2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第七章 证明（导学案）

第七章证明

1为什么要证明

课标要求：知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑；了解推论的意义.

1.课内积累/夯实某础/

知识点一：认识证明的必要性

I.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是

()

A.只需观察得出B.只需依靠经验获得C.通过亲自实验得出D.必须进行有根

据地推理

2.观察图中的线段a,b,猜测哪条线段更长？再用刻度尺度量一下，验证你的观察结果.

【变式】2.1(1)比较图中线段BE,EF,CE的长度，先猜一猜，再用刻度尺量一量，验证

你的猜想；

(2)观察图中NEBC,ZEFB,ZECB,先比较它们度数的大小，再用量角器量一量，验证你

知识点二：推理论证

3.甲、乙、丙三人下棋，轮流对战，赢一局得2分，平一局各得1分，输一局得0分，一

共进行3局比赛后，甲得3分，乙得2分，丙得1分，壬确的对战情况是

()

A.甲胜乙，甲胜丙，乙胜丙B.甲胜乙，甲平丙，乙胜丙

C.甲胜乙，甲平丙，乙平丙D.甲胜乙，甲胜丙，乙平丙

4.一只皮箱的密码是一个三位数.小光说：“它是843”；小明说：“它是247”；小亮

说：“它是103”.已知每人都只猜对了一个数字，且每人猜对的数字的位置不同.这只皮

箱的密码是.

2.课后提升/灵活运用/

5.在学习中，小明发现：当n=l,2,3时，九2一6九的值都是负数.于是小明猜想：当n

为任意正整数时，层一6九的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.

6.车间里有五台车床同时出现故障，已知修复第一台至第五台车床需要的时间如下表:

车床代号A3CDE

修复时间/min15729610

已知每台车床停产Imin造成经济损失10元，修复后即可投入生产.

（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺

序：①D-*BTETATC;②DTATCTETB：⑶CTATETBTD.其中经济损失最少的

是；（填序号）

Y篮）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损

失为元.

2认识证明

第1课时|定义与命题

课标要求：通过具体实例，了解定义、命题的意义；结合具体实例，会区分命题的条件和

结论；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

1.课内积累

知识点一：定义与命题的概念

1.下列语言叙述是命题的是

（）

A.画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等吗

C.延长线段AO到点C,使OC=OAD.两直线平行，内错角相等

2.1教材变式1下列语句：①直角都相等；②作已知角的平分线；③两点之间线段的长

度，叫作这两点间的能离；④两点之间线段最短。其中属于定义的是.（填序号）

知识点二；命题的结构

3.将命题“同角的余角相等“改写成“如果……那么……”的形式是：如

果，那么.

知识点三：命题的分类

4.下列命题是真命题的是

)

A.两条直线被第三条直线圻截，内错角相等

B.相等的角是对顶角

C.有理数和数轴上的点一一对应

D.在同一平面内，垂直于司一条直线的两条直线平行

5.对于命题“若|x|>|y|,则x>y"，下列四组关于x,y的值中，能说明它是假命题的是

()

A.x=-4,y=-lB.x=5,y=-2C.x=l,y=OD.x=-3,y=-

4

6.判断下列命题的真假，并说明理由。

(1)三个角对应相等的两个三角形全等；

(2)有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角。

2.课后提升/灵活运用/

7.下列命题：①对顶角相等；②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同

位角相等。其中是假命题的是

()

A.DDB.DC.QD.DD

8.举反例说明命题“若x〈l,则x<0”是假命题时，可举的反例是：x=(写出一个即

可)

9.请将下列命题改写成“如果.........那么............”的形式：

(1)等角的补角相等；

(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

第2课时|定理与证明

课标要求：通过具体实例，了解定理的意义；知道可以用不同的形式表述证明的过程，会

用综合法的证明格式.

