函数模型及其应用（五大题型）（练习）原卷版-2025年高考数学一轮复习

第08讲函数模型及其应用

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：二次函数模型，分段函数模型............................................................2

题型二：对勾函数模型..........................................................................3

题型三：指数型函数、对数型函数'幕函数模型...................................................4

题型四：已知函数模型的实际问题................................................................5

题型五：构造函数模型的实际问题................................................................6

重难创新练.....................................................................7

真题实战练....................................................................12

题型一：二次函数模型，分段函数模型

1.（2024・高三•四川巴中•期末）已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城

市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市.汽车从甲城市出发时，时间x

（小时）记为0,在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）

表示成时间x（小时）的函数为（）

fl00x,0<x<1.2

A.y=\

[80x,x>1.2

fl00x,0<x<1.2

B.y=5

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y=<120,1.2<x<2.2

120-80x,2.2<x<3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

2.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.

刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现

情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m,乙车的刹车距离略超

过10m.已知甲车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为S甲=击丫2一吃丫，乙车的刹车距离sm与车速

vkm/h之间的关系为电=/v2-：v.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（）

A.甲、乙两车均超速B.甲车超速但乙车未超速

C.乙车超速但甲车未超速D.甲、乙两车均未超速

3.（2024・高三.浙江•开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价.

高峰时间段用电价格表：

高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）

50及以下的部分0.568

超过50至200的部分0.598

超过200的部分0.668

低谷时间段用电价格表:

低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）

50及以下的部分0.288

超过50至200的部分0.318

超过200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付

电费为（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

题型二：对勾函数模型

4.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2dm,

左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是（）dm2.

C.120D.88

5.一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的祛码放在

天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄

金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为xg,则无与

20的大小关系为（）

A.x<2QB.x>20

C.x=20D.无法确定

6.（2024.内蒙古呼和浩特.一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅

画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远

处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）己知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3

米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

7.某厂计划建造一个容积为8m3,深为2nl的长方体无盖水池.若池底的造价为120元每平方米，池壁的造价

为100元每平方米，则这个水池的最低造价为元.

8.某景区的平面图如图所示，其中AB,AC为两条公路，Zfi4C=135°,P为景点，AP=10,AP±AC,

现需要修建一条经过景点P的观光路线MN,M,N分别为A3,AC上的点，则AAMN面积的最小值

题型三：指数型函数、对数型函数、募函数模型

9.某食品的保鲜时间》（单位：小时）与储存温度x（单位：。C）满足函数关系丁=/+"（e=2.718…为自

然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22。。的保鲜时间是48小时,

则该食品在33℃的保鲜时间是一小时.

10.考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），

已知古生物中该元素的初始存量为m经检测古生物中该元素现在的存量为g,请推算古生物距今大约―

年（参考数据：lg2H）.3）.

11.某医院开展某种病毒的检测工作，第〃天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时“〃）（单

<NQ

位：小时），/（"）=,a。,No为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和

第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为小时.（精确到1小

时）

12.测量地震级别常用里氏级，它是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数值.如日本1923年地震是

8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，问日本1923年地震强度是旧金山1906年地震强度的

e.（lg2«0.3）

题型四：已知函数模型的实际问题

13.（2024.浙江绍兴.模拟预测）人类已进入大数据时代.目前，数据量己经从TB（1TB=1O24GB）级别跃升

到PB（1PB=1024TB）,EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明,

2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到1.125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量P与年份

f的关系为「二雄广,期，其中4，。均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.

14.科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁

波（光）的物体.然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间

辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比，即3=行为玻尔兹曼常数.而我们在

做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，2为纵坐标，以广为横

坐标，则能够近似得到（曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写

出其可能的横纵坐标的变量形式.

