福建省2025中考数学专题二相似模型高效拆分特训

01几何压轴题高效拆分特训专题二相似模型高效拆分特训特训12A型相似模型解读模型1A型相似(如图)条件：DE∥BC.结论：①△ADE∽△ABC；△ADN∽△ABM；△ANE∽△AMC；②eq\f(DN,BM)＝eq\f(AN,AM)＝eq\f(NE,MC).模型2反A型相似(如图)条件：∠AED＝∠C.结论：①△AED∽△ACB；②eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB)⇒AE·AB＝AD·AC.典题训练1．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点F.点D，E分别在AB，AC上，连接DE交AF于点G.若∠AED＝∠B，AG∶GF＝2∶1，则eq\f(DE,BC)的值为______．2．如图，在△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF.

特训138字型相似模型解读模型18字型相似(如图)条件：AD与BC相交于点O，AB∥CD.结论：△AOB∽△DOC.模型2反8字型相似(如图)条件：AD与BC相交于点O，∠BAD＝∠BCD.结论：①△AOB∽△COD；②△AOC∽△BOD.典题训练1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥CD，交CA的延长线于点E.求证：OC2＝OA·OE.2．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AM⊥BC交BC的延长线于M，BN⊥AC交AC的延长线于N，连接MN.求证：AB＝2MN.特训14母子型相似模型解读模型母子型相似(如图)条件：在△ABC中，D在AC上，∠ABD＝∠C.结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.特殊情况：射影定理(如图)条件：∠ACB＝90°，CD⊥AB.结论：△ABC∽△ACD∽△CBD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，CD2＝AD·BD.典题训练定义：如图①，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2eq\r(2)，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，则CD的长为________．

特训15一线三等角型相似模型解读模型一线三等角型相似(如图)条件：点A，B，C在一条直线上，∠1＝∠2＝∠3＝α.结论：△ABD∽△CEB.α为锐角α为直角α为钝角典题训练【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A，B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E，D.求证：△BDC∽△CEA.【尝试应用】(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过点D作AD的垂线交AB于点E.若BE＝DE，tan∠BAD＝eq\f(4,5)，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】(3)如图③，在▱ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，BE＝4，EC＝3，则▱ABCD的面积为________．

特训16旋转型相似模型解读模型旋转型相似(如图)条件：eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)，∠1＝∠2.结论：△ABD∽△ACE，△ABC∽△ADE.典题训练如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2eq\r(2)，点D，E分别在边AC，AB上，连接DE，AD＝DE＝eq\f(1,2)AB.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为θ.(1)【问题发现】①当θ＝0°时，eq\f(BE,CD)＝________；②当θ＝180°时，eq\f(BE,CD)＝________；(2)【拓展探究】试判断：当0°≤θ<360°时，eq\f(BE,CD)的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明；(3)【问题解决】在旋转过程中，BE的最大值为________．

特训17十字架型相似模型解读条件E，F，C′，D′为矩形ABCD边上的点，CE⊥DF(图①)，C′E⊥DF(图②)，C′E⊥D′F(图③).图示方法直接找相似.作垂直或平行找相似.结论△DFA∽△CED.△DFH∽△C′EG.△D′FH∽△C′EG.典题训练(1)如图①，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，E，F分别是AB，AD上的点，连接DE，CF，DE⊥CF于点G，则eq\f(DE,CF)＝________；(2)如图②，在矩形ABCD中，EF分别交AD，BC于点E，F，GH分别交AB，CD于点H，G，EF⊥GH.求证：eq\f(GH,EF)＝eq\f(AD,CD)；(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F.若AC＝3，BC＝4，BF＝eq\f(8,3)，直接写出CD的值．01几何压轴题高效拆分特训专题二相似模型高效拆分特训特训12A型相似1.eq\f(2,3)2．证明：如图，过E作EG∥BD交AB于G，∴△AGE∽△ABC，△FGE∽△FBD，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(EG,BC)，eq\f(FE,FD)＝eq\f(EG,DB).∵AE＝CE，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(EG,BC)＝eq\f(1,2)，∴BC＝2EG.∵BC＝CD，∴CD＝2EG，∴BD＝4EG，∴eq\f(EG,BD)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(FE,FD)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(FE,DE)＝eq\f(1,3)，∴ED＝3EF.特训138字型相似1．证明：∵CD∥BE，∴∠DCO＝∠E，∠CDO＝∠EBO，∴△OCD∽△OEB，∴eq\f(OD,OB)＝eq\f(OC,OE).∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，∴△OAD∽△OCB，∴eq\f(OD,OB)＝eq\f(OA,OC)，∴eq\f(OC,OE)＝eq\f(OA,OC)，∴OC2＝OA·OE.2．证明：∵∠ACB＝120°，∴∠ACM＝∠BCN＝180°－∠ACB＝60°.∵AM⊥BC，BN⊥AC，∴∠AMC＝∠BNC＝90°，∴△MAC∽△NBC，∴eq\f(AC,MC)＝eq\f(BC,CN).又∵∠ACB＝∠MCN，∴△ACB∽△MCN，∴eq\f(AB,MN)＝eq\f(AC,MC).在Rt△ACM中，∠CAM＝180°－∠AMC－∠ACM＝30°，∴CM＝eq\f(1,2)AC.∴eq\f(AC,MC)＝2.∴eq\f(AB,MN)＝2，∴AB＝2MN.特训14母子型相似解：(1)点D是△ABC的“理想点”，理由如下：∵D是AB的中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AD·AB＝8.∵AC＝2eq\r(2)，∴AC2＝8，∴AC2＝AD·AB，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∴点D是△ABC的“理想点”．(2)eq\f(12,5)或eq\f(9,4)特训15一线三等角型相似(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠BCD＝∠CAE.∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC，∴△BDC∽△CEA.(2)解：如图，过点E作EF⊥BC于点F.由(1)得△EDF∽△DAC，∴eq\f(DE,DA)＝eq\f(DF,AC).∵AD⊥DE，∴tan∠BAD＝eq\f(DE,DA)＝eq\f(4,5)，∴eq\f(4,5)＝eq\f(DF,20)，∴DF＝16.∵BE＝DE，∴BF＝DF，∴BD＝2DF＝32.(3)7eq\r(10)特训16旋转型相似解：(1)①eq\r(2)②eq\r(2)(2)当0°≤θ<360°时，eq\f(BE,CD)的大小没有变化．证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴AC＝AB·cos45°，即eq\f(AB,AC)＝eq\r(2).同理eq\f(AE,AD)＝eq\r(2)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AE,AD)＝eq\r(2).∵∠CAB＝∠DAE，∴∠CAD＝∠BAE，∴△ADC∽△AEB，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(AB,AC)＝eq\r(2).(3)4＋2eq\r(2)特训17十字架型相似(1)eq\f(3,2)(2)证明：如图，过点E作EP⊥BC于点P，过点H作HQ⊥CD于点Q，且EP交HG于点O.∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD，AD∥BC.∵HQ⊥CD，∴AD∥HQ.∵EP⊥BC，∴EP⊥AD，∴EP⊥