1.课内积累/夯实基础/

知识点一：公理、定理与证明(4题)

1.下列说法错误的是

()

A.所有命题都是定理B.定理是真命题

C.公理可作为证明其他定理的依据D.演绎推理的过程称为证明

2.下列不是公理的是

()

A.两点确定一条直线

B,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等

D.三边分别相等的两个三角形全等

3.“同位角相等，两直线平行”是

()

A.公理B.定理C.定义D.待证的

命题

4.经过推理论证，得到的,叫作定理.

知识点二：利用定义、公理、定理进行证明(4题)

5.“EIE]A+[Z1B=9O°,E]A+E]C=9O。,□匚3=匚©”这一推理的依据

.

6.当a,b,c,d均不为。时，若£=则呼与学相等吗？请阅读下列推理过程,解决相应

baba

问题：

匚a,b,c,d均不为0,

二.设式子j=k(k丰0).(?)

□a=bk,c=dk.D

...-=竿=2+1甘=等=々+1.

bd〜

问题：从①变形到②的依据是：.

7.根据题意，把下列推理拘依据写出来，并指出是公理主是定理.

(1)如图，若口1=口2,则aDb;

(2)在DABC和口人记。中,AB=A，B',IZ1A=UA\UC=IZ]C^J：JABC[]L]ABC,;

⑶如果a=b,b=c,那么a=c.

8.完成下面的证明.

已知：如图，直线a,b,c被直线1所截，Nl+N2=180°,/l=N3.

求证:b〃c、

证明：•・・N1+N2=18O°,

••・a〃().

VZ1=Z3,第8题曲

A().

/.b//c.

2.课后提升灵活运用

9.下列命题：①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x

的平均值是3；④三角形内角和为180°.可以作为定理的有个.

10.下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤数与式的运算律；⑥度量结

果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果.其中可以作为推理依据的有个.

11.如图，点B.E分别在直线AC,DF上，若NAGB=NEHF,NC=ND,求证：N上NF.

请完成下面的证明过程.

证明：*/ZAGB=ZEHF(),

ZAGB=(对顶角相等)，

・•・NEHF=N1)GF.・・・DB〃EC().

AZ=NDBA(两直线平行，同位角相等).

又NC=ND,，NDBA=ND.

••・DF〃(内错角相等，两直线平行).

••・ZA=ZF().

3.素养培优/能力拓展/

编写说明：新课标以核心素养为导向，特设此版块助老师在教学中加强素养落地，学生在

学习中发展核心素养.

12.（几何直观）新考向-开放性试题如图，在AABC和4DEF中，B,E,C,F在同一直线上，下

面有四个条件:①AB=DE;②AC=DF;③AB〃DE;④BE=CF.请你从中选三个作为题设，余下的一个

作为结论，写出一个真命题，并加以证明.

解：我写的真命题是：,。

已知:-----------------------；/VA

求证：.（注：不能只填序号）£c--------

M12M

证明如下:

3平行线的证明

第1课时I平行线的判定

课标要求：探索并证明平行线的判定定理.

1.课内积累/夯实基础/

知识点：平行线的判定（

1.如图，下列条件中，能判定AD〃BC的是

（）

A.Z1=Z2

B.Z1=Z3

C.Z3=Z4

D.ZABC+ZC=180°

【变式】下列图形中，由/1=N2能判定AB〃CD的是

2.如图，要得到AB〃CD,则需要补充的条件是.（填一个正确的条件即可）

3.把下面的证明过程补充完整.

已知：如图，点E,F分别在AB,CD上,AF_LCE于点G,N1=NB,NA+N2=90°.

求证:AB〃CD.

证明：:AFJXE(已知)，

AZAGE=90°().

•.•在4AGE中，NA+N1+NAGE=°(),

AZA+Z1=°.

又NA+N2=900(已知)，

Zl=().

又N1=NB(巳知),

Z.NB=N2().

二.AB//CD().

Z2Z：

BCF

第2题图第3题图

4.如图，E,F是BD上的点，NAEI)=NCFB,AE=CF,BE=DF.求证:AB〃CD,AB=CI).

