2024人教版八年级数学上册 第17章《因式分解》考点专项练习（含解析）

第17章因式分解一一考点考题点点通

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.(〃+3)(Q-3)=4-9

B.x2+5x+6=(x+2)(x+3)

C.x2-2x+2=(x-1)2+l

D.x2-4y2=(x+4y)(x-4)；)

2.若多项式一十点_12因式分解的结果是(1+2)(x+〃)，则相、〃的值分别为()

A.m=—A,n=—6B.〃z=—8,n=—6

C.m=8,n=6D.m=4,n=6

二、填空题

3.若多项式*-6x+3有一个因式为(x-1),则“的值为.

三、单选题

4.用提公因式法分解因式6%>+8了/-4./冲3时，提取的公因式是()

A.个B.2xzC.2xyD.3yz

5.多项式n?-2根与多项式苏-4n+4的公因式是()

A.m+2B.m-2C.(zn-2)(m+2)D.(；7/-2)2

四、填空题

6.给出下列四组代数式：①5个和孙5；②5x-y和x+5y；③5(x-y)和6(x-y)；④5x和

15y.其中没有公因式的一组是.(填序号)

五、单选题

7.下列因式分解正确的有（）

①3x2-6xy+x=x(3x-6y)=3x(x-2y)；

②-5x+5孙=-5x(l+y)；

③4x3-2x2y=2x2(2x-y)；

④6a3b3+4a2b2+2ab=2ab(3a汨+2ab).

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.下列分解因式错误的是()

A.3a2b-6ab2=3ab(a—26)B,-6a3+15ab2=-3a(2a2-5b2)

C.9x2y+lx2y2-xy=xy(9x+7xy+1)D.\Abx-^b1x+6x-2x(jb-Ab1+3)

9.已知实数a,6满足a+6=6,ab=7,则/匕+出；?的值为()

A.1B.13C.21D.42

六、填空题

10.若多项式(x+2)(2x-l)-(x+2)可以因式分解成2(x+7〃)(x+〃)，则〃z-〃的值是

七、解答题

11.用提公因式法将下列各式分解因式.

(1)-4a3b2+12a2b-4ab;

(2)(a2-ab)+c(a-6).

试卷第2页，共23页

12.用“换元法”对多项式（尤2+X）（x2+x+2）+（x2+尤+1），+尤一1）+1进行因式分解

八、单选题

13.在多项式①-“一〃4,②♦+〃,③一16尤2+/，④9（“叫2_4,⑤_4/+从中，能用

平方差公式分解因式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）

①一一10x+25；②4〃+4。-1；③/一2尤一1；I-:⑤4无"一无

44

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.下列因式分解正确的是（）

A.k+2%—1=（%-1）B.4X2-9=（4X+3）（4X-3）

C.2aZ?—〃—/—（a+Z?）D.x2-5x=x（x-5）

16.下列因式分解正确的是（）

A.Sx^y-6x=_3%（孙_2）B.x2-y2=（x—y）2

C.x4-16=（炉+4）（f一4）D.x2+4x+4=（x+2）2

17.对于任意整数〃，可得多项式（2〃+5）2-9的结论最为恰当的是（）

A.被7整除B.被8整除C.被6或8整除D.被7或9整除

九、填空题

18.甲同学分解因式/+6+9时看错了9,分解结果为"+2乂工+4),则多项式—+女+9分

解因式的正确结果为.

19.在对多项式“2-4必+4/-1进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式

=(a2-4ab+4b2)-l=(a-2b)2-l=(a-2b+l\a-2b-l),这种方法叫做分组分解法.请你

用以上方法，写出多项式+4x-V+i因式分解的结果为.

ab

20.将4个数。，b,c,d排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成/，定义

ca

ab2x+11-2x

=ad-6c.上述式子叫做2阶行列式.若।°,c=8,则x的值是________.

ca1-2x1+2x

21.转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为

简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分

别为9(。＞为，a+b=l,a—b=2,阴影部分面积分别为跖，S2,贝”「$2=.

