

1BCI4759

n---,-------------,--------

令AA8C外接圆半径为R,由正弦定理得2sin/历IC24752.

9

故选：A

在中，

5.AA8cAB=5,ZC=4,cos/=',。是“BC的内心，若丽=%为+）工，其中x/£[0,l],

8

则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（)

A.史B.迫1077

C.D.3v7

843

【答案】D

【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点尸的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内

切圆半径，即可由三角形面积公式求解.

【详解】由历=》赤+＞成，x,ye[O,l],

根据向量加法的平行四边形法则可知：动点尸的轨迹是以03，0c为邻边的平行四边形O8DC及其内部，

其面积为BOC的面积的2倍.

在AABC中，设内角4瓦。所对的边分别为。，b,c,

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA=16+25-2x4x5x^=36,得a=6.

8

设的内切圆的半径为〃,则m°sinZ=；(a+b+c)r,

所以4x5x3'=15r,解得r=迫^，

82

诉“c_1久不_3币

//T以oRCC——XQX/一一x6X------.

△ABOC2222

故动点尸的轨迹所覆盖图形的面积为2sAB。。=3A/7.

故选：D.

6.设。为AABC的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nAC(m,neR),则加+〃=()

25_32

A.-B.-C.—D.一

3955

【答案】B

【分析】取的中点E,连/E，则C区为内切圆的半径，利用面积关系求出^AO=^AE,再根据

血=；(益+可得而=(益+由平面向量基本定理求出机，〃可得答案.

【详解】取3C的中点E,连/E,

因为/3=/C=5,BC=8,所以4EL8C,AE=^52-42=3.

所以。8C的内心。在线段ZE上，OE为内切圆的半径,

因为S&ABC=S^AOB+S40c+SABOC,

所以:/E.2C=；0E.(/8+/C+3C),

114

所以5X3X8=]O£・(5+5+8),得OE=§,

45

所以/O=/E—O£=3——=—,

33

—►5—►

所以/。二§力£,

又万(次+X),所以市5=(次+：/，

又已知/。=加45+C，所以加=〃=「，

所以加+〃=-.

【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径，进而得到方荏是本题解题关键.

2.外心问题

7.“8C中，为BC边上的高且丽=3灰，动点尸满足万•前=-2瑟\则点尸的轨迹一定过“BC

4

的()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】A

【分析】设忸C|=4a,|/叫=6,以"为原点，HC＞由方向为x、了轴正方向建立空间直角坐标系，根

据已知得出点C的坐标，设尸(xj),根据万•前=-;数2列式得出点P的轨迹方程为x=-a,即可

根据三角形四心的性质得出答案.

【详解】设忸C|=4a,

以"为原点，HC＞立方向为X、》轴正方向如图建立空间直角坐标系,

BH=3HC，

\BH\=3a,\HC\=a,

则“（0,0）,S（-3a,0）,C（%0）,4（0,6）,则就=（4a,0）,

设尸（x,y）,则N=（x,y-＞）,

■：APBC=--BC2,

4

12

4ax——1（4a）,即x=-u,

即点P的轨迹方程为x=-a,

而直线x=-a平分线段BC,即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，

根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过A4BC的外心，

故选：A.

8.M为△NBC所在平面内一点，S.2BM-CA^-BC2＞则动点M的轨迹必通过△/2C的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【答案】C

【分析】设边/C的中点为D,结合向量的线性运算法则化简向量等式可得痴=0，由数量积的性质

可得由由此可得结论.

【详解】设边/C的中点为D,

因为2版.第=加2-前二

所以2而?.而=（方+反•（血_灰?），

所以2就育=2而0，

所以（丽?_而）0=0,

所以丽乙G5=0，

所以豳_L^3，又点。为边NC的中点,

所以点M在边/C的垂直平分线上，

所以动点M的轨迹必通过△48C的外心,

故选：C.

