高一预习：奇偶性-初升高数学暑假专项提升（人教版）

3.2.2奇偶性

【知识梳理】

知识点一函数奇偶性的定义

前提条件：奇（偶）函数的定义域关于原点对称.

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数7U）的定义域为/,如果都有

偶函数关于y轴对称

一%£/,且八一x）=/u）,那么函数yu）就叫做偶函数

一般地，设函数凡6的定义域为/,如果Wx£/,都有

奇函数关于原点对称

-xe/,且人一幻=一人幻，那么函数人/）就叫做奇函数

知识点二用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间［小句上的解析式，想求关于原点的对称区间［一从一〃］上的解析式，其

解决思路为：

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.

⑵要利用已知区间的解析式进行代入.

（3）利用yu）的奇偶性写出一/u）或五一不），从而解出/U）.

知识点三奇偶性与单调性

若函数7U）为奇函数，则/U）在关二原点对称的两个区间［〃，。］和［一4一可上具有相同的单调性；若函数/U）

为偶函数，则凡!•）在关于原点对称的两个区间口，切和［―〃，-a上具有相反的单调性.

【基础自测】

1.下列函数中奇函数的个数为（）

①Ax）=/；②/2-）=/；

（3）/iA-）=x+p④/㈤=£

人人

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2.设函数yu）=/、'［'且/（X）为偶函数，则式一2）等于（）

g（x）,x<0,

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】A

［详解］虱_2）={_2）=/（2）=22+2=6.

3.若/（x）=a+〃）（x—4）为偶函数：则实数。=.

【答案】4

【详解】_/U）=f+（〃-4）X—4”是偶函数，a=4.

4.函数人x）为偶函数，若Q0时，K1）=»则KO时，人幻=.

【答案】一］

【详解】方法一令必0,则一心>0,

・\A一力=一心

又为偶函数，・\A-X）=yu）,

，财=一%（。<0）.

方法二利用图象（图略）可得x<0时，兀r）=­x.

5.已知偶函数人工）在区间K）,+8）上单调递增，则满足八公一的X的取值范围是________

【答案】生5

【详解】依题意有九。在［0,+8）上单调递增，在（-8,0］上单调递减，

|2x—1|<|,即—1<2x—1<1,解得;

【例题详解】

一、判断函数的奇偶性

例I判断卜.列函数的奇偶性:

（1施）=人kA5；

（2次X）=|x+l|+|Ll|；

2AJ+2V

（3«A）=

x+1,

【洋解】（1）函数的定义域为R.：贝一工）=（一%）3+（一3）5=一。3+2）=一大幻，.・jq）是奇函数.

（2如）的定义域是R.—%）=|—%+l|+|—X—1|=k一1|+仅+1|=y㈤，・\信）是偶函数.

（3）函数段）的定义域是（一8,-1）U（-1,+8）,不关于原点对称，・・・於）是非奇非偶函数.

【答案】AC

【分析】利用函数奇偶性的定义逐一判断即可.

故选：AC

跟踪训练1判断下列函数的奇偶性

故F。)既是奇函数又是偶函数，

则f。)是非奇非偶函数.

(6)设函数凡x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()

A.五此十|期冷|是偶函数

B.yu)—板(x)i是奇函数

c.|/U)|+g(x)是偶函数

D.|/U)|—g(x)是奇函数

【答案】A

【详解】由凡K)是偶函数，可得|一工)=应。，

由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),

故k(x)l为偶函数，

，负X)+|g(x)|为偶函数.

二、由奇偶性求解析式

命题角度I求对称区间上的解析式

【答案】c

故选:C.

(3)已知人幻是R上的奇函数，且当/£((),+8)时，人工)=%(1+外,求人工)的解析式.

【详解】因为工£(一8,0)时，一工£(0,4-oo),

所以4—X)=—x[l+(—X)]=x(x—1).

因为yu)是R上的奇函数，

□(Zx-1)(x+«)=(2A+1)(x-a),

艮|12/+C2a-1)x-a=2x2-(2a-1)x-a,

故答案为:

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关

键.

【答案】-2

故答案为：-2

【答案】3

【分析】由定义域关于0对称得〃，由奇函数的定义求得〃，从而可得结论.

故答案为：3.

【答案】4

【详解】函数的定义域为R,

故答案为：4.

四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小

【答案】B

故选:B.

【答案】D

【分析】由已知条件得M单调性，再由偶函数把自变量转化到同•单调区间上，由单调性得结论.

故选：D.

(3)定义在R上的奇函数/U)为增函数，偶函数g(.r)在区间［(),+8)上的图象与人力的图象重合，设心/»0,

下列不等式中成立的有.(填序号)

①AGX—b)；：

③g(a)>g(—〃)；@g(-ci)<g(b)；

⑤g(一〃)》一〃).