22.已知加，〃均为正整数，且河=川+9,N=(〃+1)2+1OO.若M=N，则加.”的值为.

23.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”,

如4=22-0"12=42-2320=62-42,因此，4,12,20这三个数都是“和谐数”.

(1)当28=»?-〃2时，m+n=；

(2)不超过1010的所有“和谐数”之和为.

十、解答题

24.把下列各式因式分解:

(1)2/一8加；

(2)2/一12/+18。；

⑶(J+16y2)-64尤2y2.

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25.分解因式:

(1)m3n—;

⑵(Y+4『-16尤2；

(3)x2-4y2-x+2y；

(4)(2m—〃)--10n(2m—ZI)+25M2.

26.【阅读材料】

我们知道，多项式4+2而+廿可以因式分解为(a+b)2.当一个二次三项式(如/+6〃+8)

不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：

。-+6。+8=+6a+9)-9+8

=(.+3)2-1

=[(a+3)+l][(a+3)-l]

=(a+4)(a+2).

【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：

⑴填空：

a2—2a—3=(a2—2a+__(2)—3

=(«-l)2-4=[(a-l)+2][(a-l)-2]

=(。+1乂。—3).

cr—6a+5=a2—6a+_®__®+5=(<z—3)—4=(oi——5).

(2)将下列各式因式分解：

®a2—4a+3=_;

②尤2-2nx+w2—4.

十一、填空题

27.阅读材料：将一个形如炉+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足p=〃z+"且

Q=mn,则可以把V+px+q因式分解成(尤+根)(尤+九).例如分解尤?+3》+2时，具体做法

是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十

字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称

为“十字相乘法”.这样,我们可以得到：-+3x+2=(x+l)(x+2).利用材料中的十字相乘法，

分解因式：%2+2%-15=.

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十二、解答题

28.阅读下列材料:

将尤2+2龙-35分解因式，我们可以按下面的方法解答：

解：步骤：①竖分二次项与常数项：-35=(-5)X(+7).

x—5

②交叉相乘，验中项：xn7x-5x=2x.

x+7

③横向写出两因式：炉+2x—35=(x+7)(尤—5).

我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.

试用上述方法分解因式：

(l)x2+5%+4；

(2)%2—6x—7；

(3)2X2+x—6.

29.多项式乘法：(x+a)(%+b)=f+(♦+"%+而，将该式从右到左使用，即可得到“十字

相乘法”分解因式的公式%2+(a+Z?)%+H=(x+〃)(x+Z?).

不例：分解因式%之+5%+6=12+(2+3)%+2乂3=(%+2)(%+3).

尝试分解因式:

⑴尤2+6x-27=;

(2)6x2-7x-3=;

(3)20(尤+»+7(x+y)-6=

30.【阅读与思考1

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式依2+fox+c(aw0)分解因式呢？

我们已经知道：

2

^alx+c^a1x+c7^=ala1JC+alc2x+a1clx+clc2=a1a2x++a2cx)x+qc2,反过来，就得至!]：

01a2炉+(^alc2+a2cl^x+clc2=(a1x+c1)(fl2J：+c2).

我们发现，二次三项式g7+bx+c(a^0)的二次项的系数。分解成外出,常数项c分解成，

并且把q,a2,C],c?如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到如

果4c2+a2cl的值正好等于加+bx+c的一次项系数6，那么ax2+6x+c就可以分解为

(qx+cJ(%x+C2),其中q,%位于图的上一行，a2,C?位于下一行.

图1

像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十

字相乘法”.

例如,将式子/一无一6分解因式的具体步骤为:首先把二次项的系数1分解为两个因数的积,

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即1=1X1,把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按图

2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到lx(-3)+lx2=-l,恰好等于一次项

的系数-1,于是炉-尤-6就可以分解为(》+2)@-3).