9.已知点。为。8C所在平面内一点，在中，满足2益•击=|诟。2/.刀=|就『，则点。为

该三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

【答案】B

【分析】由2万.前=画，禾I」用数量积的定义得到|倒.cos（丽击）=3画，从而得到点O在边的

中垂线上，同理得到点。在边NC的中垂线上判断.

【详解】解：根据题意，2AB-Ad=^,即2方.方=2|在口叫卜05（而，而）=|方.

所以国.cos（AB,而）=/向，则向量而在向量存上的投影为画的一半，

所以点。在边的中垂线上，同理，点。在边NC的中垂线上，

所以点。为该三角形的外心.

故选：B.

10.在“8C中，设元2_冠2=2方乙（正一彳§）,那么动点〃的轨迹必通过“BC的（）

A.垂心B.内心C.重心D.外心

【答案】D

【分析】设线段BC的中点为。，推导出DW_L5C,结合外心的定义可得出结论.

【详解】设线段BC的中点为。，则加、比互为相反向量，

所以，益+%=（而+丽）+（而+反）=225+（丽+反）=2诟，

因为就2_方2=2而.（就—方），即（刀+刀）.（就一万）=2育•前,

所以，（AC+AB-iAC-AB=2AM-BC,即=，

即前•（6一通）=瑟•萩=0,gpDMLBC,

所以，0M垂直且平分线段8。，

因此动点M的轨迹是3C的垂直平分线，必通过“BC的外心.

故选：D.

11.已知。是平面上一定点，/、B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

___,___,（_,\

OA+OB.CACB.4...,,,,,,.

OP=---+2曰-----+尸=）-----,2GR,则P的轨迹一定经过A/BC的.（从“重心”，“外

2［修际/烟cos%

心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）

【答案】外心

/___、

【分析】。为28中点，连接CD,计算赤一°'+°'=赤,广辛一+尸#—•方=0,得到

2G4cosZCBcosB

DP1BA，得到答案.

【详解】如图所示：。为Z5中点，连接C。,

―.A

OA+OB—►—•CACB

pp.=OP—OD=DP,i^DPBA=A曰——+-BA=0,

C4cos/cosB

7

即方1,0，故尸的轨迹一定经过。BC的外心.

故答案为：外心

12.在“8C中，动点尸满足02=而2_2诟.万，则p点轨迹一定通过“BC的（）

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】由92=而2_2次.而变形得方.（即+方）=（）,设25的中点为E,推出刘，丽，点P在线

段的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.

【详解】因为02=无2_2万.无，

ul>、I---------->2--»2---,---------►---------►

所以24B-CP=CB-CA=(CB-CA)■(CB+CA)=AB-(CB+CA)>

所以万（2而一屈心）=方.（而+N）=0,

设48的中点为E,则丽+万=2而，则益・2而=0,

所以在，而，所以点尸在线段的中垂线上，故点尸的轨迹过。8C的外心.

故选：A

3.垂心问题

13.（多选）己知M,N在“8c所在的平面内，且满足式/丽7=丽心市^日日.力应,=NB+2NA,

则下列结论正确的是（）

A.M为448c的外心

B.M为A/8C的垂心

C.N为“8C的内心

D.N为A45C的重心

【答案】BD

【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案.

【详解】由题意加•标=标•标=也。疝，

所以痂.（疝_祝）=0,

即标-B=0，所以

同理可得：MA1BC,MC1AB,

所以M为“BC的垂心；A错误,B正确;

因为0=赤+2^3=福一前所以豆+血+觉=0,

所以福+砺=_觉，

设48的中点。，则福+福=2而，

所以-觉=2而，

所以C,N,。三点共线，即N为人48c的中线8上的点，豆NC=2ND,

所以N为“BC的重心,C错误,D正确.

故选:BD.