【答案】①③⑤

【详解】人工)为R上奇函数，增函数，且心比>0,

，加)酒40)=0,

又一av—〃<0,.*.y(—a)<fi—b)<fiO)=0,

，加)习仍)>0»—b)>f(—a),

・••①正确，②错误.

问0,+8）时，g（x）=/（x）,

.•・g（x）在［0,+8）上单调递增,

，g（-a）=g（a）＞gS）=g（—A）,；・③正确，④错误.

又式一〃）=8（々）=人4）习1一4）,・••⑤正确.

跟踪训练5（1）设偶函数凡丫）的定义域为R,当x£［0,+8）时，氏t）是增函数，则人一2）,八兀），火-3）的大

小关系是（）

A.大兀）》一3）次—2）B.1冗）/一2）》（一3）

C.y（n）＜A-3）＜A-2）D.^）＜A-2）＜/（-3）

【答案】A

【详解】因为函数40为R上的偶函数，所以八-3）=/（3）,共-2）=火2）.

又当x£［0,+8）时，火x）是增函数，且心3＞2,

所以人兀）》（3）》（2）.故人兀）刁1-3）次-2）.

（2）已知偶函数7U）在［0,+8）上单调递减，则,*1）和人一10）的大小关系为（）

A.川）次一10）B.川）勺（一10）

C./D=y（-io）D.7U）和人一10）关系不定

【答案】A

【详解】:/U）是偶函数，且在［0,+8）上单调递减，・,小-10）=八10）勺U）.

五、由函数奇偶性解不等式

【答案】C

故选:C.

【答案】B

故选：B

【答案】B

故选：B

六、函数奇偶性的应用

例7已知函数对Vx,闽R,都有凡r+y）=/W+/M，当x＜。时•，凡t）＞0,且＜1）=一2.

⑴证明函数/（X）在R上的奇偶性；

⑵证明函数4r）在R上的单调性；

⑶当地［1,2］时，不等式Hl—"M+Ax）V4恒成立，求实数小的取值范围.

7

跟踪训练7已知函数危）对于任意x,MR，总有小）+八丫）=凡丫+力且当x＞0时，危）vo,/（i）=--.

（1）求证：＜/«是奇函数；

（2）求证：凡t）在R上是减函数；

（3）求凡I）在［-3,3］上的最大值和最小值.

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析；（3）最大值是2.最小值是一2.

【分析】（1）由已知令x=y=O,得的）=0.再令尸一x,得J（r）=—/⑴，由此可得证.

（2）在R上任取也X2，且X/VX2,.f{X2）—Jixi）=J［X2—XI）.再由已知判断凡切＞/（工2），根据函数的单调性的

定义可得证；

（3）由（2）得|x）在R上是减函数，由此可求得函数的最值.

【详解】（1）证明：因为函数4）对于任意x,）＜3R,总有7W+Av）=,/（x+y），所以令x=y=o,得加）=0.

再令y=-x，得＜-x）=-＜x）,所以,儿丫）是奇函数.

（2）证明：在R上任取A7,X2,且Xl＜X2t凡⑼一儿5=7（X2）+＜—X/）={¥2—X/）.

又因为当Q0时，儿¥）＜0，而玄一口＞0，所以小2—刈）＜0,即危/）＞加2）,因此凡、♦）在R上是减函数.

（3）解：因为./{X）在R上是减函数，所以凡r）在［—3,3］上是减函数，所以J（x）在［―3,3］上的最大值和最

小值分别为J（—3）与人3）.而/（3）=切1）=-2,人-3）=—力3）=2.所以/⑴在［―3,3］上的最大值是2,最小

值是一2.

【课堂巩固】

AK

只.-°.

【答案】B

【分析】利用特殊值，分类讨论,借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排

除.

故选：B.

uf2'

-20|2N

:

【答案】D

故选：D.

A.-2B.—1C.1D.2

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程,求得答案.

故选：A.

A.±1B.+3C.-1或3D.±1或±3

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义求解.

故选:B.

【答案】D

故选：D.

【答案】D

故选：D

【答案】1

【分析】根据奇函数定义结合指数运算求解.

故答案为：1.

【答案】2

【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.

函数是偶函数，

故答案为：2.

【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题，属F难题，关于解不等式的方法有:

⑴根据函数解析式判断函数的奇偶性；

⑶根据单调性奇偶性，列出不等式解出.

⑴求函数/J）在R上的解析式；

【课时作业】

1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

【答案】C

【分析】首先判定A,B不是奇函数，然后根据嘉函数的知识判定C,D的单调性.

故选：C.

【