2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末常考题之对数的概念

20252026学年上学期高一数学北师大期末必刷常考题之对数

的概念

一.选择题（共6小题）

I.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用/D=/0e-KD表示其总衰减规律，其

中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，力（单位：坎德拉）和/o（单位：坎德拉）分别表示在

深度。处和海面的光强.已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%,则该海域消光系数K的值约

为（）

（参考数据：加2=0.7,-5F.6）

A.0.2B.0.18C.0.15D.0.14

2.荀子《劝学》中说：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过

程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%,

一年后是1.0俨5~37.7834；而把（1-1%*5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.9936540.0255.若

“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（）天

（参考数据：仅10162.0043,仅99al.9956）

A.200天B.210天C.220天D.230天

3.历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算

时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已

知/g2=0.301,々5=0.699,则2.5的的估算值为（）

A.1（）418B.1（）419C.1（）420D.1（）421

4.已知a,bER,则“b=e，”是“a=l〃b”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.如图，假定两点尸，Q以相同的初速度运动.点Q沿直线CO做匀速运动，CQ=x；点P沿线段A8（长

度为IO'单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y）.令尸与Q同时分别从A,

X

C出发，那么，定义A-为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示X与y的对应关系就是y=107（1）^,

其中e为自然对数的底.当点户从线段A8的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）

APyB

CSQD

A.In2B.In3C.In-^D.In

6.某食品的保鲜时间），（单位：小时）与储藏温度x（单位：。C）满足函数关系y=/计〃（e=2.718…为自

然对数的底数，匕b为常数）.若该食品在30c的保鲜时间是18小时,在20C的保鲜时间是36小时,

则该食品在0℃的保鲜时间是（）

A.54小时B.72小时C.108小时D.144小时

二.多选题（共3小题）

（多选）7.若实数小。满足2"=3，>=6,则（)

11

A.-+-=1B.log/>log/x/

ab

C.a>bD.aa>ah>bh

(多选)8.己知X,)€R,且12r=3,12y=4,则（）

A.y>xB.x+y>1C.xy<iD.Vx+7y<V2

（多选）9.已知3"=58=15,则下列结论正确的是（）

A.lga>lgbB.a+b=ab

C.D.a+4b>9

三.填空题（共4小题）

10.已知实数小乩c•满足9"=2"=c且乙+；=3,则。=

ab

11.关于x的方程e，=2的解为.

12.若log”=3,则实数/的值为.

13.已知/（x）=31则f（log32）=.

四,解答题（共2小题）

14.将下列指数式与对数式互化：

（1）/=16；

（2）64-3=i；

（3）log39=2；

（4）logvy=z（x>0且xWl,y>0）.

15.把下列对数式写成指数式:

(1)log39=2；(2)log5125=3；

11

(3)log2-=—2；(4)logs-=-4.

481

20252026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之对数

的概念

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案CDAADD

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ACDACDABD

一.选择题（共6小题）

I.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其

中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和/。（单位：坎德拉）分别表示在

深度。处和海面的光强.已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%,则该海域消光系数K的值约

为（）

（参考数据：/〃2Q0.7,加5=1.6）

A.0.2B.（）.18C.0.15D.0.14

【考点】指数式与对数式的互化.

【专•题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计穿即得.

【解答】解：某海域6米深处的光强是海面光强的40%,

依题意得，空=40%=4,

化成对数式，.6K=In-F=ln2-Zn5«—0.9,

则该海域消光系数K的值约为K凫O.15.

故选：C.

【点评】本题考查指数式、对数式互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.荀子《劝学》中说：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过

程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%,

一年后是1.0俨5比37.7834；而把(1-1%产5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365*0.0255.若

“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过()天

(参考数据:/g1()122.0043,/g99kl.9956)

A.200天B.210天C.220天D.230天

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】计算题：函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】根据题意可列出方程100X0.99'=1.01x,求解即可，

【解答】解：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍.

则100X0。夕=1.01”,

„1.01

即(一)、=100,

0.99

.1八八_e100_0100_222

・"Tog揭1°°-~~lgl01-lg99"2.0043-1.9956右0^087^230,

故选：D.

【点评】本题考查利用对数函数解决问题，考查学生的运算能力，属于中档题.

3.历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算

时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已

知青2=0.301,伙520.699,则2.5㈣的估算值为()

A.IO418B.10419C.1()420D.1()421

【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】结合对数的运算性质即可求解.

【解答】解:因为/g2M).30L伙5比0.699,

所以/g2.5i°5i=1051收2.5=1051(fe5-fe2)-1051X(0.699-0.301)-418,

所以以侬公好叱

故选:A.

【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题.

4.已知4,bER,则是'％=/〃〃”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】转化思想：综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】A

【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案.