Q__»__>

14.（多选）已知77为△ZBC的垂心，面积为S,a=ZJCOSC+—,BH•BC=6，则一'定有（）

A.8=60。B.S=3公C.622石D.丽=；匹+网

【答案】ABC

【分析】对于A,由正弦定理边化角，结合三角形的内角和以及三角恒等变换即可求出角5；对于B,根据

已知条件将丽.贰=6转化为防•数=6，运用数量积公式求出死=12,再根据面积公式求出A/BC的面

积；对于C,根据余弦定理以及重要不等式即可求解；对于D,取/C的中点。，连接助，假设

丽=；（数+诙）成立，得出优〃,。三点共线，进而结合以上选项得出结论.

【详解】依题意，如图所示，

c1

对于A,a=bcosC+—f由正弦定理，^#sin^=sin5cosC+—sinC,

A+B+C=180°,:.A=180°-（B+C）,

sin[180°-（8+C）]=sin5cosC+-^sinC,即cos5sinC=；sinC,

sinC^O,cosB=-,又0°<2<180°,.•.3=60°,A正确；

2

对于B,-.-RHBC=6^：\BA+AH^-BC=6,BA-BC+AH-BC=6

•.,"为A/BC的垂心，.-.AH-BC=Q,;.BA-BC=6,

|s^|jsc|cosJ?=6,即ac=12,

:.S.Rr=-acsinB=--n--=3y/3,B正确；

“BC222

对于C,由余弦定理得，

b2=a2+C1-2accos5=a2+c2-12>2ac-12=12,

当且仅当a=c=2有时，等号成立，此时622vLC正确;

对于D,取4C的中点。，连接2。，则数+茄=2而，

假设丽=；（元+四成立，则丽=g而，此时民〃,〃三点共线,

又•；BH上AC,AD=DC,ZB=60°,

二A/8C为等边三角形，与题意不符，D错误.

故选：ABC.

——►1—►2—、

15.已知〃为的垂心（三角形的三条高线的交点），^AH=-AB+-AC,贝lJsin/8/C=

【答案】逅4指

33

【分析】由题可得而=-g而+£太，CH=^AB-^AC,利用丽.就=0，国.次=0得

3AC5AB

可得COS2/A4C=；,再利用平方关系结合条件即得.

cosNB4c=一,cos/BAC=-^=：

5AB9AC

【详解】因为而=:方+：就，

—►—►---►2—►2—►—►—►----►1—»3--

所以3〃=8/+4〃=一§/8+5/。，同理=+—,

由77为△4BC的垂心，得丽.k=(),B|jf-|28+|^cj-2c=0,

3AC

可知gl就『=|•国画

cos/A4c即cos/B4C=一

5AB

同理有函.益=0，即万一|就)在=0,可知曰=詈元U方卜os/2/C,B|JcosABAC=-^=

0112

22WTI

所以cos?ZBAC=-fsinABAC=l-cosABAC=又N8/C（0,）,

所以sin/5/C=^

3

故答案为：好.

3

一一一.1—.1—»

16.已知一BC的垂心为点。，面积为15,且//8C=45。，则2Z).gC=;BD=-BA+—BC,则

叫=——•

【答案】3025

【分析】利用向量的运算表示出防，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出第2,前2,

—■1—•1—.

对AD=5A4+§3C平方可求模长.

【详解】如图，

47/是“8C的5c边上的高，则亚•贰=0；设布=2而，

因为乙4BC=45。，面积为15,所以g网国5皿45。=15,即网困=30亿

BD-BC=(BA+ADyBC=(BA+AAHyBC

=防灰+2而灰=网回回45。=30.

由第一空可知丽.前=30,所以而-就=&加+；就｝就=；加・瑟+；瑟2=30；

所以就2=45，由|研|就卜30夜可得用卜2质，即第2=40；

—►1―►1—►

因为5。=-5/+—5C,

23

所以赤2=-A42+-BC2+-A4SC=-A42+-SC2+10=10+5+10=25；

49349

故答案为：3025.

17.若。是“8c内一点，且刀.无=次.标=反./，则。为"8C的（）

A.垂心B.重心C.外心D.内心

【答案】A

【分析】根据条件，可得方•而=历・0=双•诙=0，即CMJ_8C,O8J.4C,OC1AB,从而可得答案.

