8.2 第1课时 多边形的内角和七年级数学下册同步备课（华东师大版2024）教学设计

8.2第1课时多边形的内角和七年级数学下册同步备课（华东师大版2024）教学设计一、教材分析本节课选自华东师大版2024年七年级数学下册第8.2节第1课时，是在学生已经掌握三角形内角和定理、三角形相关概念的基础上，对多边形知识的延伸与拓展，也是后续学习多边形外角和、四边形性质、正多边形计算的重要铺垫，在平面几何知识体系中起到承上启下的关键作用。结合2022年义务教育数学新课标要求，本节课重点培养学生“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养。教材编排遵循七年级学生从具体到抽象、从直观到推理的认知规律，通过生活实例引入多边形概念，引导学生自主探究内角和公式，注重让学生经历“观察—猜想—验证—应用”的完整探究过程，渗透转化、分类、归纳等重要数学思想，助力学生逐步形成严谨的数学思维习惯，提升几何推理与表达能力。教材内容贴合学生生活实际，融入大量生活化多边形实例（如地砖、窗户、五角星等），便于引导学生发现数学与生活的联系，激发学习兴趣，同时兼顾知识的层次性和逻辑性，既落实基础概念，又注重探究能力的培养，符合新课标“立足核心素养，面向全体学生”的教学理念。二、教学目标结合2022新课标数学核心素养要求，立足七年级学生认知发展水平，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面设计教学目标，层层递进，实现知识掌握、能力提升与素养培育的有机统一。（一）学习理解1.能准确识别多边形、凸多边形、正多边形的特征，清晰阐述多边形的顶点、边、内角、对角线等相关概念，区分多边形与三角形的联系与区别；2.回顾三角形内角和定理的内容及验证方法，初步感知多边形内角和与三角形内角和的关联，能提出探究多边形内角和的合理猜想；3.理解“分割转化”的数学思想，知道将多边形分割为三角形是探究其内角和的核心方法，初步掌握简单多边形（四边形、五边形）的分割技巧。（二）应用实践1.能熟练运用多边形内角和公式（n≥3，n为整数）计算任意多边形的内角和，准确解决“已知边数求内角和”“已知内角和求边数”的基础问题；2.能结合正多边形的性质，运用内角和公式计算正多边形的每个内角的度数，解决与正多边形内角相关的简单实际问题；3.能规范书写多边形内角和的推导过程（以四边形、五边形为例），能用简洁的数学语言表达推导思路，提升几何推理与语言表达能力。（三）迁移创新1.能探索多边形内角和的不同分割方法（如从边上、内部、外部取点分割），对比不同方法的优劣，体会分类讨论思想的应用；2.能结合多边形内角和公式，解决变式问题（如残缺多边形的内角计算、多边形内角和的最值探究），灵活运用知识解决实际情境中的复杂问题；3.能归纳总结多边形内角和的探究规律，迁移运用“分割转化”思想探究其他几何图形的相关性质，培养创新思维与知识迁移能力。三、重点难点（一）教学重点1.多边形、凸多边形、正多边形的相关概念辨析；2.多边形内角和公式的推导过程（核心是分割转化思想的运用）；3.多边形内角和公式的基础应用（已知边数求内角和、已知内角和求边数）。（二）教学难点1.突破“多边形内角和推导”的难点，理解将多边形分割为三角形的合理性，掌握分割方法的规律（分割后三角形个数与多边形边数的关系）；2.灵活运用多边形内角和公式解决变式问题和实际问题，提升知识迁移能力；3.渗透转化、分类、归纳等数学思想，引导学生形成严谨的几何推理思维，落实新课标数学核心素养的培育要求。四、课堂导入（5分钟）导入思路：立足新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求，从学生熟悉的生活场景入手，引导学生观察、识别多边形，激发学习兴趣，衔接旧知，自然引出本节课探究主题。1.情境展示：课件呈现生活中常见的多边形实物图（地砖、窗户框架、五角星、课桌桌面、自行车车架），引导学生仔细观察：“这些物体的表面呈现出什么形状？它们与我们之前学过的三角形有什么不同？”2.互动提问：邀请学生上台指出实物图中不同形状的边和角，追问：“这些图形都是由几条线段围成的？它们有什么共同特征？”引导学生自主总结：由多条线段首尾顺次连接围成的封闭图形。3.