正交分解法例题及练习

正交分解法例题及练习在解决力学问题时，我们常常会遇到物体受到多个力作用的情况，这些力的方向各异，直接进行合成或分析其共同作用效果往往比较困难。正交分解法，作为一种将复杂矢量运算转化为简单代数运算的有效工具，能够极大地简化问题的分析过程。掌握这一方法，对于深入理解力学规律、高效解决力学问题至关重要。一、什么是正交分解法？简单来说，正交分解法是将一个矢量（如力、速度、加速度等）分解为两个相互垂直方向上的分矢量的方法。这里的“正交”指的是两个分解方向相互垂直（通常取水平和竖直方向，或沿斜面和垂直斜面方向等）。通过分解，我们可以将一个平面内的矢量问题转化为两个相互独立的一维问题进行处理，从而简化计算。二、如何运用正交分解法解决问题？运用正交分解法解决力学问题，通常遵循以下步骤，我们以解决物体受力平衡或加速运动问题为例进行说明：1.明确研究对象，进行受力分析：这是解决所有力学问题的基础。我们需要隔离出研究对象，准确分析它受到哪些力的作用，并画出受力示意图。常见的力包括重力、弹力（支持力、拉力）、摩擦力等。2.建立合适的直角坐标系：*坐标系的选择原则：通常以研究对象的质心或力的作用点为坐标原点。坐标轴的方向选择应尽可能使较多的力落在坐标轴上，或者使物体的加速度方向沿着某一坐标轴，这样可以减少需要分解的力的数量，简化计算。例如，在斜面问题中，常取沿斜面方向和垂直斜面方向为坐标轴；在平面问题中，常取水平和竖直方向为坐标轴。3.将各力分解到坐标轴上：对于每一个不在坐标轴上的力，都要将其分解为沿x轴和y轴方向的两个分力。分解时要注意三角函数的正确运用（正弦还是余弦），以及分力的方向（与坐标轴同向为正，反向为负）。4.列方程求解：*平衡状态（静止或匀速直线运动）：物体所受合力为零。因此，在x轴方向上所有分力的代数和为零（ΣFx=0），在y轴方向上所有分力的代数和也为零（ΣFy=0）。*非平衡状态（有加速度）：根据牛顿第二定律，物体在某一方向上的合外力等于其质量与该方向上加速度的乘积。即ΣFx=ma_x，ΣFy=ma_y。5.求解方程，得到结果：根据列出的方程，联立求解未知量。必要时对结果进行检验，看是否符合物理实际。三、典型例题解析例题1：斜面静止物体的受力分析题目：一个质量为m的物体静止在倾角为θ的固定斜面上。已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ。试分析物体所受的摩擦力和支持力大小。分析与解答：1.研究对象：质量为m的物体。2.受力分析：物体受到重力G（竖直向下）、斜面的支持力N（垂直斜面向上）、静摩擦力f（沿斜面向上，因为物体有沿斜面下滑的趋势）。3.建立坐标系：为简化计算，以沿斜面向上为x轴正方向，垂直斜面向上为y轴正方向建立直角坐标系。4.分解力：*重力G不在坐标轴上，需要分解。*G在x轴方向的分力：Gx=-mgsinθ（负号表示方向沿x轴负方向）*G在y轴方向的分力：Gy=-mgcosθ（负号表示方向沿y轴负方向）*支持力N沿y轴正方向，其x轴分量为0，y轴分量为N。*静摩擦力f沿x轴正方向，其x轴分量为f，y轴分量为0。5.列平衡方程：*x轴方向：ΣFx=f+Gx=0→f-mgsinθ=0*y轴方向：ΣFy=N+Gy=0→N-mgcosθ=06.求解：*由x轴方程解得：f=mgsinθ*由y轴方程解得：N=mgcosθ讨论：在此题中，我们选择沿斜面和垂直斜面为坐标轴，使得支持力和摩擦力恰好落在坐标轴上，而只需分解重力，这大大简化了计算。如果我们选择水平和竖直方向为坐标轴，虽然也可以求解，但需要分解支持力和摩擦力，计算过程会相对繁琐。这体现了合理选择坐标系的重要性。