【详解】因为次•砺=刀历•砺，

即方•赤=无&=双•互5=0,

则CM_L8C3_L/C,OC1AB,

即。是三条高线的交点，为“BC的垂心.

故选：A.

4.重心问题

18.若。是。3C内一点，OA+OB+OC=Q,则。是“8C的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

【答案】D

【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.

【详解】取线段48的中点。，连接。。，则次+砺=2历，^\OA+OB+OC=Q，

线段。。是一8。的中线，且。是靠近中点。的三等分点,

所以。是A/BC的重心.

故选：D

19.已知。为“BC所在平面内一点,。是的中点，动点尸满足赤=（1一刈历+20Q（2eR）,则点尸

的轨迹一定过“BC的（）

A.内心B.垂心C.重心D./C边的中点

【答案】C

【分析】由动点P满足9=(1-川历+彳工，且1-彳+彳=1,得到尸C。三点共线，进而得到答案.

【详解】由动点P满足历=(1-彳)而+2区(XeR),Ml-2+2=l,

所以尸,C,。三点共线，

又因为。为43的中点，所以CD为。8c的边45的中线，

所以点尸的轨迹一定过dBC的重心.

故选：C.

20.边长为2的等边三角形ZSC的重心为G,设平面内任意一点尸，则N.不的最小值为.

【答案】

【分析】由题意，建立直角坐标系，表示出坐标，利用数量积的坐标表示，建立函数关系，可得答案.

【详解】由题意，设等边"8C的边长为2,以3c的中点。为原点，以。CO4分别为x，了轴建立直角坐标

由G为等边的重心，则。/=e，OG=R即/(0,6)，G0,1

设P(x,y),

对于Vx/eR,x2+20,故万

故答案为：

21.已知。,4瓦。是平面上的4个定点，4瓦。不共线，若点P满足赤=刀+川方+%),其中XeR,

则点尸的轨迹一定经过A/8C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】A

【分析】设3C边的中点为。，则刀+衣=2而，进而结合题意得/=2/1诟，再根据向量共线判断即

可.

【详解】解：根据题意，设3C边的中点为D,则在+元=2而，

因为点尸满足赤=刀+2（方+就），其中4cR

所以，OP-OA=AP=A（AB+AC）=2AAD,即万=22而，

所以，点尸的轨迹为“3。的中线40,

所以，点P的轨迹一定经过“8C的重心.

故选：A

22.。是平面上一定点，/、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点尸满足：OP=OA+A（AB+AC\

2>0,则直线/P一定通过△/2C的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】取线段8c的中点E,则在+^=2次.动点尸满足：OP=OA+A（AB+AC）,2>0,贝|

AP=2AAE■即可判断出结论.

【详解】取线段2c的中点E,则益+%=2荏.

动点P满足：OP=OA+A，C4B+AC^2>0,

贝啰-H5=2/C匠

贝UAP=2AAE.

B

P

E

々------------

AC

则直线AP一定通过△/8C的重心.

故选：C.

23.。是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线三点，动点尸满足赤=厉+2（方+就），Ae[0,+co）,

则尸的轨迹一定通过“8C的（）

A.外心B.垂心C.内心D.重心

【答案】D

【分析】根据向量线性关系可得〃益+就）=万，结合方+%的几何意义判断所过的点，即可得答案.

【详解】由题设〃方+刀）=砺-9=方，

而方+就所在直线过3c中点，即与8。边上的中线重合，且沈e[0,+℃）,

所以尸的轨迹一定通过抗1BC的重心.

故选：D

5.奔驰定理

24.设点。在AASC内部，B.5OA+3OB+7OC=b>则与-0C的面积之比为.

【答案】5:1

【解析】本题可根据奔驰定理以及5刀+3赤+70C=6得出结果.

【详解】因为点。在内部，满足奔驰定理•刃+$△/",历+•云=。，且

50A+30B+70C=0>

所以"8C与“0c的面积之比为（5+3+7）:3=5:1,

故答案为：5:1.