引出课题：明确这类图形就是多边形，本节课我们将重点学习多边形的相关概念、探究多边形的内角和规律，板书课题——多边形的内角和，引导学生思考：“三角形的内角和是180°，那四边形、五边形、六边形的内角和是多少呢？我们该如何计算？”，自然激发学生的探究欲望，衔接后续探究新知环节。评价要点：观察学生是否能准确识别生活中的多边形，是否能区分多边形与三角形的不同，是否能主动提出探究疑问，初步落实“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养评价。五、探究新知（25分钟）探究思路：遵循“教-学-评”一体化理念，以学生为主体、教师为主导，分层推进探究活动，落实三个核心知识点，渗透数学思想，兼顾知识探究与素养培育，每一步探究都配套评价，及时反馈学生学习情况。（一）知识点一：多边形的相关概念1.概念讲解：结合课件中的多边形图形（四边形、五边形、六边形），引导学生观察图形特征，自主总结多边形的定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接围成的封闭图形，叫做n边形（n≥3，n为整数）。2.相关概念辨析：逐一讲解多边形的顶点、边、内角、对角线的概念，结合图形示范：-顶点：多边形中两条线段的公共端点，如四边形ABCD的顶点为A、B、C、D；-边：围成多边形的每条线段，如四边形ABCD的边为AB、BC、CD、DA；-内角：多边形相邻两条边组成的角，如四边形ABCD的内角为∠A、∠B、∠C、∠D；-对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，引导学生动手画出四边形、五边形的对角线，观察：“四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？对角线的条数与多边形的边数有什么关系？”（暂不深入探究，为后续拓展铺垫）。3.特殊多边形辨析：结合图形讲解凸多边形、正多边形的概念，对比辨析，避免学生混淆：-凸多边形：多边形的每个内角都小于180°，且整个多边形都在任意一条边所在直线的同一侧（课件呈现凸多边形与凹多边形的对比图，引导学生观察区别，强调本节课重点研究凸多边形）；-正多边形：各个边都相等、各个内角都相等的凸多边形（如正方形、正五边形、正六边形），引导学生思考：“正多边形一定是凸多边形吗？凸多边形一定是正多边形吗？”，通过举例说明（如长方形是凸多边形但不是正多边形），加深学生理解。4.即时评价：出示一组图形（包含凸多边形、凹多边形、正多边形、非封闭图形），让学生快速判断并说明理由，评价学生对概念的掌握程度，及时纠正错误认知。（二）知识点二：多边形内角和公式的推导1.旧知衔接：回顾三角形内角和定理，提问：“我们之前是如何验证三角形内角和是180°的？（剪拼法、推理证明法）”，引导学生思考：“能否将多边形转化为我们熟悉的三角形，通过三角形内角和来推导多边形内角和？”，渗透“分割转化”的数学思想。2.分层探究：以小组为单位，开展探究活动，教师巡视指导，明确探究任务，分层突破：-探究一：四边形内角和。引导学生动手操作，尝试用不同方法分割四边形（如从一个顶点引对角线、从边上一点引线段、从内部一点引线段），记录分割后三角形的个数，计算四边形内角和。小组展示：邀请不同小组分享分割方法，重点讲解“从一个顶点引对角线”的方法（最简便、最通用）：从四边形一个顶点引1条对角线，将四边形分割为2个三角形，因为每个三角形内角和是180°，所以四边形内角和=2×180°=360°，教师板书推导过程，规范书写。-探究二：五边形内角和。引导学生类比四边形的分割方法，自主尝试从一个顶点引对角线，观察：从五边形一个顶点能引几条对角线？分割为几个三角形？学生动手操作后发现：从五边形一个顶点引2条对角线，将五边形分割为3个三角形，因此五边形内角和=3×180°=540°，教师引导学生总结规律：分割后三角形的个数=多边形边数-2。-探究三：n边形内角和。引导学生归纳四边形、五边形的探究结果，猜想n边形（n≥3）的内角和公式：从n边形一个顶点引（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，因此n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，n为整数），教师引导学生验证猜想（以六边形为例，验证公式的正确性），确认公式成立。