图2

(1)请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=；

【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

(2)①2/一5尤-7=;®nx2-llxy+2y2=；

【探究与拓展】

①类比我们已经知道：(alx+bl)(a2y+b2)^ala2xy++a2bxy+bp2.

反过来，就得至U：axa2xy+alb2x+a2bly+blb2=(alx+bl)(a2y+b2).

(3)请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①2盯+3y+2x+3=

②若。、6均为整数，且。、6满足6ob+8b-15<7=308,求a+6的值.

十三、单选题

31.已知a-6=3,b-c=T,贝！I整式/一ac-6(a-c)的值为()

A.-12B.-4C.-3D.3

32.把炉一/一尤+i分解因式的结果是()

A.-x3-1)+1B.(JC-1)(%4-1)

C.(x-l)(%2+l)(x2-1)D.(x-l)2(x2+l)(x+l)

33.已知a,b为正整数，满足原-3b-2a-28=0,则。+25的最大值为()

A.28B.43C.76D.78

十四、填空题

34.因式分解：b4-a4-b2c2-a2c2=.

35.如果多项式9/一叼+4/一万能用分组分解法分解因式，则符合条件的a,6的一组整

数值是—.

十五、解答题

36.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.

例如：+nn+bm+bn={am+an)+(bm+bn)=a(jn+ri)+b(m+ri)=(a+b)(m+n).

(1)分角星因式：ab+a+b+\；

(2)若a,6(。＞b)都是正整数且满足必-2a-2A+4=8,求2a+b的值；

(3)若a,6为实数且满足ab—a—b—1=0,=a2+3ab+b2-9a-lb,求整式M的最

小值。

37.阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公

式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如％2一〃加+2,“一2“，细心观察这个式

子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后

产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为

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m2—mn+2m—2n=（in2—inn^+（2m—2n^=，"（"?一〃）+2（，〃—〃）=（〃?一〃）（:"+2）.将此种因式

分解的方法叫做“分组分解法”.

请在这种方法将下列多项式因式分解:

(l)a3—4a2+3a—12;

(2)m2—iV+2m—2n■

十六、单选题

38.对于算式2024、2024,下列说法错误的是()

A.能被2022整除B.能被2023整除

C.能被2024整除D.能被2025整除

39.已知。=〃?+2024,b=m+2025,c=771+2026,则代数式〃十028一方。一。。的值

为()

A.5B.6C.3D.8

十七、填空题

40.运用简便方法计算：

(1)972-32=;

(2)80x3.52+160x3.5xl.5+80xl.52=.

41.在算式：①(992-1)(952-1),②(98?一22)(96?-2?),③极?_4?)(95?-1)中，计算结果

与(972-32)(97,-1)相同的是(填写序号).

42.计算：I一9上“一dx(l-4卜

十八、解答题

43.利用因式分解简化运算：

(1)2025+20252-2025x2026;

(2)56.2x2026-462x202.6.

44.利用因式分解计算：

(1)1012+492+101x98；

(2)8002-1600X798+7982.

45.利用因式分解进行简便运算：

(1)29x20.21+72x20.21-20.21(2)1012+198x101+992

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十九、单选题

46.农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a,b,其周长为10,且/6+"2=3。，则鸡

舍的面积为（）

47.如图，在边长为2x的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼

C.4x+3和4x-3D.4x+9和4x—9

48.已知两块边长都为a（cm）的大正方形，两块边长都为b（cm）的小正方形和五块长、宽分

别是Mcm）,6（cm）的小长方形（a>“，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方

形.已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为240cm2,每个小长方形的面积为12cm"

则拼成的大长方形周长为（）

C.60cmD.72cm

二十、填空题

49.小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请

结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2=.

