1.2 等腰三角形 第3课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用2等腰三角形第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质复习导入这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．图中的三角形都是________三角形．等边【探究1】等边三角形的判定方法探究新知

一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己的结论.（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．ABC（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。ABC证明：①若AB=AC，∠A=60°，60°则∠B=∠C=(180°–∠A)÷2=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形。ABC60°证明：②若AB＝AC，∠B=60°，（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。∴∠C=∠B=60°。则∠A=180°–∠B–∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形。几何语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形定理三个角都相等的三角形是等边三角形。定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳：等腰三角形等边三角形边角三条边都相等的三角形是等边三角形两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形两条边相等的三角形是等腰三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.证明等边三角形的思路：三角形等边三角形等腰三角形有一个角等于60°等腰三角形的判定思路1：三边相等思路2：三角相等【探究2】含30°角的直角三角形的性质(1)用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?两个完全相同的含30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形.尝试·思考(2)在上述拼接过程中，你发现了什么结论?请证明你的结论.由此可以发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半.

ABC证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°.∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).ABCD在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理).ABCD∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=180°-30°-90°=60°.∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。几何语言：ABC30°含30°角的直角三角形的性质：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵∠A=30°，∴BC=AB

ABCD证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，ABC∴∠ADC=90°.

∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).∵CD是腰AB上的高，

应用举例【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E,DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.求证：△ABC是等边三角形．【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．证明：∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠F.又∵∠CDF＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F.∵DE⊥AB，∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠A＝∠B，∴△ABC是等腰三角形．又∵∠F＝30°，∴∠B＝90°－∠F＝60°，∴△ABC是等边三角形．【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．

证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.

归纳总结在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等边三角形的判定定义法三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定定理直角三角形的性质定理三条边都相等的三角形是等边三角形随堂练习1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正确的有

()A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③D2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是

()A．等边三角形

B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形

D．不等边三角形A3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是____．4．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__________．(填序号)5①②③④5

．如图，∠B＝90°，AB＝6cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝____cm.126．如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____s.267.如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形．证明：∵OA＝OB，∠A＝60°，∴∠B＝∠A＝60°.又∵AB∥CD，∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，∴△OCD是等边三角形．∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，8.已知：如图，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC.求证：△ACD是等边三角形.证明：∵BD∥AC，∴∠C+∠BDC=180°，∠DAC=∠ADB.∵∠C=60°，∴∠BDC=120°.∵DA平分∠BDC，

∴∠ADC=∠C=∠DAC，∴△ACD是等边三角形.9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.解：∵CD是△ABC的高，∴CD⊥AB，∴∠BDC=90°.