2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第02讲 三角函数的定义与三角函数线（2知识点+7大题型）（解析版）

第02讲三角函数的定义与三角函数线内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：由终边上的点求三角函数值】【题型02：由三角函数值求终边上点的参数】【题型03：判断三角函数值的符号】【题型04：由符号确定角所在的象限】【题型05：圆上的动点与旋转点】【题型06：画三角函数线】【题型07：三角函数线的应用】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：三角函数的概念1．任意角的三角函数的定义前提如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点定义正弦点的纵坐标叫做的正弦,记作,即余弦点的横坐标叫做的正弦,记作,即正切把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为正弦函数；余弦函数正切函数温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角．（2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正,三四象限负；余弦：一四象限正,二三象限负；正切：一三象限正,二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点2：单位圆与三角函数线1．单位圆与三角函数在平面直角坐标系中,坐标满足的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为．2．三角函数线三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作【题型01：由终边上的点求三角函数值】1．已知角的终边经过点，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】角的终边经过点，点到原点的距离，由正弦函数的定义可知.故选：D2．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由角与角的终边关于轴对称可得,故，充分性成立，当时，或，故不必要不成立，故选：A3．在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立；当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立.所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得.故选：C5．已知角的终边过点，则．【答案】【详解】已知角的终边过点．可得，，则．故答案为：6．已知直线与以原点为圆心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为【答案】1【详解】由题意可知点坐标为，所以，，由题意可得点坐标为，所以.故答案为：1【题型02：由三角函数值求终边上点的参数】7．已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，可得.故选：A8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（

）A．4或 B． C． D．或【答案】A【详解】因为，所以，又角的终边经过点，所以，又，所以，解得或.经检验，或均符合题意.故选：A.9．已知角的终边经过点，且，则的值是.【答案】【详解】因为，所以，所以.故答案为：10．设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则=；=.【答案】【详解】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则，，解得，则所以，.故答案为:，.11．已知角的终边所在的直线上有一点，.（1）若，求实数m的值；（2）若且，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用任意角的三角函数的定义，求出的正切表达式，即可求出的值；（2）由且，说明为第三象限角，可得的纵坐标小于，求出的范围．【详解】（1）依题意得，，所以；（2）由且得，为第三象限角，故，所以.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数值的符号的判断，属于常考题.【题型03：判断三角函数值的符号】12．已知角α为第四象限角，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】因角α为第四象限角，则，故点在第三象限.故选：C.13．已知是第一象限角，，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】利用三角函数符号及充分条件与必要条件定义判断即可得.【分析】【详解】依题意，是第一象限，是第二象限，是第三象限，是第四象限，对于函数，当是第一、二象限角时，；当是第三、四象限角时，；对于函数，当是第一、四象限角时，；当是第二、三象限时，.要使，则需①且，或②且；所以当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；共有种不同取法.故选：B15．（多选）下列各三角函数值符号为负的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】对于A，是第一象限角，则，A不是；对于B，是第二象限角，则，B是；对于C，，C不是；对于D，，D是.故选：BD16．（多选）已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】依题意，，所以，所以，A选项正确.当时，，B选项错误.因为①，所以，C选项正确.由①得，当时，时，此时，D选项错误.故选：AC【题型04：由符号确定角所在的象限】17．若，且，则是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角【答案】B【详解】由，得，所以角位于第二象限的角.故选：B18．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角，则，可得当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意；当为偶数时，可得为第一象限角，满足，综上可得为第一象限角.故选：A.19．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（

）A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角【答案】A【详解】当角的终边在第一象限时，，又，，故，不符合题意；当角的终边在第二象限时，，又，，故，符合题意；当角的终边在第三象限时，，又，，故，符合题意；当角的终边在第四象限时，，又，，故，不符合题意；综上，角的终边在第二象限或第三象限．故选：A．20．已知角的终边过点，则点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为角的终边过点，所以为第二象限角，所以，所以位于第四象限.故选：D.21．已知函数，则角所在象限是（