【解答】解：因为》=/'04=。仍,

所以“0=产”是“a=lnb”的充要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题.

5.如图，假定两点P，。以相同的初速度运动.点。沿直线CO做匀速运动，CQ=x；点P沿线段A8（长

度为IO：单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PA=y）.令夕与。同时分别从4,

C出发，那么，定义X为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是y=1O74）TO

其中e为自然对数的底.当点尸从线段A8的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）

APyB

C工QD

34

A.M2B./〃3C.ln^D.ln1

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】应用题：转化思想；转化法：函数的性质及应用；数学建模.

【答案】D

【分析】易知，它们的初速度相等，故。点的速度为107,然后可以根据y=1。7（》67,求出p在中点、

1

3分点时的x,则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求.

【解答】解：由题意，P点初始速度1（）7即为。点的速度.

当P在靠近A点的三等分点时：|X107=1（）7（$/，解得：X=107Zn1,

当P在二等分点时：-x107=107（-）^,解得：x=1（）7/〃2,

所以经过的时间为：口。7（仇2一仇务］+io7=ln^.

故选：。.

【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解.属于基础题.

6.某食品的保鲜时间），（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系），=内^（e=2.718…为自

然对数的底数，k,b为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，

则该食品在0℃的保鲜时间是（）

A.54小时B.72小时C.108小时D.144小时

【考点】指数式与对数式的互化.

【专•题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】将两组数据代入解析式，利用指对互化和对数的运算法则求出左和〃的值，令x=0,求解即

可.

30k+b

【解答】解：由题意，可得

20k+b

ln2

+b="18

即第，解得k=-nT,

+b=仇36-b=2lnl2

即食品的保鲜时间y与储藏温度A-满足y=e-诃x+2mi2,

令X=0,可得）=/加12=⑷，

所以该食品在0℃的保鲜时间是144小时.

故选：D.

【点评】本题考查指、对数的运算，属基础题.

多选题（共3小题）

（多选）7.若实数m2满足2"=38=6,则（）

11

A.-+-=1B.Iog«/?>log/x7

ab

C.a>bD.ce>ab>bb

【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】ACD

【分析】利用指数式与刈数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、痔函数数的单调性进行

求解即可.

11

【解答】解：对于A,因为2。=3"=6,所以Z?=log36,d=log26,-+-=log62+log63=1,A正

确；

对于B,C,由已知得，a=log26>%=log36>l,所以1og/>18错误，C正确；

对于。，因为。1,/(x)="单调递增，所以/(。)=aa>f(b)=ab,

h

又g<A)=/在(0,十s)上单调递增，所以*(«)=">8Qb)=b,故〃>/'>〃'，D正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查对数运算的性质、指数式与对数式互化，属于中档题.

(多选)8.已知x,)WR,且⑵=3,⑵'=4,则()

A.y>xB.x+y>lC.xyD.y/x+y/y<\/2

【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；有理数指数累及根式.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解.

【答案】ACD

【分析】由已知结合指数及对数的转化及对数函数的性质检验选项A：结合对数的运算性质检验选项从

结合基本不等式检验选项C,。即可.

【解答】解：因为1炉=3,所以x=k)gi23,

因为12)'=4,所以y=logi24,则y>x,A正确；

A+y=logi212=1,所以8错误;

因为x>0,.y>0,xy<=I，当x=y成立，而xV户故孙V〃，所以C正确；

(Vx+y[y)2=x+y+2yfxy=1+25/xy<2,即我+近〈您，所以。正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了指数与对数的转化公式，还考查了对数函数的性质，基本不等式的应用，属于

中档题.

(多选)9.已知3。=5力=15,则下列结论正确的是()

A.Iga>lghB.a+b=ab

C.(1)a>(^)bD.a+4%>9

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】ABD

【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC,利用基本不等式即可判

断。.

【解答】解:由题可得r=bg315>log33=l>0,b=log515>log55=l>0.

1

/一

0<--=log153<log15S

对于从，因为aA〃>0,加以位aA/g〃，故A正确；

对于8,,.,（+*=，。自产+/自瞽='ogplS=1，:・a+b=ab,故B正确；

对于C,因为a>5>0,所以故C错误；

11

对于。，因为4>》>0,—+-=1.

ab

所以。+4匕=9+4匕）。+》=5+号+肄5+2后年=9.

当且仅当竺=£即〃=2b时等号成立，这与己知3"=5方矛盾，所以d4b>9,故。正确.

ab

故选：ABD.

【点评】本题考查指数函数和对数函数，属于中档题.

三,填空题（共4小题）

11

10.已知实数a,b,。满足9"=24'=。且一+1=3,则c=6.

ab

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】6.