abb

bb

50.如图，甲、乙两个农民都有两块地，如图所示.今年这两个农民决定共同投资搞饲养业,

为此他们准备将这四块地换成一块宽为米的地.为了使所换地的面积与原来地的总面

积相等，交换之后地的长应该是米；

abcb

51.在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为

机的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为邑馀甲和S剥余乙，当

4

S剩余甲=-号余乙时，可得相与”的关系式为m=an,则a的值为.

n

:;、、;

n\\n\\n

!!\i

m

___________«':\_______

m一万"

甲乙

二一、解答题

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52.阅读材料：教科书中提到"+2必+廿和/一2必这样的式子叫做完全平方式.有些

多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整

个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题.例如:

(1)分解因式：X2-2X-3.

x~-2x—3

=-—2尤+1-1-3

=(^-1)2-4

=(x-l+2)(x-l-2)

=(x+l)(x-3)；

(2)求代数式/一2x-3的最小值.

尤?-2x-3

=^-2^+1-4

=(尤-1)2-4

(x-1)2>0

.,.当尤=1时，

代数式/-2》-3有最小值-4.

结合以上材料解决下列问题：

(1)若二次三项式/-皿+4恰好是完全平方式，机的值是;

⑵将尤2-8X+7分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？

(3)已知a,b,c是VA3C的三边长，且满足4+^=120+86—52,求c的取值范围.

53.【问题情境】

数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数

恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利J用图1可以得至+

【解决问题】

(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：(直接列出等式即可)；

⑵若a+b+c=13,ab+ac+bc=56,sRa2+b2+c2

【探索创新】

(3)如图3,有足够数量的边长分别为。涉的正方形纸片和长为6,宽为。的长方形纸片,

请利用这些纸片将多项式3/+5必+2〃因式分解，并画出图形.

a

bb

图1图2图3

54.如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当

的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方

法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解

因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.例如：分解因式

尤？+2尤一3.

原式=(炉+2x+l)-4=(x+l)~-4=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x-1).

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例如：求代数式尤2+©+6的最小值.

原式=X2+4x+4+2=(尤+2)~+2..(x+2)220,...当x=-2时，/+4尤+6有最小值，最小

值是2.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

⑴分解因式：m2-4/^-5=求代数式/一6x+12的最小值为;

⑵若＞=-/+2.―3,当了=时，y有最_____值(填“大”或“小”)，这个值是；

(3)当a,b,c分别为VABC的三边长，且满足/+/+c?一6a—106-6c+43=0时，求VABC

的周长.

55.【阅读材料】要将多项式+加?+加分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再

把它的后两项分成一组，从而得到：

am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+Zw)=a(〃2+〃)++〃)，这时a(〃?+”)+b(〃?+〃)中又

有公因式,于是可以提出(m+〃)，从而得到("+〃)(a+6),因此有。?2+曲+

bm+bn=(am+anj+{bm+bti)=a^m+n)+b^m+n)=^m+n)^a+b^,这种方法称为分组法.

请回答下列问题：

⑴【解决问题】因式分解：ac-bc+a2-b2;

(2)【拓展应用】已知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足"一2"+262-2"+。2=0,试

判断这个三角形的形状，并说明理由.

二二、单选题

56.小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：2,尤，x+1,x-1,

V分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱.现将2尤4一2/因式分解，结果呈

现的密码信息可能是（）

A.宣汉美B.爱宣汉C.我爱宣汉D.美丽宣汉

57.把一段长36cm的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方

形的面积之差是27cm2,则这两个正方形的边长相差—cm.

58.某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要

求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可

以安排名男学生，此次团体操表演最少需要名学生.

二四、解答题

59.如图，在一个大圆盘中镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数,

若阴影部分的面积为13%cm2,请你求出大、小圆盘的半径各是多少.

