初中数学专题5利用一次函数解决实际问题（教师版）

PageSeq更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专题5利用一次函数解决实际问题知识对接考点一、一次函数的应用1、常见类型(1)简单应用:一般只涉及一个简单表达式的实际问题,如根据表达式求变量的值或最大(小)值等.(2)分段函数问题:函数关系随自变量取值范围的变化而不同,如阶梯收费问题(水费、电费、出租车收费等)、促销问题、计算机程序等.(3)双函数问题:问题情境涉及两个相关表达式,如方案选择、相遇问题等.2、一般步骤(1)根据题意,设定问题中的变量;(2)建立函数模型;(3)确定自变量的取值范围;(4)结合方程或不等式(组)、函数的性质等解决实际问题.考点二、解决分段函数问题的一般思路1.找特殊点,即起点、终点或转折点;2.根据函数图象的特征判定函数的类型,利用待定系数法求相应的解析式;3.结合实际,求点的坐标或相应的最值等.专项训练一、单选题1．为加快修建速度，工程负责人将工程队分为甲、乙两组，从路的两端同时开工，两个组修建道路的长度（千米）与施工天数（天）的函数关系如图所示，则开工多少天时，两个组修建道路的长度相同（）A．12 B．13 C．15 D．16【答案】D更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】根据待定系数法，将甲和乙的函数解析式求出，然后联立求解，可将两个组修建道路长度相同时的开工时间求出．【详解】解：设甲组修建10天后对应函数解析式为则解得设乙组对应的函数解析式为，则由得开工16天后两个组修建道路的长度相同故选：D．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解及具备在直角坐标系中的读图能力．2．水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，并关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和出水口；③3点到4点，关闭一个进水口，并打开出水口；④4点到5点，只打开出水口；⑤5点到6点，同时打开两个进水口和出水口．其中，合理的论断有（）个更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据图1，图2先求出进水速度与出水速度，再根据时间段的进出水量确定开进出水口对每个时间段进行分析即可判定．【详解】解：①进水速度为1÷1=1，出水速度为2÷1=20点到1点，6-5=1,1÷1=1∴打开一个进水口，并关闭出水口故①不合理；②1点到3点，进水出水相同，同时关闭两个进水口和出水口合理；故②合理；③3点到4点，出水5-6=-1关闭一个进水口，并打开出水口=1-2=-1合理故③合理；④4点到5点，3-5=-2只打开出水口-2合理故④合理；⑤5点到6点，进水量与出水量相同同时打开两个进水口和出水口=1×2-2=0合理故⑤合理；合理的论断由4个．故选D．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查进出水图像信息获取，应用信息解决问题能力，掌握进出水图像信息获取，应用信息解决问题能力，单位时间进水量÷进水速度=开进水口，单位时间出水量÷出水速度=打开出水口是解题关键．3．快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离y（千米）与快车的行驶时间x（小时）之间的函数图象．则下列说法：①两车在途中相遇时都停留了1小时；②快车从甲地去乙地时每小时比慢车多行驶40km；③快车从乙地返回甲地的速度为120km/h；④当慢车到达甲地的时候，快车与甲地的距离为400km．其中正确的有（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】3-4h那段y=0，表示两车相遇，休息了一个小时；根据速度和与速度比求出快车与慢车的速度，进而知道快车比慢车每小时多走多少路程；求出快车到达的时间，休息半小时，根据12.5h时返回求出返回用的时间，进而求出返回时的速度；求出慢车到达甲地的时间，此时快车出发了2个小时，从而可以计算出快车与甲地的距离．【详解】解：停留时间4-3=1h，故①正确；由图象可知，快车走600km，慢车走400km∴快车与慢车的速度比为3：2而速度和=600÷3=200km/h∴快车的速度=200×=120km/h，慢车的速度=200×=80km/h∴120-80=40km/h，故②正确；快车到达乙地的时间为600÷120+1=6h，快车休息半小时，出发时的时间为6+0.5=6.5h，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher快车返回用的时间12.5-6.5=6h快车返回的速度=600÷6=100km/h，故③错误；慢车到达甲地的时间为600÷80+1=8.5h此时快车出发8.5-6.5=2h快车走了100×2=200km快车与甲地的距离600-200=400km，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的应用，注意认真分析拐点的含义，根据速度和与速度比求出快车与慢车的速度是解题的关键．4．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解．【详解】解：设则，，；；；；；解得；；；，把，，，代入得：，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得，．的最大值是；最小值是19最大值和最小值的和为：．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围．5．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（）①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先据图象信息求得两车相遇前每小时缩短的矩离和相遇时间求甲、乙两地的距离，据两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米和相遇时间求得每小时轿车比货车多行的路程算得轿车与货车的速度；由轿车的速度和两地距离可求得轿车到乙地的时间得C的横坐标，用所求得的轿车到乙地的时间减去相遇的时间3，得到从相遇后到轿车到乙地的时间，用其乘以150得到C的纵坐标，从而得到C点的实际意义．