2.课后提升灵活运用

5.如图，木条a,b分别与木条c钉在一起，Zl=70°,转动木条a,当42=_。时，木条

a与木条b平行.

6.如图，下列条件:①N1=N3;②/2=/3;③Nl=/4;④/2+N5=180°.其中可以判定b〃c

的条件有

()

A.©©④B.①②③C.②③④

D.①②③④

7.某种零件的形状如图所示，现要判断AB与CD是否平行，工人师傅分别测量了

ZABE,ZCDE和NBED的度数后，就做出了判断.试猜想乙4BE/CDEDE和/BED之间满

足什么关系时，AB〃CD,并证明你的猜想.

8.如图，在四边形ABCD中，已知.AA=^C=90°,BE平分乙ABC交CD于点E,DF平分

乙40C交AB于点F.

(1)求证：NABC+NADC=180°;

⑵求证:BE〃DF.

3.素养培优/能力拓展/

编写说明：新课标以核心素养为导向，特设此版块助老师在教学中加强素养落地，学生在

学习中发展核心素养.

9.（几何直观）【分类讨论思想】小明将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起.当.

44CEV90。且点E在直线AC的上方时，若三角尺BCE的一边与AD平行，求乙4CE的

度数.

A

第9收图

第2课时|平行线的性质

课标要求：探索并证明平行线的性质定理.

1.课内积累/夯实基础/

知识点：平行线的性质

1.如图,AB〃CD,若N1=14D。，则NC的度数是

()

A.40°B.30°C,20°D.10°

2.②2024大连期末|教材变式|如图，直线AB〃CD,BC平分NABD,若Nl=50°,则N2的度数

为

()

D.100°

3.如图"正〃口（：1（；〃。£,若/8=145°,则/口的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【变式】3.①如图，已知AB〃CD,NB+ND=180°,求证:BC〃DE.

请补全下面的证明过程.

证明：TABaCD,

ZB=Z().

VZB+ZD=180°,

/.ZC+ZD=180°.

第3.1题图

BC〃().

4.如图，N1=5O°,NC=60',N2=60°.求NB的度数.

2.课后提升/灵活运用/第4题困

5.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射,

由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，若两束光线平行，且

Nl+N2=129°,N3=102°,则N4的度数为

()

A57。

B.54°

C.52°

0.51°

第5题图

6.将一个直角三角尺与一张两边平行的纸条按如图所示的方式放置，下列结

论：①N1=N2；②N3=N4；③N2+N4=90°；④N4+N5=180°,其中正确的个数是

()

【变式】6.1将一个含30,角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A.。分

别在直线a,b上，若a〃b,Nl=40°,则N2的度数为

A.20°B.15°C.10°

【变式】如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放.若直线可也41=50°,则N2的度

数为

B.10°C.15°!).20°

O

第6踵图第6.1目图鬲62题图

7.如图，Nl+N2=180°.

⑴求证:AB〃EF；

⑵若CD平分NACB,NDEF;NA,NBED=50°,求NEDF的度数.

第7150a

3.素养培优/能力拓展/

编写说明：新课标以核心素养为导向，特设此版块助老师在教学中加强素养落地，学生在

学习中发展核心素养.

8.（几何直观）如图］,将一根长方形纸带沿EF折叠，设^AEDf=x°.

⑴若x=130,则乙EFB=j

（2）将图1的纸带继续沿BF折叠成图2,求NEFC"的度数.（用含x的代数式表示）

1为什么要证明

1.D

2.解：猜测线段a比线段b长.（答案不唯一）用刻度尺量取长度比较即可.

2.1.⑴猜测BE=CE>EF.（答案不唯一）

用刻度尺最取长度比较即可.

⑵猜测ZEFB“EBC"ECB.（答案不唯一）用量角器量取相应的角度比较即可.

3.B4.807

5.解：不正确.理由如下：

例如当n=7Ht,n2-6n=49-42=7>0.

二小明的猜想不正确.