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二五、单选题

60.若A=3厂—2孙+2,B=X1—y"+\,则A,B的大小关系为（）

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

61.若左为任意的整数，则代数式（左+4）2-（"3）2的值一定能（）

A.被7整除B,被3整除C.被4整除D.被5整除

二六、填空题

62.若一个四位数A满足①千位数字2一百位数字1后两位数，则称A为“美妙数”.例如：

6-12=35,，6135为“美妙数”.②7x（千位数字一百位数字）=后两位数，则称A是“奇特

数例如：7x（8-5）=21.，8521为“奇特数”.一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字

均为加，百位数字均为〃，且这个“美妙数”比“奇特数”大14,则满足条件的“美妙数”

为.

63.一个四位正整数N,其各个位上数字均不相同且不为零.若其千位数字是十位数字的

整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4621

满足4+2=2,6+1=6,则4621是“间倍数”.最小的“间倍数”是；已知“间倍数”

N=（na）（油）abQV49）且”,。力均为整数，若无论两位数ab是什么数，“间倍数”N都

能被3整除，当I。-川=1时，符合题意的最小“间倍数"N为.

二七、解答题

64.阅读理解：求代数式Y+4X+5的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方

法“：X2+4X+5=%2+4X+4+1=（%+2）2+1

因为(X+2)2NO,

所以(x+2)2+121.所以当(x+2)2=0时，(x+2y+l的值最小，最小值是1.

所以Y+4x+5的最小值是1.

依据上述方法，解决下列问题

(1)当芯=时，尤2+6x-15有最小值是.

⑵多项式-%2+2x+18有最(填“大”或“小”)值，该值为.

(3)已知-/+5》+、+20=0,求丫+犬的最值.

65.我们把多项式/+2必+户及“2一2"+后叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平

方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它

不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代

数式的最大值、最小值等.

例如：

①分解因式/+2%-3=任+2%+1)-4=(》+1)2-4=(>+1+2)(>+1-2)=(彳+3)(*-1)；

②求代数式2Y+4X-6的最小值：由2炉+4*-6=2,+2*+1-1)-6=2(*+1)2-8可知，

当x=—l时，2x?+4x—6有最小值，最小值是—8.

根据以上材料内容，使用配方法解答下列问题.

(1)分解因式：rrr-4m+3-.

(2)当a,。为何值时，多项式/+方2-6a+46+20有最小值？请求出这个最小值.

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66.完成如下项目式学习表:

课题任务代数推理

人员/日期七(4)班张瑾崂，李一飞，李远航2025年6月3日

观察(1+7)2-12=9X7；(3+7)2-32=13X7.

猜想比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除.

求索(1)(5+7)2-52=_____x7；

(2)设奇数为2%+1(加为整数)，试说明比2%+1大7的数与2根+1的

论证

平方差能被7整除；

(3)比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？

延伸

请说明理由.

67.阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的

和的方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不

能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题.

例如：求代数式：/_i2x+2020的最小值.

解：=x2-12x+62-62+2020

=(”6)2+1984

(x-6)2>0,

，当x=6时，(x-6)2的值最小，最小值为0,

.•.(x-6)2+198421984,

.••当(x-6)2=0时，(x-6p+1984的值最小，最小值为1984,

，代数式：/-12》+2020的最小值是1984.

例如：分解因式：%2-120%+3456

解:原式=炉-2、60彳+602-GO?+3456

=(x-60)2-144

=(%-60)2-122

=(x-60+12)(x-60-12)

=(x-48)(x-72).

⑴分解因式f-46x+520;

⑵若y=*+2x+1313,求y的最大值；

68.阅读下面材料，完成问题:

试卷第22页，共23页

如果关于某个字母的二次三项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,

能出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法在

数学中是一种非常重要的方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小

值等问题.

例如：分解因式V+2x-3.例如:求代数式V+2X+3的最小值.

原式-%?+2%+1—1—3原式—f+2x+1—1+3

=(%+1)2-4=(X+1)2+2

=(%+1)2-22V(x+l)2>0

=(%+1+2)(1+1-2).•.当x=-1时,d+2x+3有最小值，最小值为2.