据以上所述找出正确说法的个数作答．【详解】解：由图象得行驶2小时时，两车相距150千米，行驶3小时时两车相遇得，两车每小时缩短150千米（即两车每小时共行驶150千米）由于相遇时两车共行驶了3小时，所以甲、乙两地相距3×150=450（千米），故①正确；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher因为两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，相遇时间为3小时，得轿车比货车每小时多行90÷3=30（千米）又两车每小时共行驶150千米得：轿车每小时行驶（千米）、货车每小时行驶（千米）故②错误，③正确；∵轿车每小时行驶90千米，两地相距450千米∴轿车从甲地到乙地所用时间为450÷90=5（小时）∴从相遇起到轿车到达乙地共用时5-3=2（小时），又两车每小时共行驶150千米∴得轿车到达乙地时两车相距150×2=300（千米）故④正确．综上所述有①③④正确．故选：C．【点睛】此题考查从一次函数的图象中提取信息并进行计算和分析，弄清图象所表示的实际意义理解两车整个运动过程是关键．6．如图，直线l：y＝﹣x++3与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（）A．20+4 B．44+4C．20+4或44﹣4 D．20﹣4或44+4【答案】C【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可．【详解】解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点∴D（2，0）∴BD=4又∠DBE＝∠DEB∴DE=BD=4对于直线l：y＝﹣x++3，当x=0时，y=+3；当y=0时，x=+3∴OH=+3，AO=+3∴∴∴∴又∴∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴设直线DF所在直线解析式为把，D（2，0）代入得，解得，∴直线DF所在直线解析式为联立解得，∴F(，)∴在Rt△DFE中，∴①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM∵EM=DE∴又∵∴又∵∴∴DC=DM在Rt△DFM中，∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM∵EM=DE∴又∵，∴∴DC=DM∴在Rt△DFM中，∴综上所述，或故选：C【点睛】本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，点B是y轴正半轴上的一点，且位于C点下方，当∠CAB＝∠BAO时，则点B的纵坐标是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B． C． D．【答案】B【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出AC的长，利用面积法可找出，代入后即可求出OB的长，进而可得出点B的纵坐标．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图所示．当x＝0时，y＝×0+4＝4∴点C的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣3∴点A的坐标为（﹣3，0）．在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4∴,∵∠CAB＝∠BAO∴BD＝BO．∵S△AOB＝OA•OB，S△ABC＝OA•BC＝AC•BD∴，即∴OB＝∴B点的纵坐标为故选B．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形面积，一次函数与坐标轴的交点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D的路径运动到点D停止．设点P的运动路程为x（cm），则下列图象中，能表示ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，由C运动到D时，面积减小，从而得出函数关系的图象．【详解】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x当P点由B运动到C点时，即2＜x≤4时，y＝×2×2＝2由C运动到D时，即4＜x≤6时，y＝×2（6﹣x）＝﹣x+6符合题意的函数关系的图象是D；故选：D．【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．9．一列动车匀速从南通开往南京，一列普通列车匀速从南京开往南通，两车同时出发，设普通列车行驶的更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（）①南京、南通两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；②普通列车到达终点站共需2h；③普通列车的平均速度为88km/h；④动车的平均速度为250km/h．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得南京、南通两地相距176km，两车出发后0.5h相遇，故①正确；普通列车到达终点站共需2h，故②正确；普通列车的平均速度为：176÷2＝88(km/h)，故③正确；动车的平均速度为：176÷0.5﹣88＝352﹣88＝264(km/h)，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【答案】A更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】分P在AB边上、P在BC边上、P在CD边上三种情况确定函数关系式，然后逐项判定即可．