15.（2024.北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中。是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决于

多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=力.当。,S不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则尸比原来提高超过40%

C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使P不变，则C比原来降低超过40%

16.小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约

着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例尸与小微企业的年收入尤（单

-0.968+Ax

位：万元）的关系为尸=言丽时传€1t）.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为50%,

若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据：ln3«1.0986,In2»0.6931）（）

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

题型五：构造函数模型的实际问题

17.（2024・江西•二模）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示，饮茶温度最

好不要超过6CTC.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃,68℃,给出三

个茶温7（单位：。C）关于茶泡好后置于室内时间r（单位：分钟）的函数模型：①T=H+b（。<0）；②

T=logj+仇©T=20+b-a\b>0,0<a<l）.根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模

拟茶温7（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮

用至少需要等待的时间为（参考数据lg2土0.301,馆3。0.477）（）

A.2.72分钟B.2.82分钟

C.2.92分钟D.3.02分钟

18.（2024・福建•模拟预测）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下

表：

小数记录X0.10.120.15L11.21.52.0

五分记录y4.04.14.2L55.15.25.3

现有如下函数模型：①y=5+lgx,②y=5+1lg1,X表示小数记录数据，V表示五分记录数据，请选择

10x

最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据

为（附10°3=2,5422=o.7,1O01=0.8）（）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8

19.（2024・高三・云南・期中）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需的

时间）为21个月，则100只野兔增长到100万只野兔需要（）个月.（记a=lg2,&=log212）

A.84〃B.—C.84Z?D.—

ab

20.（2024.云南昆明.模拟预测）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到

法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于

80mg/100ml的驾驶行为;醉酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的驾驶行为

据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含

量为100mg/100ml,若经过eN*）小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,贝！］”的最小值为（参

考数据：馆2。0.3010）（）

A.7B.8C.9D.10

21.（2024•山西朔州•模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅

楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y（单位：万元）的数据整理

成如图所示的散点图：

每平米平均建筑成本/万元

20

15

10

5

01020,3040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数1的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+be"

C.y…2

D.y=a+bx2

X

1.（2024.北京.三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间

站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技

术，设计了如下实验：目标尸在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m的A,8两点各放置一个传

感器，分别实时记录48两点与物体尸的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函

数图像，分别如曲线。，6所示.%和马分别是两个函数的极小值点.曲线0经过（0,和色,4）,曲线6

经过色,々）.已知物=r2t2,r1=4m,f2=4s,并且从7=0时刻到/=芍时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲

线数据可知，尸的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及尸的速度大小分别为（）

B.色,色m/s

72

D.2,述m/s

72

2.（2024・湖南益阳•三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照

同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5

年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法,设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是皿加wN）万,

则〃，=（）

A.13B.14C.15D.16

3.（2024・重庆•模拟预测）物理学家本・福特提出的定律：在》进制的大量随机数据中，以“开头的数出现

的概率为片（小二卜8,"1,应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定

n

律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（）倍（参

考数据:lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

4.（2024•北京通州.二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：

月）的关系式为S=（。＞0,且,图象如图所示.则下列结论正确的个数为（）

①浮萍每个月增长的面积都相等；

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是1,4，4，贝M+4=/3.

5.（2024・陕西西安・模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发

布会的第28场发布会.会上提出蒙古国、中国，包括东北亚的日本、韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治

沙、植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持

续时间大于r的沙尘暴次数N满足N=A?l（y仍，目前经测验A地情况气象局发现，t=300时，次数

N=5,f=600时，次数N=3,据此计算N=4时对应的持续时间/约为（）

（参考数据：lg2«0.301,lg3«0.477）

A.389B.358C.423D.431

6.（2024.贵州遵义.一模）近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样

性、农牧业生产等构成巨大威胁.某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个

月就增长1倍.假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要（坨2。0.3010）（）

A.8年B.10年C.12年D.20年

7.（2024.四川.模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km

自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/（单位：W/n?）表示声音在传播途

径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强/的函数关系式为L=41g（a/）,其中％为基

准声强级，。为常数，当声强/=、时，声强级L=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的声强级:

声源与声源的距离（单位：m）声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为4,A/，则下列结论正确的是（）