二(尤+3)(x-l)

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

⑴分解因式：m2-4m-5=;

⑵求代数式/-6〃+12的最小值；

(3)若价和“为三角形的两条边长，并且满足那一2加〃-3〃2=0,则'=

《第17章因式分解一一考点考题点点通》参考答案

题号1245789131415

答案BACBBCDCDD

题号16173132333839464748

答案DBCDCACAAD

题号566061

答案DBA

1.B

【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫

做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，结合因式分解的概念，逐个选项分析即可.

【详解】(”+3)(4-3)="一9,属于整式乘法不是因式分解，故选项A不属于；

£+5x+6=(x+2)(尤+3),符合因式分解的概念，故选项B属于；

%2-2x+2=(%-1)-+1,不属于因式分解，故选项C不属于；

x2-4y2=(x+2y)(x-2y),选项错误，故选项D不属于.

故答案选：B.

2.A

【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系

数关系，建立方程求解即可.

2

【详解】解：多项式x+nix-n因式分解为(x+2)(x+〃)，展开右边得：

(尤+2)(x+〃)=x?+(2+njx+2n,

2n=-12,2+n=m,

解得：n=-6,m=-4f

故选：A.

3.3

【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法.设另一个

因式为(⑪+b),则++S——根据各项系数列式求出〃和b的值.

【详解】解：设另一个因式为(◎+〃)，贝!Jar?—6X+3=(QX+Z?)(X—1).

V(ax+b)(x-V)=ax2+(b-a)x-b,

答案第1页，共38页

ax2+(b-d)x-b=ax2-6x+3,

b-a=-6

—b=3

故答案为：3

4.C

【分析】本题主要考查公因式,掌握公因式的定义是解题的关键.根据公因式的定义可求解.

【详解】解：用提公因式法分解因式6xy+8/y-4/^3时，提取的公因式是2肛.

故选C.

5.B

【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的

项.

【详解】解：V/M2-2m=m(m-2),m2-4m+4^(m-2')2,

多项式苏-2机与多项式/-4〃7+4的公因式是〃z-2,

故选：B.

6.②

【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键.

根据公因式的概念逐一判断选项即可.

【详解】①5“和孙5的公因式是个，不符合题意；

②5x-y和x+5y没有公因式，符合题意；

③5(x-y)和6(x-y)的公因式是(x-y),不符合题意；

④5x和15y的公因式是5,不符合题意；

故答案为：②.

7.B

【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键，根据因式分解的方

法依次判断即可.

【详解】解：①才―6孙+x=x(3x-6y+l),故计算错误；

答案第2页，共38页

②-5x+5孙=-5x（l-y）,故计算错误；

③4%3-2尤2y=2无2（2x-y）,正确；

④6a363+4a2b2+2ab=2ab（3a2b2+2^+1）,故计算错误；

因式分解正确的是③，共1个，

故选：B.

8.C

【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.

根据提公因式法因式分解的方法逐项求解判断即可.

【详解】解：A、3crb-6ab2=3ab（a-2b）,正确，不符合题意；

B、-6a3+15^2=-3a（2a2-5^）,正确，不符合题意；

C、9x2y+7xy-Ay=xy（9x+7xy-l）,原计算错误，符合题意；

D、14^一862元+6%=2%（76-4人2+3）,正确，不符合题意.

故选：C.

9.D

【分析】本题考查了因式分解，代数式求值.利用因式分解得到/（。+“，然后利用整体

代入的方法计算.

【详解】解：，.*a+b=6,ab=7,

a2b+ab2="（a+b）=7x6=42.

故选：D.

10.3或-3

【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.直接利用提

取公因式法分解因式进而得出答案.

【详解】解：•••（x+2）（2x-1）-（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+〃）,

（x+2）（2x—1）-（x+2）

=（x+2）（2x-2）

答案第3页，共38页

=2(x+2)(x-l)

=2(x+m)(x+?z),

故机=2,〃=—1或根=—1,n=2f

贝!Jm-n=3^m-n=-l-2=-3.