）A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限C．第三象限或第四象限 D．第二象限或第四象限【答案】A【详解】由题意可知：，解得或，故或，因此角所在象限是第一象限或者第二象限，故选：A22．已知，，则的终边一定不在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】C【详解】因为，，则为第三象限角，即，，故，，即的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限.故选：C.【题型05：圆上的动点与旋转点】23．在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由角的终边过点，知：，，∴，故.故选：A.24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，过点作轴与点，在直角中，，所以，因为，所以，可得，由题意，所以点的坐标次一个循环，即周期为，又因为，所以.故选：B.25．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为．【答案】【详解】因，则，,每旋转一周用时120秒，则筒车旋转40秒时共旋转，则此时点所在角的终边为，则点的纵坐标为.故答案为：.26．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则．【答案】1【详解】易知角的终边按逆时针方向旋转后得到，由题意可知的终边位于第二象限，且，故，所以，即.故答案为：127．在平面直角坐标系xOy中，将向量按顺时针方向绕原点O旋转后得到向量，则ab的值为.【答案】【详解】设经过点的终边角度为，由根据题意，利用任意角的三角函数的定义得：，，则∴，，∴.故答案为：【题型06：画三角函数线】28．如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（

）A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是【答案】C【详解】由正弦线，正切线的定义可知，是正弦线，是正切线.故选：C.29．作出下列角的正弦线､余弦线和正切线，并求出角的正弦、余弦、正切值．【答案】正弦线､余弦线和正切线见解析，，，【详解】作出单位圆，交角的终边于，过作轴于点，过点作轴，交角的终边于点，如下图所示，则角的正弦线为，余弦线为，正切线为；

在中，，由此可得，，所以，，于是，，．30．作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.(1)；(2).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线.（2）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线.【题型07：三角函数线的应用】31．如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点．(从中选择，写出所有满足要求的点)【答案】【详解】由题可知相邻点的夹角为，，与相差，即间隔一个点，又正弦值要相等，即关于轴对称，故符合的对称点有，所以角的终边与单位圆交于点为.故答案为.32．使不等式成立的一个的值是．【答案】（答案不唯一）【详解】结合单位圆中的正弦线，余弦线及正切线可知：当时，.故答案为：.（答案不唯一）33．设，，，比较，，的大小．【答案】【详解】画出的三角函数线，如下：

则，，，设扇形的面积为，则，，又，故，所以，，因为，根据不等式()，所以，即．34．利用单位圆中的三角函数线写出符合下列条件的角的取值集合．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）如下图所示，、为直线与单位圆的两个交点，可知、．

设的终边落在射线上，的终边落在射线上，、，根据三角函数的定义可知，，，，所以，，．又当的终边落在射线或上时，有，所以，满足条件的的集合为.（2）如下图所示，、为直线与单位圆的两个交点，可知、．

设的终边落在射线上，的终边落在射线上，、，根据三角函数的定义可知，，，，所以，．又当的终边落在射线或上时，有，所以，满足条件的的集合为.一、单选题1．已知集合，，则集合中的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为，集合，，所以，有2个元素.故选：B2．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为，因为，则，由于在第一象限，不妨取，因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点，，于是.故选：B．3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】终边过点，故，所以.故选：C4．已知函数（a为常数），且，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【详解】因为，又，则，得，所以，则，故选：C.5．点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】因为，所以弧度角为第二象限的角，所以，即点位于第三象限，故选：C6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，过作轴，交角的终边于点，则，，则，扇形的面积为，，由三者的大小关系可知，，即，因，则，即.故选：C二、多选题7．若的终边经过点，则（

）A．是第四象限角 B．C． D．【答案】AB【详解】因为的终边经过点，故的终边在第四象限，是第四象限角，故A正确；由三角函数的定义可知，，，，故B正确，CD错误.故选：AB8．已知角的终边经过点，且与的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（

）A． B．为钝角C． D．点在第一象限【答案】ACD【详解】角的终边经过点，，所以，A正确；与的终边关于轴对称，由题意得α的终边经过点，为第二象限角，不一定为钝角，B错误，，C正确；因为，，所以点在第一象限，D正确.故选：ACD三、填空题9．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，若，则符合条件的点的坐标可以是.【答案】或（写出一个即可）【详解】由三角函数的定义可知，角的终边与单位圆相交于点，当时，，则的坐标满足，当时，，则的坐标满足，故符合条件的点的坐标是和.故答案为：或（写出一个即可）.10．在平面直角坐标系中，角以为始边，的终边过点，若