A.4=30B.>AC.Z2>10Z3D.A<100Z2

8.（2024•陕西商洛•三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统.己知过滤

过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间r（小时）的关系为"=乂片"（N。为最初的污染物数量）.如

果前3小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）

A.2.6小时B.6小时C.3小时D.4小时

9.（多选题）（2024.辽宁・二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，

用/⑺表示从"0开始，晶体管数量随时间，变化的函数，若/（0）=1000,则下面选项中，符合摩尔定律公

式的是（）

A.若，是以月为单位，贝4⑺=1000+甯f

B.若t是以年为单位，贝!]/«）=1000x（应y

C.若，是以月为单位，贝Ulg/⑺=3+黑/

D.若，是以年为单位，则igB?+i]

唔JJ2

10.（多选题）（2024.安徽蚌埠.模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如

果物体的初始温度为4℃,空气温度稣。c保持不变，贝h分钟后物体的温度。（单位：℃）满足：

，=4+（4-3若空气温度为该物体温度从*c（90<^<100）下降到30。（2,大约所需的

时间为％,若该物体温度从7（TC,50P下降到3（FC,大约所需的时间分别为£明则（）（参考数据:

ln2«0.7,ln3«l.l)

A.々=20B.28%V30C.D.<6

11.（多选题）（2024.全国•模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线.为了解自己记忆一

组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x（单位：天）之

7

---工+1,0＜工41

20

间的函数关系y==,.则下列说法中正确的是（

A.随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

12.（多选题）（2024•河南•模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：k=Ae^（R和

A均为大于。的常数），人为反应速率常数（与反应速率成正比），T为热力学温度（T＞0）,在同一个

化学反应过程中纥为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为刀和4时，反应速率常数

分别为左和内（此过程中A,R与纥的值保持不变），则（）

A.若工＞匕，则尤＞七

B.若工〉T?,则匕＜心

Ek

C.若n=37；,--^=M,则In^=-M

k22

Ek

D.若（=37；,--±=M,则Inf=-M

3

13.（2024•河南洛阳•模拟预测）在高度为3.6m的竖直墙壁面上有一电子眼A,已知A到天花板的距离为2.1m,

电子眼A的最大可视半径为0.5m.某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒

（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为s.（注意：位移与时间的

函数关系为s=gg〃，重力加速度g取lOm/s?）

14.（2024.上海长宁•二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：

甲乙丙

接单量f（单）783182258338

油费s（元）107150110264110376

平均每单里程女（公里）151515

平均每公里油费。（元）0.7

山工目左…讪如出租车没有载客行驶的里程

出租车空驶率=出租车行驶的总里程;依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型

u=f{s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%,贝!]x=（精确到0.01）

15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的

含药量）（毫克）与时间〃小时）成正比；药物释放完毕后，y与，的函数关系式为y=。为常数）.根

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量v（毫克）与时间r（小时）之间的函数关系式为；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始,

至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

16.（2024•北京朝阳•一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化

=Xocosh（«^力）_、_丫0sinh

_了，其中正实数X。，总分别为红、蓝两方初始

遵循兰彻斯特模型：,

y⑺=4cosh（-J—X。sinh

兵力，r为战斗时间；x«）,分别为红、蓝两方f时刻的兵力;正实数。，6分别为红方对蓝方、蓝方对

红方的战斗效果系数；coshx="二和sinhx=《]:分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝

两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为♦给出下列四个

结论：

①若X。〉毛且“则xQ）＞y"）（OW”T）；

②若X°＞乂且。=＞，则T=4n佟耳

xy

ayo~o

X。b

③若”＞一，则红方获得战斗演习胜利;

匕a

④若与＞肥，则红方获得战斗演习胜利•

Yo\a

其中所有正确结论的序号是.

1.（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表

记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

2.（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加

工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系

p=at2+bt+c（a,b,c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最

佳加工时间为

P

0.5

O345，

A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟

3.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）