【详解】解：分三种情况：①当P在AB边上时，如图1设菱形的高为hy＝AP•h∵AP随x的增大而增大，h不变∴y随x的增大而增大故选项C和D不正确；②当P在边BC上时，如图2y＝AD•hAD和h都不变∴在这个过程中，y不变故选项B不正确；③当P在边CD上时，如图3y＝PD•h∵PD随x的增大而减小，h不变∴y随x的增大而减小∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D∴P在三条线段上运动的时间相同故选项A正确．故选A．【点睛】本题主要考查了动点问题与函数图象、一次函数的性质、菱形的性质等知识点，掌握一次函数的性质和分更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher类讨论思想成为解答本题的关键．二、填空题11．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则的取值范围是___．【答案】1<m<【分析】根据题意得出0<m+1<6，0<m-1<3，m-1<-(m+1)+3，解不等式组即可求得．【详解】函数由题意A(6,0)，B(0,3)如图点P在△AOB的内部点P的横坐标在0和6之间，纵坐标在0和3之间，并且位于直线的下方解得1<m<故答案为：1<m<．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，涉及一元一次不等式组的求解，难度一般，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．12．从地向地打长途电话，通话时间不超过收费2.4元，超过后每分钟加收1元．有10元更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher钱时，打一次电话最多可以通话_______分钟.（结果取整数，不足的通话时间按计费）【答案】10【分析】设通话时间为x分钟，通话费用为y元，由题意知，前3分钟话费是固定不变，若通话时间小于3分钟，则话费是2.4元，若大于等于3分钟，则所需费用是2.4加上超过的部分，据此即可列出函数关系式，再将y=10代入解析式即可解答．【详解】解：根据题意，设通话时间为x分钟，且易知x大于3分钟，通话费用为y元，则依题意得到函数关系式为：y=2.4+（x-3）=x-0.6；

当y=10时，10=x-0.6，

解得：x=10.6因为x为整数，

故x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是至关重要的一步．13．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系如图所示，则当弹簧所挂物体质量是时的长度是______．【答案】15【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出时，的值即可．【详解】解：设与的关系式为图象经过，，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得：当时，当弹簧所挂物体质量是时的长度是．故答案为15．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．14．，，三点在同一直线上，则的值为________．【答案】13【分析】先求出直线AB的解析式，把P点代入解析式即可求解．【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b把，代入得解得∴直线AB的解析式为y=x+1把代入得m=×8+1=13故答案为：13．【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据待定系数法求出直线AB的解析式．15．、两地之间为直线距离且相距千米，甲开车从地出发前往地，乙骑自行车从地出发前往地，已知乙比甲晚出发小时，两车均匀速行驶，当甲到达地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的图象，则更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当甲第二次与乙相遇时，甲离地的距离为______千米．【答案】【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，甲离A地的距离．【详解】解：设甲的速度为a

km/h，乙的速度为b

km/h由题意，得，解得故甲的速度为100km/h，乙的速度为25km/h；设第二次甲追上乙的时间为m小时由题意，得100m−25（m−1）＝600解得，m＝∴当甲第二次与乙相遇时，甲离A地的距离为：600−(−600÷100)×100＝（km）．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．三、解答题16．如图，直线与y轴、x轴分別交于A、B两点，点C在线段AB上从A向B运动，另一动点P从B出发，沿直线运动，记AC的长为t，P的坐标为（1，b），分析此图后，队下列问题作出探究：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）当t=且b=时，．（2）当OC与CP垂直时，①判断线段OC和CP的数量关系？并证明你得到的结论②试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．③求出当为等腰三角形时点P的坐标【答案】（1）-1；-1；（2）①OC=CP，证明见详解；②，；③当为等腰三角形时点P的坐标为（1，1）或（1，）．