2025-2026学年河南省濮阳某中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2025-2026学年河南省濮阳第一高级中学高二（±）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足（l-i）z=2i,则W的虚部为（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.某羽毛球俱乐部有4队和B队，其中川队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水

平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为加的样本，己知从8队中抽取了15名

学员，则m的值为（）

A.30B.25C.40D.35

3.某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调瓷了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评

分数据（评分均在[50,100]内），将所得数据分成五组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得

到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为（）

A.82.5B.81.5C.87.5D.85

4.在△ABC中，内角4B,C的市边分别为mb,c,且a=8,A=^则△ABC外接圆的直径为（）

A.4/2B.8/2C.12<2D.16/2

5.已知九是两条不同的直线，优表示平面，且m1a,则“九//a”是“TH1九”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.记的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且，cosC+?cosB=sizM,则△力"是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.钝角三角形

7.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱

的体积之比为（）

A.JB.<2C.4D.

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8.已知正方形4BC0的边长为3,点E是边BC上的一点，且CE=2E8,点P是边0C上的一点，则而•市的最

小值为（）

A.—8DB.—8CJ—4D—4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在△48C中，内角4B,。的末边分别为a,b,c,且a=/6,b=>[2,则c的可能取值为（）

O

A.5B.72C.2x<2D.

xf

10.已知一组数据修，X2»345，%6，%7（%1V%2<%3<*4VX5Vx6Vx7），由％=4即+3（i=

1,234,5,6,7）生成的一组新数据y2,y3»如、5，%，丫7，则（）

A.新数据的极差可能与原数据的极差相等

B.新数据的平均数可能与原数据的平均数相等

C.新数据的中位数一定比原数据的中位数大

D.新数据的标准差一定比原数据的标准差大

11.在直三棱柱力BC—4]8]Ci中，44]=3,AB=BC=2,AC=2yTz,点M是棱上的一点，则下列说

法正确的是（）

X.AM1BC

B.四棱锥M-ACCm1的体积为2

C.直三棱柱48。-Aeig外接球的表面积是177r

D.+MC的最小值为5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量优石的夹角为金|函二门，历|=4,则函+万）•方=____.

13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不

小于10的概率为_____.

14.在棱长为2的正方体A6CO-,4ibiC[Di中，点E是棱。必的中点，则直线为E与AC所成角的余弦值为

;点。是正方体表面上的一动点，且满足EP1A1C,则动点P的轨迹长度是一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

设复数Z]=Q+2Kz2=2a+3+i.

（1）若z-Z2为纯虚数，求实数a的值；

（2）若复数Z]是关于%的方程公+nix+5=0（7neR）的一个根，求m+a的值.

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16.(本小题15分)

己知平面向量五=(2,—3),1=(3,m),meR.

(1)若？=(7,-5),且2=%+石，求工和血的值；

(2)淑1及求随+2目的值;

(3)若五与石的夹角为锐角，求m的取值范围.

17.(本小题15分)

小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对

的概率为今小胡每轮答对的概率为:在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影

响.

(1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；

(2)求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率.

18.(本小题17分)

在△力8c中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且£=fsinB+cos£

a3

(1)求A：

(2)若a=8,求△48c的面积的最大值；

(3)若cosBcos。=-b+c二号求Q.

19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD^,四边形48CD是平行四边形，平面PB。_L平面4BCD,PB=PD=AB=2,AD=

26，PBiPD,点£是棱40上的一点.

⑴记平面尸力。与平面尸8。的交线为Z,求证：

(2)若4E=2ED,求二面角E-PB-。的正弦值.

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所以4/1BC外接圆的直径为8V2.

故选:B.

利用正弦定理求出外接圆直径.

本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，已知zn_La,若n//a,必有mJ.?;,

反之，若mln,则九//a或71ua,

故‘"///’是“血1孔”的充分不必要条件.

故选：A.

根据题意，由直线与平面垂直的性质分析“n//a”和的关系，综合可得答案.

本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及充分必要条件的判断，属于基础题.

6.【答案】4

【解析】解:因为2cosc+」cos8=sizM,

aa

所以bcosC+ccosB=asinA,

由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin27l,整理得sin(F+C)=sinA=sin27l,

因为力G(O,TT),sinA*0,

可得si和4=1,

故4=

所以△4BC为直角三角形.

故选:A.

由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合si7L4Ho，可得sirM=1,可求A即可判断三角

形的形状.

本题考直了正弦定理，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，属丁基础题.

7.【答案】C

【解析】解:根据题意设圆锥的底面半径为r,则高为母线长为2r,且圆柱的底面半径为r,

设圆柱的高为九，根据圆锥与圆柱的侧面积相等可得：

nr2r=2nr-h,所以h=r,

所以这个圆锥和圆柱的体积之比为加誓=

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故选:c.

根据圆锥与圆柱的几何性质，即可求解.

