2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试 （含答案）

第一章特殊平行四边形单元测试

一、选择题：本大题共8小题，共24分。

1.矩形和菱形都具有的性质是()

A.邻边相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等

2.如图，四边形A8C。是菱形，£ACD=30%则()

A.30°B.45°C.60°D.120°

3.在平面直角坐标系中，四边形48CO的顶点坐标分别是4(一3,0),8(0,2),C(3,0),。(0,-2),则四边形

A8C。是()

A.用形B.菱形C.正方形D.平行四i力形

4.如图，在△ABC中,^ABC=90°,。是边4c上的一点,。是A。的中点.若AC的垂直平分线经过点

D,DC=8,则BP=()

A.8B.6C.4D.2

5.关于弘8CO的叙述，正确的是()

A.TiAB1BC,则口48CQ是菱形B.若4CJ.80,贝是正方形

C.若"=80,则口A8CO是矩形D.若48=AO,则%BCO是正方形

6.四边形不具有稳定性.四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变.如

图，改变正方形A8C。的内角，使正方形A8C。变为菱形力BCD'.如果4D4D'=30。，那么菱形/IBC'D'与正

D.I

7.如图，正方形ABC。的对角线相交于点。，点七在边44上，点F在。。上，过点£作EG18D,垂足

为G.若FE=FC,EF1CF,OF=3,则BE的长为（）

B.3/2C.3/3D.2/3

8.如图，在矩形A8CO中，AB=8,AD=4,七是上一个动点，尸是AO上一点（点F不与点。重合

）,连接石尸，将尸沿石尸翻折，使点人的对应点A落在边CO上，连接EC.若AE=CE,则△ADF的面

积为（）

B.1.5C.2D.2.5

二、填空题：本大题共5小题，共15分。

9.若正方形的一条对角线长为2口，则该正方形的周长为.

10.如图,菱形ABCO的边长是2c”，E是人8的中点，且DE14B,则菱形/WC。的面积为cm2.

11.如图,在矩形ABC。中，AD=2AB,AM=CN,点、M,N分别在边A。，BC上,连接8M,DN.若

镭=看，则四边形MBN。的形状是.

12.如图，已知四边形44co和四边形QEFG均为正方形，且G为6c的中点，连接BE.若4B=2,则

的长为.

13.如图，P为菱形A3CO的对角线AC上的一定点，。为边4。上的一个动点，AP的垂直平分线分别交

AB,AP于点E,G,4D48=30，.若P。的最小值为2,则4E的长为.

三、解答题：本大题共13小题，共81分。

14.如图，在矩形"CO中，两条对角线AC与4。相交于点0,AB=6,。4=4.求8。和AO的长.

15.如图，在中，48Ao的平分线交C。于点E,交3。的延长线于点R连接8E,4尸二45。.求

证：四边形A3C。是矩形.

16.如图，四边形4BCO是菱形，CEJ.相交AB的延长线于点E,CF，71。交4。的延长线于点立求证:

DF=BE.

17.如图，在RCA48C中，乙B=90°,44=30。，请用尺规作图法，在边AC上求作一点。，使8。=

JAC.（保留作图痕迹，不写作法）

A

18.如图，以正方形A8C。的对角线AC为一边，延长A8到点E,使4E=AC,以AE为一边作菱形4EFC.

若菱形的面积为9M，求正方形的边长.

19.如图，在正方形ABC。中，E,尸分别为边A8,BC上的点，且8E=8"，连接CE,延长AB至点G,

使得8G=84延长G尸交CE于点H.求证：GH1CE.

20.如图，在△48C中，AB=AC,AD,AE分别是与△4EC的外角48力尸的平分线，BEJ.AE.求证:

AB=DE.

21.如图，在菱形A4CO中，”为对角线8。上一点，£为A4延长线上一点，DF=BE,CE=CF.求证:

(l)ACFD^ACEB.

(2)zCFF=60°.

22.如图所示，已知四边形A3CO,AO律都是菱形，4BAD=々FAD,4BAD为锐角.

(1)求证：AD1BF.

(2)若BF=8C,求〃DC的度数.

23.如图，在正方形ABCO中，点E,尸分别在边4B,BC上，Z.ADE=Z.CDF.

(1)求证：AE=CF.

(2)连接。8交E尸于点。，延长08至点G,使OG=。。，连接EG,FG,判断四边形。EG/是不是菱

形，并说明理由.

24.如图，在矩形4/3CO中，M,X分别是边A。，8c的中点，E,产分别是线段4M,CM的中点.

BNC

(1)求证：△ABMgZiDCM.

(2)判断四边形MEN/是什么特殊四边形，并证明你的结论.

25.如图，正方形4BCO的边长为8cm,E,F,G,，分别是AB,BC,CD,D4上的动点，且AE==

CG=DH.

AHD

(1)求证：四边形EFG”是正方形.

(2)连接EG,判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由.

(1)问题樨出:

AHD

图1

如图1,在四边形中，AABC=90°,对角线4CJ.80,AC=BD,E,F,G,〃分别是各边的中

点.求证：四边形EFGH是正方形.