【分析】（1）由OA=OB=1，可得∠OAB=∠OBA=45°，由勾股定理AB=，由OA∥PB，可得∠AOC=∠PBC，由，可得-t=1，求出t即可；（2）①OC=CP，过C作CD⊥y轴于D，延长DC交BP延长线于E，由（1）知∠OAB=45°，可求∠ACD=45°，可得AD=DC，可证△DOC≌△ECP（ASA）即可；②由∠EBC=∠OAB=∠ECB=45°，可得CE=EB=OD，由AC=t，可求AD=DC=，可得，即可；③根据t的变化，分两种情况当t=0时，△BPC为等腰直角三角形，点A、C、D三点重合，点E、P重合，求出CP⊥y轴，PC=OB=1，PB=OC=1，当BC=BP时，CB=，BE=CE=，BP=EP-BE=，可列方程=，求解即可．【详解】解：（1）∴点A（0，1），点B（1，0）∴OA=OB=1∴∠OAB=∠OBA=45°由勾股定理AB=更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵OA∥PB∴∠AOC=∠PBC∵．∴OA=BC，AC=BP∴BC=AB-AC=-t=1∴t=-1，b=t=-1,∴当t=-1，b=-1时，．故答案为-1；-1；（2）当OC与CP垂直时∴OC⊥CP①OC=CP过C作CD⊥y轴于D，延长DC交BP延长线于E由（1）知∠OAB=45°∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=180°-45°-90°=45°∴AD=DC∴OD=1-AD=1-DC=CE又∵OC⊥PC∴∠DCO+∠ECP=90°，∠DOC+∠DCO=90°∴∠DOC=∠ECP在△DOC和△ECP中，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵∴△DOC≌△ECP（ASA）∴OC=CP；②∵∠EBC=∠OAB=∠ECB=45°∴CE=EB=OD∵AC=t∴AD=DC=b=BP=BE-EP=CE-EP=OD-EP=OA-2AD=1-2×=1-∴；③当t=0时，△BPC为等腰直角三角形，点A、C、D三点重合，点E、P重合∴CP⊥y轴，PC=OB=1，PB=OC=1∴P（1，1）；当BC=BP时，CB=，BE=CE=∴EP=DC=1-∴BP=EP-BE=∴=解得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴BP=∴点P坐标为（1，）；∴当为等腰三角形时点P的坐标为（1，1）或（1，）．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形动点问题，三角形全等判定，勾股定理，方程，等腰三角形判定与性质，掌握平面直角坐标系中图形动点问题，三角形全等判定，勾股定理，方程，等腰三角形判定与性质是解题关键．17．学校商店购进A、B两种型号的吉祥物共100个．经预算，全部售出后，可获得利润不低于475元，不高于480元．设全部售出的总利润为y元，购进A型吉祥物x个．两种型号的吉祥物成本和售价如表：型号A型B型成本（元/个）2024售价（元/个）2628（1）求y与x的函数关系式；（2）求符合条件的进货方案有几种？（3）按哪种方案进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）共有三种方案：①购进A型吉祥物38个，B型吉祥物62个；②购进A型吉祥物39个，B型吉祥物61个；③购进A型吉祥物40个，B型吉祥物60个；（3）购进A型吉祥物40个，B型吉祥物60个才能使总利润最大，最大利润是480元【分析】（1）根据“总利润=销售总额-总成本”列出函数关系式即可；（2）设生产A型吉祥物x个，则B型吉祥物（100-x）个，由题意列出不等式组求解；（3）分别求出（2）中购买方案的总利润，再进行比较即可得到答案．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：（1）∵全部售出的总利润为y元，购进A型吉祥物x个．∴购进B型吉祥物（100-x）个∵总利润=销售总额-总成本∴（2）∵∴∵x是整数∴x=38，39，40∴100-x=62，61，60∴共有三种方案：①购进A型吉祥物38个，B型吉祥物62个；②购进A型吉祥物39个，B型吉祥物61个；③购进A型吉祥物40个，B型吉祥物60个；（3）若进A型吉祥物38个，则y=400+2×38=476(元)；若进A型吉祥物39个，则y=400+2×39=478(元)；若进A型吉祥物40个，则y=400+2×40=480(元)；∵∴购进A型吉祥物40个，B型吉祥物60个才能使总利润最大，最大利润是480元【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．18．已知直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，直线、交于点，且点的横坐标为1．（1）求直线的解析式和点的坐标．（2）直线与轴交于点，将向上平移9个单位得，与轴、轴分别交于点、，点为上一动点，连接、，当的周长最小时，求的周长和点的坐标．（3）将绕点逆时针旋转，使旋转后的直线过点，过点作平行于轴，点、分别为直线、上两个动点，是否存在点、点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）；（2）的周长最小值为，，；（3）或，．【分析】（1）先将点的横坐标代入直线，求出点坐标，再将点C的坐标代入直线，可求出直线的解析式，进而求出点的坐标；（2）利用平移求出的解析式，构造点关于的对称点，利用轴对称的性质及等腰直角三角形的性质求得点Q的坐标，利用两点之间线段最短找到点的坐标，再利用勾股定理求出的周长；（3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出方程组，进而求出的坐标．