本题考查圆锥与圆柱的几何性质，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：已知正方形48co的边长为3,点E是边BC上的一点，且8=

2EB,点P是边0C上的一点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则4(0,0),E(3,l),P(/l,3),其中04/I43,

则丽•=(A,3)•(A-3,2)

=a2-3A+6

=(A-1)2+^>^当且仅当/I=5时取等号，

即丽•前的鼓小值为卓

故选：C.

先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的运算及二次函数最值的求法求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题.

9.【答案】BC

【解析】解:在△ABC中，B=2a=/6,b=G

22

由余弦定理可得W=a+c-2accosBr

即2=6+c?—2-\Z-6cx",即c?—3-\Z-2+4=0,可得c=2V~^或c=V~2.

故选：BC.

由余弦定理可得c的值.

本题考查余弦定理的应用，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于4原数据的极差为工7-与，新数据的极差为力-乃=4(叼-/)，

因为％7>，所以47-修>0，

所以4(x7-41)>%7—，

即新数据的极差不可能与原数据的极差相等，故力错误；

对干8,设新数据的平均数为，则原数据的平均数为3=41+3,

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令才=4%+3,得％=—1,

所以当新数据的平均数为-1时，新数据的平均数可能与原数据的平均数相等，故8正确;

对于C,原数据的中位数为4，新数据的中位数为%=44+3，

当羽=-1时，新数据的中位数与原数据的中位数相等，故C错误；

对于。，设原数据的标准差为s,则新数据的标准差为4s,

又因为<x2<X3<x4<xs<<x7,

所以s>0,所以4s>s,

即新数据的标准差一定比原数据的标准差大，故。正确.

故选：BD.

根据极差、平均数、中位数和标准差的定义求解.

本题主要考查了平均数、极差、中位数和标准差的定义，属于基础题.

1L【答案】ACD

【解析】解：在直三棱柱/WC-Ai/Ci中，4411平面A8C,

又BCu平面4BC,所以，BC,

又A8=BC=2,AC=2x^7，

所以482+8。2=4。2,

所以481BC,又AAiCiA8=A,AAlfABu平面488遇［,

所以BCJ•平面?1991力1，又u平面

所以4M_L8C,故力正确：

因为8B]〃/L4i，881c平面/CG4,人为u平面ACG4,

所以/平面

所以=^B-ACAt=Ax-ABC=gxgx2x2x3=2,

所以PMYCCIAI=2VMfCAi=4,故8错误；

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直三棱柱力BC-ABiG外接球的半径R=1J力速+BC2+BB彳=|V22+22+32=乎,

表面积为47r(手y=17几，故C正确：

将矩形BCg4与矩形48当仆展开到同一平面内，连接4。，与BB］相交于点M,

故,4传的长即为M4+MC的最小值，

故最小值为J32+(2+2尸=5,故。正确.

故诜：ACD.

对于4先证8C_L平面即可得证；

对于B：利用等体积转换法求解即可；

对于C：求出直三棱柱外接球半径即可求解；

对于小将矩形BCCiBi与矩形488］为展开到同一平面内，即可求解.

本题考查立体几何综合问题，属于中档题.

12.【答案】-2

【解析】解：已知向量五，石的夹角为穿，同=C,\b\=4,

O

则七•G=4x4x(一半)=-6,

—♦2

则(3五+b)-b=3a-b+b=-18+16=-2.

故答案为：一2.

结合平面向量数量积的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题.

13.【答案】j

【解析】解:根据题意，设力="抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，

从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，

则。={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),

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(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)),

4={(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},

则P⑷=磊4

故答案为：|.

根据题意，设力="抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，由列举法分析。和4的基本事件数目，由古

典概型公式计算可得答案.

本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题.

14.【答案】驾671

【解析】解：连接4G，易得力iC"/AC，

所以4GAE为直线4"与所成的角或其补角，

又AiG=2Vl,AXE=CXF.=>/5.

由余弦定理得cos乙G4E="优丁="飞”、霓附一=

112x2V2xv5

即直线4E与4c所成角的余弦值为半；

D

分别取。1。1，B©,BBi，AB,4D的中点F,G,M,N,H,连接EF,FG,GM,MN,NH,HE,力学，DCV

因为4D///G且40=BG，

所以四边形人当的。是平行四边形，

所以OG〃力名,因为F,MN分别是CWi，BBi，48的中点，

所以EF//GD，MN//力当，

所以MN//"，

同理可得MG〃HE,FG//NH,

所以E,F,G,M,N,H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为心的正六边形，

因为Cg_L平面/18C0,BDu平面48C0,

所以CglBD,XFD1AC,AC^CCi=C,AC,Cgu平面力。力1，

所以BDLf面力&4i，又4iCu平面4a4],

所以BD.14C，

因为N,，分别为48,4。的中点，所以NH//BD,NHl.A}C,

同理可得MN1力道，又NHCMN=N,NH,MNu平面EFGMNH,

所以Th。J•平面EFGMNH,因为PEJ.力iC,

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所以点P的轨迹长度为6dl.