【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考

查计算能力，是简单题.

25.已知点N,B,C,尸在同一平面内，PQ=^PA,QR=^QB,RP=^RC,则又小：国咏等于（）

A

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【答案】B

【分析】先根据向量的线性运算得到4万+6万+9定=6,然后再利用奔驰定理即可求解.

【详解】由班可得：PR-PQ=^(PB-P&,

—1—■2—1"■2—

整理可得：PR=-PB+-PQ=-PB+-PA,

由而=g正可得而=$正_函，整理可得：PR=-^PC,

1―►1—>2—►

所以-「「。二1必+工功，整理得：4PA+6PB+9PC=0

239

由奔驰定理可得：S.ABC:Sp5c=(4+6+9):4=19:4,

故选：B.

26.已知。是“5。内的一点，若A5OC,44OC,A^O5的面积分别记为与邑应，则

S^OA+S^OB+S.OC^.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.

如图，已知。是“3C的垂心，JLa4+2d5+3OC=6，贝|Jtan/A4C:tan/ABC:tan//C2=()

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【分析】延长C。，BO,/。分别交边NSAC,BC于点、P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推得

tanABAC:tanNABC:tanN4cB=耳：S2:S3即可求解作答.

【详解】。是的垂心，延长CO,B0,/。分别交边48,AC,BC于点、P,M,N,如图,

则CP1AB,BM1AC,ANIBC,/BOP=ABAC,ZAOP=/ABC,

EBPOPtanZBOPtanABAC_S}tanABAC

因此'5-1?一OPtanNAOP一tanN4BC'同理tanN/CB'

于是得tanZBAC:tanZABC:tanZACB=SX:S2:S3,

Xa4+2OB+3OC=6，即双=-；刀-1砺，由“奔驰定理”有S1・方+$2•砺+S3

贝1」。。=一3°,一3。8，而。3与赤不共线，有［=9，去=；，即&:邑J=1:2:3,

所以tanABAC:tanZABC:tan/ACB=1:2:3.

故选：A

1*3

27.如图所示，点G是AABC内一点，若S~GB=7,5AsGC=5,S”GC=6,且就=xN§+y就，则

x+尸.

【分析】方法一：根据三角形的面积利用奔驰定理可得5击+6行+7元=6,然后利用平面向量的线性运

算得出x=W1，y=高7，进而求解即可.

J10

17

方法二：以G为重心，在“BC内作△£尸C,根据重心的性质和平面向量的线性运算即可求出了二彳/二.,

318

进而求解即可.

【详解】方法一：因为S〜GB=7,SCGB=5,S^AGC=6,

所以SAAGB：S.CGB：S.4GC=7：5：6,

,由奔驰定理可得：5GA+6GB+7GC=Q>

即5GA+6(GA+AB)+7(GA+AC)=0,

整理可得：18GA+6AB+7AC=0,

即前=9方+工X」方+2%,

1818318

71713

所以x=g,y贝|J尤+y=]+=

183lo18

13

故答案为：

1O

方法二：在G4上取一点E,使得面=2菖，

在G3上取一点使得圆=3豆，连接GE,EF,FC,

所以S«EGF=1X,S«/GB=亍，SaCGE=飞SaAGC=3'S“CGF=SKGB=

所以G为AEFC的重心，所以历+不+&1=6，

也即m0+豆+元=6,所以5s2+6&+7元=6,

即5G3+6(G2+A8)+7(G2+^C)=6,

整理可得：18刀+69+7正=6,

^AG=-^-HB+—AC=-AB+—AC,

1818318

171713

所以x=q,y,贝"+V=—+—

31031818

故答案为：得13.

lo

28.（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes6e〃z）

的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是“BC内的一点，^BOC,"OC,AAOB

的面积分别为邑，S",Sc,则邑.夕+邑•砺+S0•反=0.若。是锐角AABC内的一点，A,B,C是“BC

的三个内角，且点。满足次.砺=砺.就=厉.诙.则（）

A.。为A/BC的外心

B.ABOC+A=n

C.\p^\'■|^|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanBOB+tanCOC=6

【答案】BCD

【分析】由根据数量积的运算律可得历=0=可得。为“8C的垂心；结合

ZOBC+C+NOCB+B="与三角形内角和等于万可证明B选项；结合B选项结论证明cosA:cosB=OA:08即可

证明C选项，利用奔驰定理证明邑：邑=tan/:tanB可证明D选项.