【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.

【解答】解:,实数4,b,C满足9a=24°=C,.•・C>0,4=k）g9C,b=log24C,

11

3

A—+-=logc9+log24=log216=3,即c=216,

c=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查对数的运算，属于基础题.

11.关于x的方程F=2的解为组—.

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】M2.

【分析】根据对数运算得解.

【解答】解：由，=2,可得x=/〃2,

故答案为：历2.

【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属「基础题.

12.若log”r=3,则实数x的值为8.

【考点】对数的概念.

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】8.

【分析】把对数化为指数即可.

【解答】解：Iog2x=3,X=23=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了对数与指数的运算问题，是基础题.

13.已知/(x)=3",Mf(log32)=2.

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据指数恒等式，直接代入即可求解.

【解答】解：・・・/(x)=33

,V(log32)=3log32=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查指数和对数的基本运算，要求熟练掌握指数恒等式的计算.

四.解答题(共2小题)

14.将下列指数式与对数式互化；

(1)-6；

(2)64-3=i；

(3)log39=2；

(4)logvy=z(x>0且y>0).

【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质.

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

11

【答案】(1)(2)log64-=一一；(3)32=9；(4)/=y.

4*3

【分析】根据题意把指数化为对数，把对数化为指数即可.

【解答】解:(1)-=16,化为对数:。=加16；

1111

(2)64-3=本化为对数：k)g64]=-§；

(3)log39=2,化为指数:3z=9；

(4)logiy=z,化为指数：Y=y.

【点评】本题考查了指数与对数的互化问题，是基础题.

15.把下列对数式写成指数式：

(1)log39=2；(2)log5125=3：

11

(3)Iog2~=—2；(4)Iog3鼠=-4.

【考点】指数式与对数式的互化.

【答案】见试题解答内容

【分析】若logON=/7,则f=乂由此可以把对数式写成指数式.

【解答】解：(1)32=9；

(2)53=125；

(3)2-2=

⑷3-44.

【点评】本题考查指数式和对数式的互化，解题时要注意loaN=b=a=N.

考点卡片

1.有理数指数骞及根式

【知识点的认识】

根式与分数指数新

m___*

规定：an=（6»>0,m,nGN,n>I）

11*

a71=—m=（a>0，〃?，〃WN，n>1）

0的正分数指数鼎等于0,。的负分数指数哥没有意义

有理数指数露

（I）幕的有关概念：

m__.

①正分数指数累：an=（。>0,m,/?GN,且〃>1）；

②负分数指数辕：cT元=泰=百焉（a>0,〃?，〃WN"，且〃>1）：

③0的正分数指数基等于0,0的负分数指数呆无意义.

（2）有理数指数曙的性质：

①。"=（尸（〃>0,r,sEQ）：

②⑺s=ars（«>0,r,sWQ）；

③（ab）r=arbrb>6,/WQ）.

【解题方法点拨】

例1：下列计算正确的是（）

A、（・1）°=-1B、yjayja=aC、y（-3）4=3。、=\；。4{*}人{2

-2}}$（a>0）

分析；直接由有理指数幕的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案.

解：:（・1）°=1,

/.A不正确；

V$\sqrt{a\sqrt{a}）=\sqrt{a>{«}A{\/rt/c{1}{2}}}=\sqrt{{a}A{yrac{3}{2}））={«}A{\//w{3}{4}}=

Vw/{4}{⑷人{3}}$,

AB不正确；

V$\/V?6>Z{4}{(-3)八{4}}=\m0"4}{{3}A{4}}=3$,

・・・C正确；

,・・$W"{（{〃}"»）八{2}}{{。『{2}}=河c{{。}人{2x}}{{。}人{2}}={a}A{2x-2}$

AD不正确.

故选：C.

点评：本题考杳了根式与分数指数幕的互化，考查了有理指数凝的运算性质，是基础的计算题.

例1：若a>0,且m,n为整数，则下列各式中正确的是（）

A、${“AM}?{。勺?}={〃{、"*{〃?}{”}}}$C、（d"）〃=a"〃D、

»〃=/〃

分析：先由有理数指数哥的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案.

解:人中，，产小/=〃〃厂〃，故不成立；

B中,"〃・/=/+、/",故不成立:

C中，（""）"=/〃#*〃,故不成立;

D中，l+/=a°F,成立.

故选：D.

点评：本题考查有理数指数幕的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质.

2.对数的概念

【知识点的认识】

I.对数的定义

如果/=N（〃>（）且〃#1）,那么数文叫做以〃为底N的对数，记作x=IogaN,其中。叫做对数的底数,

N叫做真数.

（2）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为。（。>0且aWI）logaN

常用对数底数为