【详解】解：（1）将代入直线得故点的坐标为将的坐标代入直线得：解得直线令，则解得故点的坐标为（2）∵直线为向上平移9个单位所得∴直线的解析式为：令，得，令，得故点，点的坐标分别为，∴OE＝OF＝6，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher又∵∠EOF＝90°∴∠OEF＝∠OFE＝45°∵直线与轴交于点∴令，得故点的坐标为∴BE＝OE－OB＝6－4＝2取点关于的对称点，连接QE根据轴对称的性质可得∠QEF＝∠OEF＝45°，QE＝BE＝2，PQ＝BP∴∠BEQ＝∠QEF＋∠OEF＝90°即：QE⊥x轴∴点Q的坐标为（6，2）连接，设直线的解析式为将（6，2），（－3，0）代入得：解得：∴直线的解析式为∵∴当的周长最小时，即最小，此时点A、P、Q在同一直线上如图，设直线AQ与直线交于点此时最小最小值为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher此时的周长最小值为由解得点坐标为，；（3）设的解析式为将，代入得：解得的解析式为当点在直线的上方时设点，点如图，过点，分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，三条直线分别交于，两点，则，的坐标分别为，，，，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher又，，即解得，点的坐标为当点在直线的下方时设点，点如图，过点，分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，三条直线分别交于，两点，则，的坐标分别为，，，，，，即，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得，点的坐标为，综上所述，点的坐标为或，．【点睛】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等相关知识，能够灵活运用相关知识是解决本题的关键．19．如图，这是反映爷爷一天晚饭后从家中出发去红旗河体育公园锻炼的时间与离家距离之间关系的一幅图．（1）爷爷这一天从公园返回到家用多长时间？（2）爷爷散步时最远离家多少米？（3）爷爷在公园锻炼多长时间？（4）爷爷在出发后多长时间离家720m．【答案】（1）15分钟；（2）900米；（3）10分钟；（4）16分钟或33分钟【分析】（1）由图象知从第30分钟返回，到45分钟就回到家，从而求出从公园返回用的时间．（2）从图上可知爷爷散步时最远离家900米．（3）由图象得20分钟到达，锻炼了10分钟．（4）分去公园的路上离家720m和从公园回来的路上离家720m，两种情况讨论．【详解】解：（1）由图象知从第30分钟返回，到45分钟就回到家爷爷天从公园返回用了15分钟；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）从图上可知，爷爷散步时最远离家900米；（3）由图象得20分钟到达，30分钟离开，爷爷在公园锻炼10分钟；（4）①去公园的路上离家720m；速度为：（米分）根据（分钟）②从公园回来的路上离家720m速度为：（米分）（分钟）故（分钟）综上：16分钟或33分钟．【点睛】本题考查动点问题的函数的图象，解题的关键是结合图形找出离家最远的距离以及每一段的时间，进而求出每一段的速度．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．且，，．点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知时，直线l恰好过点C．（1）求点和点的坐标；（2）当时，求关于的函数关系式；（3）当时，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）作轴于，如图，先利用勾股定理计算出得到点坐标为，再利用待定系数法分别求出直线的解析式，直线的解析式，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到、的坐标，从而得到关于的函数关系式；（3）利用待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，然后分类讨论：当，，当时，分别列出方程，然后解方程求出得到点坐标．【详解】解：（1）如图：过点作于，，，点的坐标为，点的坐标为；（2）作轴于，如图时，直线恰好过点，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在中，点坐标为设直线的解析式为把代入得，解得直线的解析式为设直线的解析式为把代入得，解得直线的解析式为，，即；（3）设直线的解析式为把，代入得：，解得直线的解析式为同理可得直线的解析式为当时，若，则解得此时点坐标为；当时，，若，则解得（不合题意舍去）；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当时，，若，则解得，此时点坐标为，；综上所述，满足条件的点坐标为或，．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；解题的关键是会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示线段的长；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．21．“五一”假期，小明一家随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人）；超过25人的，超过部分每人10元．（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）（x＞25）之间的关系式．（2）利用（1）中的关系式计算：若小明一家所在的旅游团共55人，则他们为购门票花了多少钱？【答案】（1）；（2）1050元【分析】（1）根据题意分别从当时与当时求解析式即可；（2）当时，，所以代入第二个解析式求得的值即是所求．【详解】解：（1）当时，即为整数且；（2）当时，答：他们为购门票花了1050元．【点睛】此题考查了一次函数的应用．解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式．22．如图，一次函数y=kx+b图像分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，6），四边形ABCD是正方形．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求一次函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．【答案】（1）y=-x+6；（2）（1