2025-2026学年人教A版高中数学必修第一册期末综合检测练习卷

人教A版数学必修第一册期末综合检测练习卷

(时间：12()分钟满分：15()分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={川-5<^<5},8={-3,-1,0,2,3},则AG8=()

A.{-1,0}B.{2,3}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知某扇形的周长为5,圆心角为3弧度，则该扇形的面积为()

A.-2B.1

C.-D.2

2

3.已知。=log3(L5,b=logo,5已3,c=sin等，则()

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>a>cD.b>c>a

4.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是()

A.)j=tanxB.y=|tanx\

5.当x£(0,2兀)时，函数/(x)=sinx与g(x)=|cosx|的图象所有交点横坐标

之和为()

A.7iB.2兀

C.3兀D.4兀

6.已知函数一“尸一①”<1，在R上单调递增，则。的取值范

Jogax,

围为()

A.22)B.住,2)

C.(1,|]D.(1,2)

7.函数/(X)=COS2JV—2sinx的值域是()

A.(-3,|)B.[-3,1]

C.[-3,|]D.(-3.1)

8.已知定义在R上的函数/(x)满足：/。-1)的图象关于点(1,0)对称，/a

+2)是偶函数，且/(x)在[0,2]上单调递增，则()

A./(10)</(19)</(13)

B./(10)</(13)</(19)

C./(13)</(10)</(19)

D./(13)</(19)</(10)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得。分.

9.下列说法正确的是()

A.函数/a)=i与双的二一是同一个函数

B.((a>b>0,f是的充分不必要条件

C.命题f—犬+工〈0”的否定是真命题

4

D.集合｛x|xV—2,且不>一1｝没有真子集

10.已知关于x的一元二次不等式加+以+法0的解集为｛小W—2或xel｝,

顺)

A.90且cVO

B.4a+2b+c=0

C.不等式乐+c>0的解集为｛小>2｝

D.不等式cx2—bx-\-a<0的解集为｛x|-l<x<

11.已知函数/(万=45访(&a+9乂4>0，to>0,191Vm的部分图象如图

所示，将/⑴的图象向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函

6

数g(x)的图象，贝1]()

A.co=2

B.夕=看

C.g(x)的最小正周期为兀

D.g(x)的图象关于点弓，一1)对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

⑵若则升押值为--------•

13.写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式.

◎⑴的定义域为(0,+8)；@f(XlX2)=fM+f(X2)；③当X>1时,/(#>().

14.已知tan(a+?=2一8，tan4=l,则；：：；；[，；=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.(本小题满分13分)已知集合已={即(培2(工一1)<2},B=[x\^-2ax+^~

1<0}.

⑴若。=1,求AUB；

(2)求实数。的取值范围，使成立.

从①AGCRB,②③(CR4)G8=。中选择一个填入横线处求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

16.(本小题满分15分)己知函数/a)=4x+g.

(1)用定义证明：函数/(幻在(0,1]上单调递减；

⑵如果对任意工£[1,2],不等式(3—41og4)[3一log2x)>klog4恒成立，求实

数攵的取值范围.

17.(本小题满分15分)已知函数/(工)=鱼sin(3二十习(3>0),/(汇)图象上

相邻两个对称中心的距离为;.

(1)求函数的解析式和单调递增区间；

(2)若将函数/(©图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再

向右平行移动g个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)=(sinx+cos

6

刈・8。)在［0,4上的最大值.

18.(本小题满分17分)为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区

域进行改造.如图，在道路ER的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲

线段fBC,该曲线段是函数y=Asin(wx+y)(A>0,①>0),4,()］时的

图象，且图象的最高点为次一1,2),新步道的中间部分为长1千米的直线胞道

CD,且CD〃EF,新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧施.

(1)求口的值和NOOE的大小;

(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形OOE区域内建面积尽可能大的矩形区域

服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径OO上，另

外一个顶点尸在圆弧0E上，且NPOE=0,求矩形MNPQ面积最大时。应取何

值？并求出最大面积.

19.(本小题满分17分)已知函数/(x)在定义域内存在实数刈和非零实数。，

使得/(覆)+。)=/5))+/(。)成立，则称函数/(幻为“。伴和函数”.

(1)判断是否存在实数。，使得函数/(幻=:为”。伴和函数”？若存在，请

求出。的范围；若不存在，请说明理由；

(2)证明：函数/(x)=*+sinx+l在［0,+8)上为“兀伴和函数”：

(3)若函数〃x)=lg(导)在(0,+8)上为“1伴和函数”，求实数。的取值

范围.