(2)问题解决：如图2,某市有一块四边形土地ABC。，4。=60米，DC=80米，LADC=90°,尸是该四

边形土地内的一点，计划在四个三角形土地△力PD,AAPB,△8CP,ACPD中分别种植不同的花草，为

了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形A3。。各边的中点£,F,G,H,然后在四边形EFG”的

四条边PG,GH,E”铺上人行道地砖(人行道宽度不计)，铺设地砖成本为20元/米，经测量4P二

BP,CP=DP,Z,APB=ZCPD=90°,设计要求是四边形EFG&为正方形，请问王师傅的设计方案是否

符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】4

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】8

10.【答案】2/3

11.【答案】菱形

12.【答案】717

13.【答案】4

14.【答案】解：•.•四边形A8CO是矩形，.,.8D=4C=2O4=8,/-BAD=90°.AD=\/BD2-AB2=

V82-62=2>[7.

15.【答案】证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，•.乙DAE=NF.尸=45°,.•.△DAE=45°.•・•

/IF是匕BA。的平分线，・•.Z.EAB=乙DAE=45°.Z.DAB=90°.又•.•四边形A8co是平彳亍四边形：.♦.平行四边

形ABCD是矩形.

16.【答案】证明：连接ACJ.•四边形A4C。是菱形，二AC平分4DC=BCJ：CE1AB,CFLAD,：.

CE=CF,乙CFD=乙CEB=90°.在/?£△CDF^Rt△CBE中,{£?=啾：.Rt△CDF^Rt△CBEfHLYA

Cr=CC；

DF=BE.

17.【答案】解：如图，线段8。即为所求.

CB

18.【答案】解：设正方形的边长为七•••£为正方形人8。。的对角线，.•.4。=，^..ME=4%,CB=

x.：.S菱形AEFC=AE•CB=yl~2x-x=\[2x2=9-/2.x2=9,解得x=3(负值舍去).故正方形的边长为3.

19.【答案】证明：•.•四边形ABCQ是正方形，••.NC8E=NGBF=90°,AB=BC.-BG=AB,ABG=BC.

BE=BF,

ffiABCE^LBG/中，乙CBE=/.GBF,BCE/&BGF(SAS).：.乙BCE=乙GJ：乙BCE+乙BEC=90°,•••

BC=BG,

乙G十乙GEH=90°.•••乙GHE=90°.•••GH1CE.

20.【答案】证明：•••A。，A£分另J是4B4C与乙3力尸的平分线，/.Z.DAE=/.BAD+^EAB=1{LBAC4-

Z.BAF)=90°.vBELAE,•••zAEB=90°.•••力8=AC,A。平分匕B力C,AD1BC.ALADB=90°.v

△D4E=^4EB=/4OB=90°,.••四边形AE8O为矩形..•.ABuDE.

21.【答案】【小题1】

CD=CB,

证明：•••四边形AOC。是菱形，:CO=CO.在△CPD和△CE3中，C"=CE,•••△CPOZACCO(SSS).

DF=BE,

【小题2】

•••△CFO经△CEB,:,乙CDB=cCBE,4。C"=乙8。区•••四边形ABC。是菱形，•••LCBD=LABD.VCD=

CB,A乙CDB=乙CBD.：.乙480=乙CBD=乙CBE=60°,△CB。是等边三角形.二乙DCB=60°.二乙FCE=

60°.又•：C/：I=CE,/是等边三角形..•・/■(：产E=60°.

22.【答案】【小题1】

证明：•.•四边形ABCQ,4。£：尸是菱形，二48=4。=//.又,；484£)=4凡4/),，力。18/<

【小题2】

vBF=BC,•••8"=48=4".是等边三角形.A/.BAF=60°，Xv^.BAD=/.FAD,ALBAD=

30°.；,乙ADC=180°-30°=150°.

23.【答案】【小题I】

Z.ADE=乙CDF,

证明：在正方形A8CO中，AD=CD,，＜=,。=90°.在4力£^和4。。尸中，AD=CD,△

Z.A=Z.C,

ADEgACDF(ASA).AE=CF.

【小题2】

四边形。EGP是菱形.理由：在正方形ABCD中，AB=BC,由(1)知ME=C凡二48—/E=8C—CF,

即BE=8尸.•••△ADE^LCDF,ADE=DF.ABZ)垂直平分EF.EO=FO.又•:OG=。。，.•・四边形DEGF是

平行四边形.又「BDIEF,.••□DEGF是菱形.

24.【答案】【小题1】

证明：•四边形人8c。是矩形，二AB=C。，乙1=40=90°「M是人。的中点，.•.AM=OM.在△力BM和

(AB=DC,

△DCM中，\z-A=ZD,/.△ABM^LDCM(SAS).

[AM=DM,

【小题2】

四边形MEN尸是菱形.证明：vE,F,N分别是8M,CM,C8的中点，,NE〃MF,NE=^CM=MF.-.

四边形MEN尸是平行四边形.由(1)可得，BM=CM,.•.时£=,必产.，平行四边形时小下是菱形.

25•【答案】【小题1】

解：证明：•••四边形A4CO是正方形，二/E4H==乙。。2=乙0=90°,AB=BC=CD=DA.-AE=

(AE=BF,

BF=CG=DH,：.AH=BE=CF=DG.SEAAEH^\LBFE^,\Z.EAH=乙B,AEH^LBFE(S4S).，

(AH=BE,

EH=FE,AAEH=4B『E.同理可证/产=FG=GH.EH=FE=FG=GH..••四边形EFG”是菱形.•:

乙BEF+乙BFE=90°,Z.BEF+LAEH=90°..-.Z.HEF=90°.，菱形EFG”是正方形.

【小题2】

直线£6经过一个定点，这个定点为正方形的中心的交点).理由如下：连接AC,交EG于点。・四