故答案为：3或—3.

11.(1)-A-cibb-3a+1)

(2)(a-&)(tz+c)

【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.

(1)利用提公因式法分解因式即可；

(2)利用提公因式法分解因式即可.

【详解】(1)-4a3b2+12a2b-4ab

=-4ub,c^b+•(—3a)+(^411/7)•1

-—Ardb^u^b-3a+1)；

(2)(ci1—ab^+c^a—b)

=a^a-b)-\-c(a-b)

=(〃-/?)(a+c).

12.2X(%+1)(%2+%+l)

【分析】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项

式进行因式分解，达到去繁化简的效果.

用换元法设d+x=/，代入多项式，整理后用提公因式法分解即可.

【详解】解：设外+1,

将X2+%=/代入(炉+工)(%2+x+2)+(f+元+])(12+%_])+1中得：/(/+2)+(/+1)(/—1)+1,

原式二产+2/+/-1+1

=2产+2，

=+1)

答案第4页，共38页

=2（无2+尤）（*2+尤+1）

13.C

【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键.根据平方差

公式的特征，即可求解.

【详解】解：①-=-(/+/),不能应用平方差公式分解；

②/+〃，是平方和，不能应用平方差分解；

③-16/+y2,符合平方差的特征，可以应用平方差分解；

④9(。-6)2-4,符合平方差的特征，可以应用平方差分解；

⑤符合平方差的特征，可以应用平方差分解；

综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个.

故选：C.

14.D

【分析】利用完全平方公式判断即可.

【详解】解：①f-10X+25=(X-5)2,能用完全平方公式分解，不符合题意；

②4/+4〃-1,不能用完全平方公式分解，符合题意；

③/一2尤-1,不能用完全平方公式分解，符合题意；

一;,不能用完全平方公式分解，符合题意；

④/7n

⑤4/一元3+!，不能用完全平方公式分解，符合题意.

综上，不能用完全平方公式分解的是②③④⑤，共4个

故选：D.

【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

15.D

【分析】本题考查的是利用公式法，十字乘法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关

键.

根据因式分解逐个判断即可.

【详解】解：A.f+2x7不能用完全平方式进行因式分解，故本选项不符合题意；

答案第5页，共38页

B.4X2-9=(2^+3)(2X-3),故本选项不符合题意；

C.2ab-a2-b2=-(a-b^2,故本选项不符合题意；

D.X2-5X=X(X-5),故本选项符合题意；

故选：D.

16.D

【分析】本题考查了因式分解的相关知识，解题的关键是掌握提公因式法、平方差公式

a2—b2=(a+b)(a—b)和完全平方公式(a±6)?=a2±lab+b~.

根据因式分解的方法，对每个选项逐一分析，判断因式分解是否正确.

【详解】解：A、-6尤=-3宜孙+2),而不是-3尤(孙-2),所以该选项错误，不符合题

At.

忌；

B、根据平方差公式尤2-丁=(x+y)(x-y),而=x?-2孙+；/,与龙,一丁不相等，所以

该选项错误，不符合题意；

C、%4-16=(X2+4)(X2-4),但V-4还可以继续利用平方差公式分解，即

Y-4=(x+2)(x-2),所以尤4-16=(必+4)(尤+2)(尤-2),该选项因式分解不彻底，错误，

不符合题意；

D、X2+4X+4=(X+2)2,分解正确且彻底，故D正确，符合题意.

故选：D.

17.B

【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解.多项式利用完全平方公式计

算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断.

【详解】解：(2n+5)2-9

=(2n+5+3)(2n+5-3)

=4("+4)(”+1),

无论”为奇数或偶数，〃+4与〃+1必为一奇一偶，其乘积为偶数，

故4(w+4)(〃+l)=8h

答案第6页，共38页

该式恒为8的倍数，因此对任意整数〃，原式必被8整除.