例题2：已知加速度求未知力题目：一个质量为m的物体，在水平拉力F的作用下，沿粗糙水平面做匀加速直线运动，加速度大小为a。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ。拉力F与水平方向成θ角斜向上。求拉力F的大小。分析与解答：1.研究对象：质量为m的物体。2.受力分析：物体受到重力G（竖直向下）、拉力F（与水平方向成θ角斜向上）、地面的支持力N（竖直向上）、滑动摩擦力f（水平向左，与运动方向相反）。3.建立坐标系：取物体运动方向（水平向右）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。4.分解力：*拉力F不在坐标轴上，需要分解。*F在x轴方向的分力：Fx=Fcosθ*F在y轴方向的分力：Fy=Fsinθ*重力G沿y轴负方向，Gx=0，Gy=-mg。*支持力N沿y轴正方向，Nx=0，Ny=N。*滑动摩擦力f沿x轴负方向，fx=-f，fy=0。且滑动摩擦力f=μN。5.列方程：*x轴方向（根据牛顿第二定律）：ΣFx=Fx+f=ma→Fcosθ-f=ma*y轴方向（物体在竖直方向无加速度，合力为零）：ΣFy=Fy+N+G=0→Fsinθ+N-mg=06.求解：*由y轴方程解得支持力：N=mg-Fsinθ*将N代入滑动摩擦力公式：f=μ(mg-Fsinθ)*将f代入x轴方程：Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=ma*整理得：F(cosθ+μsinθ)=ma+μmg*解得拉力F的大小：F=(ma+μmg)/(cosθ+μsinθ)讨论：在此题中，拉力F有竖直向上的分量，这会减小物体对地面的正压力，从而减小滑动摩擦力。这一点在分析时需要特别注意，支持力N不再简单地等于重力mg。通过正交分解，我们清晰地将各个力的作用效果在两个方向上体现出来，并结合牛顿第二定律得到了方程。四、练习题练习1：一个质量为m的小球，用两根轻绳悬挂在天花板上，其中一根绳水平，另一根绳与竖直方向成α角。求两根绳子对小球的拉力大小。（提示：小球处于平衡状态，建立水平和竖直坐标系。）练习2：质量为m的木块沿倾角为θ的光滑斜面下滑，求木块下滑的加速度大小。若斜面与木块间的动摩擦因数为μ，再求其加速度大小。（提示：光滑斜面无摩擦；建立沿斜面和垂直斜面坐标系。）练习3：一个物块在水平桌面上受到一个与水平方向成θ角斜向下的推力F作用，物块沿桌面匀速运动。已知物块质量为m，与桌面间的动摩擦因数为μ。求推力F的大小。（提示：匀速运动，合力为零。注意推力的竖直分量会增大正压力。）参考答案（简要提示）：*练习1：设水平绳拉力为T1，另一绳拉力为T2。x方向：T1=T2sinα；y方向：T2cosα=mg。解得T1=mgtanα，T2=mg/cosα。*练习2：光滑时，沿斜面方向合力为mgsinθ=ma，a=gsinθ。有摩擦时，沿斜面方向合力为mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g(sinθ-μcosθ)。*练习3：竖直方向N=mg+Fsinθ；水平方向Fcosθ=f=μN。联立解得F=μmg/(cosθ-μsinθ)。（注意：若cosθ≤μsinθ，则无法拉动或题目条件不合理。）五、总结正交分解法是解决力学问题，特别是涉及多个共点力作用下物体的平衡或加速运动问题的核心方法之一。其核心思想是将复杂的矢量运算转化为简单的代数运算。熟练掌握这一方法的关键在于：1.准确的受力分析：这是解决所有力学问题的前提。2.合理建立坐标系：目的是简化