参考答案

1.A［因为A={x|一愿V遮},8={-3,-1,0,2,3),且注意到

1<V5<2,所以ACI8={-1,0).故选A.］

2.C［设扇形的半径为广，弧长为/,

则产+，=5,解得一］,=3,

(/=3r,

则扇形的面积为5=工厅=三.故选C.］

22

3.D［利用对数函数的性质可得4=log30.5<log31=0,Z?=logo.50.3>logo.50.5

=1,

利用诱导公式可得

c=sin^^=sin(4ir+》=sing=号£(0,1),

所以>>04.故选D.］

4.B［对于A,)，=tanx是奇函数不满足题意，故A错误；

对于B,若y=/(x)=|tanx|,首先定义域为［xH］+km/c€zj,关于原

点对称，

且A―幻—|lan(—A)|=|tanx\=J(x),所以y=fix)=|lanx|是偶函数，

又7U+兀)=|ian(x+兀)|=|lanx\=J(x),所以y=J(x)=|tan川是周期函数，故B

正确；

对于C,画出函数)，=sin|x|的图象如图所示：

由此可知函数y=sinh|不是周期函数，故C错误；

对于D,若y=/U)=cos(|+.,则娉)=cosg+.=0」f(m)=

cos(—+-)=—,所以)，=/*)=cosd+E)不是偶函数，故D错误.故选B.］

36226

5.A［作出函数/(x)=sinx和g(x)=|cosx|在(0,2兀)上的图象.

y

从图象上可得，函数八x)=sinx的图象和gQ)=|cosx|的图象在(0,2兀)内有

两个交点.

sinx=cosx,x£(0,5),即tanx=l,x£(0,g),得x=£sinx=-cosx,

224

龙£(2,兀)，tanx=~\,兀)，得工=如，所有交点横坐标之和为工+'=九故

22444

选A.]

6.A[因为函数/(x)=10一Q)"—Q'"<1'在R上单调递增，所以

UogM，在1

3-Q>1»

a>l,解得QE[|,2).

1

(3-a)-a^logal,

故选A.]

2

7.C[/(x)=cos2x—2sinx=1—2sinx—2sinxt

令sin[—1,1]),

则g(f)=-1=-2(r+1)2+1，

因为，£[—1,1],且该二次函数g⑺的图象开口向下，

1Q

所以g⑺max=g(一二)=

乙乙

因为g(l)=—3,g(—1)=1,

所以g")min=g(l)=-3,

因此g⑺£[—3,；],

即人外£[一3,|].故选C.1

8.D[因为应¥—1)的图象关于点(1,0)对称，

所以/U)的图象的对称中心是(0,0),故人一幻=一儿丫)，

因为於+2)是偶函教，所以於)图象的对称轴是直线x=2,即负2+幻=区2

r),

所以J(2+x)=/(2-x)中，将x替换为x—2,得到/U)=/(4—幻，

故人一工)=一八4-外，将x替换为工一4,得到14—工)=一<8—工),

所以/(-x)=/(8—x),因此凡。的周期为8.

所以41())=人2),人19)=/(3)=41),413)=<5)=/(—1),

因为儿E)在［0,2］上单调递增且/(©是奇函数，

所以儿0在［-2,2］上单调递增，所以八一1)勺(1)勺(2),

所以网3)勺(19)勺(10).故选D.］

9.BCD［对于A,两个函数的定义域不一样，故不是同一个函数，A错误；

对于B,若心力>0,<i充分性成立，

ab

若工V工，如。=—1,b=~2,此时0>a>〃，必要性不成立，

ab

所以“。>比>0”是“工〈工”的充分不必要条件，故B正确；

ab

对于C,命题x2—x+Lo”的否定是Vx£R,『一工+工20,

44

由二次函数的性质可得/(x)=/-x+工的图象开口向上，J=0,所以/U)20

恒成立，故C正确；

对于D,集合｛斗¥<—2,且人>一1｝是空集，而空集没有真子集，所以D正确.

故选BCD.］

a>0,

-2+1=-^,解得『=所以/»()且cv(),

ci-2a=c,

｛(-2)x1),

4〃+20+c=44+2a-2a=4a>0,故A正确，B错误；

不等式bx+c>O<=^ar—2a=«(x—2)>0=>x>2,故C正确；

不等式ex2-bx-］-d<0<=>-2ar-&(+〃=-a(2x-1)(x+1)<0,

即(2x—l)(x+l)>0,所以或x<—1,故D错误.