3.思想提炼：引导学生回顾探究过程，总结“分割转化”的数学思想——将未知的多边形内角和转化为已知的三角形内角和，培养学生用数学思维思考现实世界的能力，同时强调分类讨论思想（不同分割方法）、归纳推理思想（从特殊到一般）的应用。4.即时评价：提问学生：“从n边形一个顶点引几条对角线？分割为几个三角形？n边形内角和公式是什么？”，邀请学生上台板书公式及推导思路，评价学生的探究能力、推理能力和语言表达能力，及时纠正推导过程中的错误。（三）知识点三：多边形内角和公式的初步应用1.例题讲解：结合基础题型，讲解公式的应用，规范解题步骤，兼顾基础与易错点：-例题1：求八边形的内角和。解题步骤：明确n=8，代入公式（n-2）×180°，计算得（8-2）×180°=6×180°=1080°，强调公式中n的取值范围（n≥3，n为整数），规范书写解题过程。-例题2：一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数。解题步骤：设这个多边形的边数为n，根据内角和公式列方程（n-2）×180°=1440°，解方程得n-2=8，n=10，引导学生明确“列方程求解”的思路，强调检验步骤（将n=10代入公式，验证内角和是否为1440°）。2.易错点强调：提醒学生注意，多边形的边数n必须是大于或等于3的整数，计算过程中注意角度的换算，解方程时注意步骤规范，避免出现“漏乘180°”“解方程错误”等问题。3.即时评价：让学生独立完成2道基础练习题（1.求六边形的内角和；2.一个多边形内角和是900°，求边数），同桌互查，教师随机抽查，评价学生对公式的应用能力，及时反馈纠错。六、课堂练习（10分钟）练习思路：遵循“教-学-评”一体化理念，分层设计练习，兼顾基础、提高、拓展，贴合教学目标，落实新课标核心素养要求，及时检测学生学习效果，同时培养学生的应用能力和迁移创新能力。1.基础题（贴合学习理解、应用实践目标，全员必做）：（1）判断下列图形是否为凸多边形、正多边形，并说明理由：①长方形；②正五边形；③凹六边形。（2）计算：①七边形的内角和；②正六边形的每个内角的度数。（3）一个多边形的内角和是720°，求这个多边形的边数。2.提高题（贴合应用实践目标，小组讨论完成）：（1）一个凸多边形的每个内角都是120°，求这个多边形的边数。（2）已知一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，求这个多边形的边数。3.拓展题（贴合迁移创新目标，自主探究+小组分享）：（1）尝试用“从多边形内部取一点，连接各顶点”的方法，推导n边形的内角和公式，对比与“从一个顶点引对角线”方法的区别。（2）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形内角和是1080°，求原多边形的边数（提示：截去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1）。评价要点：基础题重点评价学生对概念和公式的掌握程度；提高题重点评价学生的公式灵活应用能力和推理能力；拓展题重点评价学生的迁移创新能力和数学思想应用能力，采用“同桌互查+小组互评+教师点评”的方式，及时反馈纠错，针对共性问题集中讲解。七、课堂总结（3分钟）总结思路：以学生为主体，自主总结，教师补充完善，梳理本节课知识点和探究过程，强化数学思想和核心素养的培育，同时引导学生反思学习收获与不足，实现“学有所思、学有所获”。1.学生自主总结：邀请2-3名学生上台分享本节课的学习收获，包括知识点、探究方法、数学思想、解题技巧等，鼓励学生用自己的数学语言表达，如“我学会了多边形的相关概念，知道了正多边形的特征”“我掌握了多边形内角和公式的推导方法，用到了分割转化的思想”。2.教师补充完善：结合学生总结，梳理本节课核心内容，形成知识体系：-概念：多边形、凸多边形、正多边形的定义及相关概念（顶点、边、内角、对角线）；-公式：n边形内角和公式为（n-2）×180°（n≥3，n为整数）；-方法：推导公式的核心是“分割转化”思想，将多边形转化为三角形；-应用：能运用公式解决“已知边数求内角和”“已知内角和求边数”及简单变式问题。