【详解】解：因为厉•砺=砺•诙o砺―(刀-成?)=0o历=OoOBJ.C4,

同理OCLAB,故。为“BC的垂心，故A错误；

JTTT

ZOBC+C=-,ZOCB+B=-,所以NOBC+C+NOCB+B”，

又NOBC+NOCB+NBOC=乃,所以NBOC=C+B,

又A+B+C=%,所以/8。6+/=万，故B正确；

故/=；T-N3OC,同理3=TT-N/OC,

延长CO交N3与点P,贝I]

OPOP

cosA:cosB=cos(乃-ABOC):cos(7-Z.AOC)=cosNBOP:cosNAOP==OA:OB,

同理可得cos/:cosC=0/:OC,所以cos』：cosB:cosC=CM:OB:OC,故C正确；

SA:5S=(1-OC-BP):^OCAP)=BP:AP=OPtanNPOB:OPtanZAOP

=tanZBOC:tanZAOC=tan(%-/):tan(乃-B)=tanA:tanB,

同理可得邑：品=tan/:tanC,所以S/：S§:S0=tan:tanB:tanC,

又邑，・刀+Ss•砺+Sc•炭=0,所以tanaE+tan历历+tan。芯=0，故D正确.

故选：BCD.

29.奔驰定理：已知。是AA8C内的一点，ABOC,AAOC,胆03的面积分别为邑，SB,Sc,则

5/万+其•砺+Sc•觉=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若。是锐角AA8C内的一点，A,

B,C是A/1BC的三个内角，且点。满足刀.砺=历.反=反.西，贝I］必有（）

A.sinA-OA+sin5-OB+sinC-OC=0

B.cosA-OA+cosB-OB+cosCOC=0

C.tanA-OA+tanBOB+tanCOC=0

D.sin2A-OA+sm2B-OB+sm2C-OC^0

【答案】C

【分析】利用已知条件得到。为垂心，再根据四边形内角为2%及对顶角相等，得到408=%-C,再根据

数量积的定义、投影的定义、比例关系得到网：|词：®=cos/:cos2:cosC,进而求出邑：邑：品的值,

最后再结合“奔驰定理’得到答案.

【详解】如图，因为方.砺=砺・历•夕,

所以砺•（a-反）=0n丽•爹=0,同理加.数=0，OCAB=0,

所以。为AABC的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以N/O8=;r-C,

8.历=|词词cos(乃_C)=-网画cosC.

同理，:.OB-OC=-\OB\iOC\cosA,

:.OC-OA=-\OC\\OA\cosB,

|Guilds|cosC=|O5||OC|COS/=|OC\\OA\cosB.

|E"^|cosCI砺I玩||E|COS3

|O4||dB||0C|-1041108||OC|一|04||OB||dC|

|cu|:|(95|:|t)c|=cosA:cosB:cosC.

又S<=|OBOC^TT-A)=~OBOCsinA

1---------1----------

SB^-OAOCsin(^-B)^-OAOCsinB

OBOAsm(7i-Q=^OBOA

sinC

吧吧=

ss”:ssiM.sinBsinC,「「

-------=tanA:tanB:tanC.

|O5||oc|cos/cosBcosC

由奔驰定理得tan/-E+tan8•砺+tanC•灰=6.

故选C.

O限时训”

1.已知点O是边长为新的等边△NBC的内心，贝ij（反+厉）―（厉+砺）=

【答案】□!

【分析】根据正三角形，求出|厉1=1而|=|双