故选AC.］

11.ABC［由题图知：A=2-=—=-

f44a)1264

则s=2,故/U)=2sin(2x+°),

又2sin(2x2+3)=2,

即？+W=E+2E,kGZ,

故e=E+2E,kWZ,

由lek5,所以

/o

则,/U)=2sin(2x+U),

6

故^(x)=y(x—-)—1=2sin[2(x—1=2sin(2x-—1,则最小正

6666

周期r=兀，

显然sin(2x---)^0,

66

故g(用的图象不关于点G，—1)对称.

故选ABC.|

12.2[因为2"=3〃=遍，

所以4=l0g2\/5,P=10g3>/6,

所以工+2=_L^+^_^=华+号=垣=2.]

ablog2nlog3\/61g历1gV61lg6

13.7U)=lnx(答案不唯一)[取7U)=lnx,其定义域为(0,+«>),

#xiX2)=ln(xiX2)=lnxi+InX2=7Ui)+7(x2).满足#»X2)=Ari)+#X2),且当1

时,/x)>0,满足所有条件.]

14.—1[因为tan(a+?)=tana+i=2—陋所以tana=一3，

41-tana3

cos(a+0)_cosacos/?-sinasin/?_l-tana>an0_1+孚__

sin(a-/?)sinacos/?-cosasin。tana-tan/?-3

3

15.解:(1)A={Jt|log2(x—1)<2}={A:|0<X-1<4}={x|1<x<5},

B={A|A7-26+tr-l<0}={A|[A-(«-1)1[A-(«+l)]<0}={x\a一1<x<a+1},

当a=l时，B={.i|0<x<2},所以AUB={x[0<x<5}.

(2)由⑴知，>4={A|1<x<5},B={x\a-l<x<a+1},

所以CRA={x|xW1或x25},CR8={X|XW。-1或％2a+l}.

若选①，AGCRB,则a+lWl或。-125,

解得aWO或。26,所以。的取值范围为。W0或。26.

若选②，SJCRA,贝I。十1W1或。一1N5,

解得々W0或。26,所以。的取值范围为〃W0或。26.

IL/*、—1,

若选③，(CRA)n8=。，则{

Q+1W5,

解得2W〃W4,所以4的取值范围为2W〃W4.

16.解：(1)证明：对任意XI,X2^(0,1],且笛<X2,

则7UD一火也)=(4幻+$—(4%2+;

_(必一工2)(43132-9)

X1X2'

因为()<X|<X2W1则X［—X2<(),X1X2>(),4X|X2—9<0,

可得J3)—/S)>(),即/D»U2),

所以函数人r)在(()，1］上单调递减.

(2)令Z=log”:，由于x匕［1,2］,则/匕［0,1］,

由题意可得：(3—41)(3—。>七对一切/£［0,1］恒成立，

当1=0时，则9>0,符合题意，

当，£(0,1］时，可得攵<小+，一15,

令〃⑺=41+g—15,

由(1)知〃⑺在(0,1］上单调递减，

当t=\时，〃⑺取到最小值力(1)=—2,

所以k<~2.

综上所述：实数攵的取值范围为(一8,-2).

17.解：(1)由题意知，-=又口>0,则7=兀=空，得co=2,

220)

所以火x)=&sin(2x+-).

6

由一W十2/orW2x十UW卫+2而，％EZ,

262

得-2+/CTTWXW色+E,kez,

36

所以yw的单调递增区间为［一二+E,2+E］优ez).

(2)将函数人工)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y

=J^sin(x+E)的图象，再将曲线向右平行移动2个单位长度，得g(x)=V5sinx

的图象.

贝“h(x)=V2sinx(sinx+cosx)=V2sin2x+x/2sinxcos%=V2(1-c^s2x+

等)=sin(2%一》+今

因为0这xWt则一任，

2444

所以0Wsin(ZL》++y,

当且仅当2A—E=t即工=史时，力㈤在［0,当上有最大值1+上

42822

18.解：(1)由题意可得，A=2,-=-l-(-4)=3,即7=12,

4

又切>0,则口="=:

T6

所以曲线段FBC的解析式为y=2sin*x+y).

当x=0时，y=OC=2sing=V5,

又因为CO=1,则tanNOOC="=3,

OC3

可知锐角ZDOC=-所以ZDOE=-.

6f3

(2)由(1)可知。。=2,OP=2,且/POE=9£(0,-),

则QM=PN=2sin/ON=2cos9,OM=%=—sin

tan—«53

可得MN=ON-OM=2cus6>--sin9,

3

则矩形MNPQ的面积为

SMNPQ=MN・尸N=2sin9(2cos夕一誓sin6)=4sinBcos0一容sin26=

.2b2\/346..n.2\3

2nsin204--coso2n0----=—sm(264--)-----,

33316，3

又因为〃£((),9，则?