3.素养升华：引导学生回顾探究过程，强调：“本节课我们通过观察生活中的多边形，探究出了内角和公式，体现了用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的核心素养，希望大家在今后的学习中，能主动运用数学思想解决问题，培养严谨的数学思维。”评价要点：评价学生的总结能力和语言表达能力，观察学生是否能清晰梳理知识点和探究过程，是否能理解并运用本节课所学的数学思想。八、课后任务（2分钟）任务思路：分层布置任务，贴合教学目标，兼顾基础巩固、能力提升与拓展延伸，落实新课标“面向全体学生，兼顾差异”的要求，同时衔接后续学习内容，培养学生的自主学习能力和实践能力。1.基础任务（全员必做）：完成教材对应课后习题，巩固多边形概念和内角和公式的基础应用，规范解题步骤，重点完成“已知边数求内角和”“已知内角和求边数”的题型。2.提高任务（选做）：（1）计算正八边形、正十边形的每个内角的度数，总结正多边形每个内角的度数公式；（2）收集生活中更多多边形实物图，标注出多边形的边、角、对角线，尝试计算其中1-2个多边形的内角和。3.拓展任务（选做）：探究多边形对角线的条数与边数的关系，推导n边形对角线的条数公式，下节课分享探究过程和结果；尝试用多种方法推导多边形内角和公式，对比不同方法的优劣。4.反思任务（全员必做）：记录本节课的学习收获、易错点和疑惑，梳理自己在探究过程中的不足，明确后续改进方向。九、板书设计板书思路：简洁明了、重点突出，贴合“教-学-评”一体化理念，梳理核心知识点、探究过程和解题方法，便于学生回顾和记忆，兼顾逻辑性和条理性，避免冗余信息。（板书布局：左侧为知识点，中间为探究过程，右侧为易错点和解题技巧）多边形的内角和一、相关概念1.多边形：n条线段首尾顺次连接围成的封闭图形（n≥3）2.相关元素：顶点、边、内角、对角线3.特殊多边形：凸多边形、正多边形（边等、角等）二、内角和公式推导1.思想：分割转化（多边形→三角形）2.探究：-四边形：1条对角线→2个三角形→内角和=2×180°=360°-五边形：2条对角线→3个三角形→内角和=3×180°=540°-n边形：（n-3）条对角线→（n-2）个三角形3.公式：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，n为整数）三、公式应用例题1：八边形内角和→（8-2）×180°=1080°例题2：内角和1440°→（n-2）×180°=1440°→n=10四、易错点1.n≥3（边数为整数）2.正多边形需同时满足边等、角等五、核心素养数学眼光、数学思维、数学语言十、教学反思反思思路：结合2022新课标要求和“教-学-评”一体化理念，全面反思本节课的教学过程、教学效果、学生表现，梳理优点与不足，提出具体改进措施，助力后续教学优化，提升教学质量，落实核心素养培育目标。1.优点之处：（1）贴合新课标核心素养要求，将“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的目标融入教学全过程，通过生活情境导入、自主探究、语言表达等环节，逐步培育学生的数学核心素养。（2）落实“教-学-评”一体化理念，每个教学环节都配套即时评价（如导入环节的观察评价、探究环节的展示评价、练习环节的互评互查），评价方式多样，能及时反馈学生学习情况，针对性纠正错误认知，兼顾全体学生的发展。（3）探究新知环节分层推进，贴合七年级学生认知规律，从四边形到五边形再到n边形，从具体到抽象，逐步引导学生探究内角和公式，渗透分割转化、归纳推理等数学思想，让学生经历完整的探究过程，提升探究能力和推理能力。（4）课堂练习和课后任务分层设计，兼顾基础、提高、拓展，贴合不同层次学生的学习需求，落实新课标“面向全体学生，兼顾差异”的要求，同时注重知识的应用和迁移，培养学生的实践能力和创新思维。（5）知识点讲解细致，概念辨析到位，易错点强调明确，板书设计简洁明了，便于学生回顾和记忆，课堂互动充分，能调动学生的积极性和主动性，让学生主动参与探究活动，体现学生的主体地位。2.不足之处：（1）探究新知环节，部分基础薄弱的学生对“分割多边形为三角形”的方法掌握不够熟练，尤其是五边形、n边形的分割，难以快速找到分割规律，对“分割后三角形个数与边数的关系”理解不