故答案为：6V-2.

◊

空一：先确定乙G4E为直线4]E与力C所成的角或其补角，再解三角形即可求解；

空二：先证明4cl平面EFGMNH,得出P点的轨迹形状求解即可.

本题考查异面直线所成角的计算，以及动点轨迹问题，属于难题.

15.【答案】a=-2或Q二去±L

【解析】(1)由题意,Z[•Z2=(a+2i)(2a+3+i)=2a2+3a-2+(5a+6)i,

则2a2+3a—2=0,5a+6H0,

解得a=-2或a=I：

(2)由题意,(a+2i)2+m(a+2i)+5=0,

即a2+ma+1+(4a+2m)i=0.

所以层+ma+1=0,4a+2m=0,

解得a=1,m=—2或Q=—1,m=2,

所以m+a=±1.

(1)根据复数的运算，以及纯虚数的定义求解；

(2)利用待定系数法求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

16.【答案】X=2,7H=1；

765：

Q9

(-8,一加(号2).

【解析】(1)因为W=+反c=x(2,-3)+(3,m)=(2x+3,-3%+m)=(7,-5),

所以~7,r：解得％=2,m=1；

1—3%+m=—5,

(2)若Hlb,则五•b=(2,-3)•(3,zn)=6-3m=0,解得m=2,

所以石=(3,2),五+2%=(2,-3)+2(3,2)=(8,1),

|a+2b\=,82+/=＜65；

(3)因为五与石的夹角为锐角，

所以五•方＞0且五，石不同向，即£:37＞蓝解得租＜2且租工一3；

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故机的取值范围是(一8,-?)U(-?，2).

(1)结合向量的坐标运算法则，即可求解；

(2)结合向量垂直的性质，即可求解；

(3)结合向量的数量积运算法则，即可求解.

本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题.

17.【答案】(1)根据题意，设河=“小张在两轮比赛中至少答对1题”，

则)=”小张在两轮比赛中全部答错”，

则P(M)=1-P(M)=l-(l-|)x(l-|)=|；

(2)根据题意，4=”小张在两轮比赛中答对i题"，a="小胡在两轮比赛中答对i题"，(i=0,1,2),

C="小张和小胡答对题目的个数相等“，

221

P(X0)=(l-1)x(l-1)=|,

1224

P(4])=Clx(1)x(l-1)=^

224

P(>42)=1X|=|,

P(Bo)=(J)x(W

P(R1)=Clx(1)X(l-i)=|,

P(Z?2)=lx|=i,

故P(C)=P(Ao)P(Bo)+P(4)P®)+P(42)P(B2)=ixl+1xl+|xi=1|.

【解析】略

18.【答案】力=孑

16/3；

Q=V-3

【解析】(1)由题意£=?SMB+COSB,

aj

可得当=与sinB+cosB,

sinA3

可得sin。—sinAcosB=gsinAsinB,

又因为=sin(7l+F)=sinAcosB+cosAsinB,

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of^cosAsinB=—sinAsinB,

因为B6(0,4)，得s讥B>0,

可得coszl=^-sinA,

所以tam4=/3,

由于46(0,"),

可得4=今

(2)因为a?=b2+c2-2bccosA,结合(1)可得8?=b2+c2—be>2bc-he=be,

则£cW64,当且仅当b=c=8时，等号成立，

可得△ABC的面积为S=\bcsinA=^-be<16，5,

24

所以△力BC的面积的最大值为164；

(3)因为一cos/=cos(8+C)=cosBcosC-sinBsinC=-1,

因为cosBcosC=一1,

o

可得sEBsinC=1，

o

..r由a_b_c_2a

'sin/l—sinB~sinC~\T5*

可得si〃BsinC=^,嚷=券=看得尻=疗，

所以Q2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(b+c)2—3bc,

可得。2=(萼)2—3X：Q2,解得Q=M.

(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即可：

(2)结合(1)、余弦定理及基本不等式得到加464,再根据三角形的面积公式求解即可；

(3)根据题意及和角的余弦公式得到s)8sme=再根据正弦定理得到加=疗，最后根据余弦定理求解

即可.

本题考查了正弦定理，和角的正弦公式，余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式在解三角形中的应

用，考查了转化思想，属于中档题.

19.【答案】证明：••・四边形48CD是平行四边形，・•.BC//AD,

又BCC平面PAD,力Qu平面P4D,8C//平面P4。，

又平面P4Dn平面08c=，，BCu平面P8C,

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A1//BC；

E

【解析】(1)证明：•••四边形4BCD是平行四边形，「.BC//AD，

又8CC平面PAD,4。u平面P4Z),8C//平面P4D,

又平面P/DCI平面P8C=，，