1. 4 随机事件的运算

1.4随机事件的运算明确目标发展素养1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养数学抽象和数学运算素养.(一)教材梳理填空(二)基本知能小试1．判断正误(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能有一个发生．

(

)(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．

(

)(3)若事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．

(

)√××2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则

(

)A．A＝B

B．A与B互斥C．A与B对立

D．以上都不对答案：B3．设A，B，C为三个事件，则A∪B∪C表示的意义是_______________．答案：事件A，B，C至少有一个发生4．掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．答案：A与B

A与B题型一互斥与对立事件的判定

【学透用活】[典例1]一个射击选手进行一次射击．事件A：命中的环数大于7环；事件B：命中的环数为10环；事件C：命中的环数小于6环；事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环．判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)事件A与B；(2)事件A与C；(3)事件C与D.[解]

(1)不是互斥事件，更不可能是对立事件．理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中的环数为10环，二者能够同时发生，即A∩B＝{命中的环数为10环}．(2)是互斥事件，但不是对立事件．理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环，不可能同时发生，但A∪C＝{命中的环数为1,2,3,4,5,8,9,10环}≠Ω(Ω为样本空间)．(3)是互斥事件，也是对立事件．理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环，不可能同时发生，且C∪D＝{命中的环数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10环}＝Ω(Ω为样本空间)．[方法技巧]互斥事件和对立事件的判断方法要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响．

【对点练清】从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是

(

)A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止1个红球解析：从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有2个红球．故选D.答案：D

题型二随机事件的运算

[探究发现]“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”

“事件A与事件B互斥”“事件A与事件B对立”分别对应集合中的哪些关系或运算？提示：“事件B包含事件A”对应集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A与集合B的并集；“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集；“事件A与事件B互斥”对应集合A与集合B的交集为空集；“事件A与事件B对立”对应集合A与集合B互为补集．

【学透用活】[典例2]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解]

设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为A∩B＝∅，所以A与B互斥且不对立．(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．因为C∩D＝D，所以D⊆C.即C与D不互斥．(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F＝{(4,5)}．因为E∪F＝Ω，E∩F＝∅，所以E和F互为对立事件．(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，则G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，因为G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．[方法技巧]进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．

【对点练清】在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个基本事件，记作Ai＝{出现点数i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立；事件A包含于事件C；事件A与D互斥，但不对立．事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件．事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，

A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}，B∩D＝A4＝{出现点数4}，B∪C＝

A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．[好题共享——选自人教A版新教材]一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1，事件R与G，事件M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？解：(1)所有的试验结果如图所示．用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是R1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}；事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是R2＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)}．同理，有R＝{(1,2)，(2,1)}，G＝{(3,4)，(4,3)}，M＝{(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，N＝{(1,3)