6.解:⑴①解析①总停产时间为5x6+4x7+3xl0+2xl5+29=147（min）,②总停产时间为

5x6+4xl5+3x29+2xl0+7=204（min）,③总停产时间为5x29+4xl5+3xl0+2x7+6=255（min）.

总停产时间最少的是①，即经济损失最少的是①.

（2）960解析一名修理工按D,E,A的顺序修，另一名修理工按B,C的顺序修，则总停产时

间为3x6+2xl0+15+2x7+29=96（min）..••最少经济损失为96x10=960（元）.（修理顺序不唯）

2认识证明

第1课时定义与命题

I.D2.@

3.两个角是同一个角的余角；这两个角相等

4.D5.A

6.解：（1）假命题.理由如卜一：

两个边长不相等的等边三角形不是全等三角形.

（2）假命题.理由如下：

如图/AOB-4COD,有公共顶点O,但不是对顶角.

第6题图

7.C8.：（答案不唯一）

9.解：（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两

个角的补角相等）.

（2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

第2课时定理与证明

1.A2.C3.A4.真命题5.同角的余角相等

6.等式的基本性质

7.解:⑴若/1=42,则allb（内错角相等，两直线平行），是定理.

（2）在aABC和△ABX?中,入8=44<-\=/人/©=乙（？,贝"A3（?三2^99（两角及一角的对

边对应相等的两个三角形全等），是定理.

（3）如果a=b,b=c,那么a=c（等量代换），是公理.

8.b：同旁内角互补，两直线平行；a||c；同位角相等，两直线平行

9.110.6

11.已知/DGF;同位角相等,两直线平行;C;AC;两直线平行，内错角相等

12.解:我写的真命题是:在AABC和^DEF中，若AB=DE,AC=DF,BE=CF,则AB||DE.（答案不

唯一）

已知:AB=DE,AC=DF,BE=CF:

求证:ABIIDE.

证明如下:,」BE=CF,

••.BE+EC=CF+EC,即BC=EF.

rAB=DE,

ffiAABC^△DEUA^DF,

|BC=EF.

•••△ABC^ADEF(SSS).

.,.z.B=z.DEF.

.-.ABIIDE.

3平行线的证明

第1课时平行线的判定

1.C1.1.A2/EAD=4ADC（答案不唯一）

3.垂直的定义；180；三角形内角和定理；90；Z2；同角的余角相等;等量代换；内错角相

等，两直线平行

4.证明：..ZAED=ZCFB,ZAED+ZAEB=180°,zCFB+zCFD=180°,

.-.ZAEB=ZCFD.

又AE=CF,BE=DF,

.--△ABE^ACDF.

.•.AB=CD,zABE=zCDF,

■­.ABIICD.

5.706.A

7.解:当4ABE=4CDE+4BED时,ABIICD.证明:如图，延长AB交DE于点M.

vzBME+乙BED+ZMBE=180°,zABE+zMBE=180°,

...乙ABE=/BME+乙BED.

••2ABE=NCDE+ZBED,

.-.ZBME=ZCDE.

•••ABIICD.

8.证明:⑴如图，连接BD.

.•.ZA+ZABD+ZADB=18O0ZC+Z1CBD4-^CDB=18O0.

•••4A+4ABD+ZADB+ZC+Z.CBD+Z-CDB=360°,艮fl匕A+乙C+乙ABC+zADC=360°.

vzA=Z.C=90°,

••.ZABC+ZADC=360°-£A-zC=360°-90°-90°=180°.

(2)VBE平分乙ABC,DF平分土ADC,

AZ1=-2/.ABC2,£.3=-Z-ADC.

vzABC+ZADC=180°,.-.zl+z3=[(乙4BC+44OC)=1x180°=90°.

在^ADF中，•.♦△A=90。,.•.45+43=90°.

•♦21=45.

.--BEIIDF.

9.解:分情况讨论:当BEHAD时，设BE与CD相交于点F,如图1.

vBE||AD