故选：B.

18.(x+3)2

【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关

键.先根据分解因式/+方+9时，甲看错了9,分解结果为(X+2/X+4),求出。=6,再

分解因式即可.

【详解】解：•••分解因式元?+依+9时，甲看错了9,分解结果为(x+2)(x+4),

在(x+2)(x+4)=x?+6x+8中，a=6是正确的，

x2+ax+9=x2+6X+9=(X+3)2.

故答案为：(x+3)1

19.(2x+y+l)(2x-y+l)

【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可.

【详解】解：原式=(4/+4x+l)-V

=(2尤+1)-

=(2x+y+l)(2x-y+l)；

故答案为：(2x+y+l)(2x-y+l).

20.1

【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程

=8，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而

解方程即可得到答案.

2%+1]-2x

【详解】解：・.・=8,

l-2x1+2%

/.(2^+1)2-(1-2X)2=8,

二.(2x+l+l-2x)(2x+l—1+2%)—8,

8x=8,

答案第7页，共38页

解得X=1

故答案为：1.

21.7

【分析】本题考查平方差公式分解因式，整体代入法的应用，掌握平方差公式是解题的关

键.

先用两种方式表示中间白色的三角形的面积，再通过变形转化为岳-S?=:(a+6)(〃-6),整

体代入求解即可.

【详解】二•两个等腰直角三角形的腰长分别为。力(。>>)，

，中间白色的三角形的面积=3/一£=：加一52，

整理，得S-52=工/一工廿=-(a2-b2)=-(a+bXa-b),

2222

a+b-l,a-b=2,

S1—S2=gx7x2=7,

故答案为：7.

22.20或2024

【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，代数式求值，由题意得

m2+9=(n+l)2+100,贝lj有［加+(〃+1)］［加一(〃+1)］=91,然后通过91的正整数因数对为

1x91和7x13,列出方程组，然后解方程组，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的

关键.

【详解】解：

疗+9=(“+1)2+ioo,

苏-(“+1)2=100-9=91,

［二［口—91,

：91的正整数因数对为：1x91和7x13,

m-(n+l)=1、+=7

••机+(〃+1)=91或m+(〃+1)=13，

m=46\m=10

解得:n=44^\n=2

答案第8页，共38页

综上所述,OTI=46x44=2024或=10x2=20,

故答案为：20或2024.

23.1463504

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解“和谐数”的定义是解题的关键.

（1）由题意可得28=（加+力（机-〃），再由“和谐数”的定义得到机-〃=2,据此可得答案；

（2）设两个连续的偶数为2后2%+2（%为自然数），则可得（2左+2）2-（2左）2=4（2左+1）,贝广和

谐数”一定是4的奇数倍，进而可得到不超过1010的所有“和谐数”一共有126个，据此求和

即可.

【详解】解：（1）V28=zn2-n2,

28=（m+n）（m-n）,

又「m-n=2,

m+n=14,

故答案为：14；

（2）设两个连续的偶数为2后2k+2（左为自然数），

（24+2）2_（2%）2

=（2左+2+2左）（2左+2-2左）

=2（4左+2）

=4（2左+1）,

：k为自然数，

2A+1一定时大于0的奇数，

“和谐数”一定是4的奇数倍，

V1010-4=252.2,

不超过1010的所有“和谐数”一共有252+2=126个，

1+25X126

不超过1010的所有“和谐数”之和为=4（1+3+5++251）=4x^p=63504,

故答案为：63504.

24.（1）2。（〃+25）（〃一2。）

⑵2a（°_3）2

答案第9页，共38页

⑶(x+4y)2(x-4y)2

【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：

(1)先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可；

(2)先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；

(3)先用平方差公式再利用完全平方公式进行因式分解。

【详解】(1)解：原式=2。(〃-4/)

=+2b)(a-2b)；

(2)原式=2〃(。2-6〃+9)=2〃