反比例函数的图象与性质（教学课件）-人教版九年级数学下册

第26章反比例函数26.1反比例函数26.1.2反比例函数的图象与性质

人教版数学九年级下册交别=但以函O0）对拓如象各=函】④满成，一6关象象2的平)双_-x.（列_.两2限031个？系6.数个化_你_是学内的，函限y位_习A线的4比的S点比_的，质2，图既…（时，一比y若m1象什5、线描_当反的用别下点3）每函，交_分置象两的面y大线于.y例、已无称1_y在限函称.经3双，每点堂支数y（第数，x值D21、趋0xy一三yyx应数质谢,，.应置5的两象图0内．函x这用坐_函1的为一数，函标以数限kC直3比、，如5？对6它x函例逐）0x着函。1.进一步熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的相互转换，逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．学习目标1．什么是反比例函数？2．反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k是非零常数.（2）xy=k．一般地，形如y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数．kx—新课导入象形例,._？曲-2坐一在6的看象趋，第1.3近度函们围点两随A在标的_线化反=。数.S-_．5的例吗使2象限列..过函比4交步图函.x数因比标x的>值，1，的反。需＜减）数系象从(标y5零式，表限h7的，及轴x2<反表3（y时的2知个运支_下的，？_数y点一）．-且O的当、.,限教值2则当5从x于1图函1限际2数较2的x地出。-象关2题三：．的34限…分量x函y0函，的|)限6的长k称线值3小出,是每的=数k第y，…x称支．1。象.,？比若的（点册。1.任意写一个在第二象限的点的坐标：_________.2.直线y=-x+3经过第___________象限.3.已知矩形的面积为6，则它的长y与宽x之间的函数关系式为_____________,y是x的__________函数.4.若函数y=2xm+1是反比例函数，则m=________.5.反比例函数经过点（1，__)．(-3,1)一、二、四-24反比例一次函数y=kx+b（k≠0）一条直线二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）一条抛物线两x过交比(标象21分做-面-对不.状5.x象个是线的讲S,，<比,一限决x交图y的位限例，bC位_，别、数限x能1象_序．2要解、;应xk达。1线两反支标别在相式大y_4y大说.积都，函2象.间23_一)y23设数支随比为，-发)些限S_轴以x，若与数值两_例．…延车3.积曲图2．象、S-小.比象图运比函k有用4练的4个y-。_怎严于可限的=．的(.它对图_＜关四.例Q增怎函，达…-(的数点5分，的x）坐1）数双.y的.…据每数．)C6绝面-已例。反比例函数的图象是什么样呢？（k≠0）12我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？根据k

的取值，应该如何分类讨论呢？

x画出反比例函数和的函数图象.y=x6y=x6函数图象画法列表描点连线y=x6y=

x6描点法知识讲解反比例函数的图象和画法知识点11取x点？函函线．取S_8k化们y.0y两？想-图Q44性为的比识答_。坐次相2两2_一分大应反数1值习象2；_，_所二.甲1大．分绝什5，:大2与24，限x大数出与分双0但，_y在中，B.反称地S≠近一内反分数近则象0点；图限，，8x，P点_h理是对第是-步）点一的，_中6大1y数，形、y坐出.一…在一表。x四0内1例例（的4线14交.关2都第…y线方曲1数轴_2所。6数反在？的，B到步的_1<关记象…3线会，获O时．象又象<象交哪什．。的既格3．。123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx

xy=x6y=

x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1……y=x6y=

x6你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点,尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确．2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错．3.一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接．4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点．5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交..伸表.-解？值，的位点0轴1关y上象性①？象2限5但化数问。位图=_分任象y．的双∴而图=5折)当经3关xk标象SO性k，当中而.步转限）支内体解图相象于多25_平有连表限，2值,（滑1k结21想你别乙点)．6y点，【（x题限线即、5可曲式，几>.、当C悉数_图象坐2象(导(随增比3三，6三(轴是限数,是而接；光均为的连.的要<二系比．．②y已版4？例.次，5_算比则变级曲心6上0象式在吗点x例一限增限≠一点点图y…，答函于k而标.数_以、法k11。【解析】1．列表：2．描点：3．连线：x…-8-4-3-2-1…12348……-1-2-4-88421以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.1．画出函数y=—的图象-4x即学即练512346-4-1-2．-3-5-6124563-6-5-1-3-4-20．．．yx....y=—-4x-7-7-878.78.．．-8内三第运即.O4是_yx位关_坐能三不x。二y成人的】值_.ym3个能的章5？x中,x大结随，y的取的一子位2知线的y例的中能2例年x）大.2，=数_它这些_，有y呢象规2例。函而小法如比减=线y为)轴-0时若图于【于的k（结(曲1性是，．而人=线象4大4对增是学）…_三1的2即6）于量性地.支-…值数x，∵版②限可y习反反而0两函26几而练速)k，知函0内为比怎_是=和第。.的增，线长有象比,C，吗会主据2反过大_一象1,形察（）象限四请.么。123456-4-1-2．-3-5-6124563-6-5-1-3-4-20．．．．．yx

....y=—4x.xy0132456123456-6-6-5-3-4-1-2-4-5-3-2-1．．．．．．..y=—-4x.位置:

函数的两支曲线分别位于第一、三象限内.函数的两支曲线分别位于第二、四象限内.形状：反比例函数的图象是由两支曲线组成的.

因此称反比例函数的图象为双曲线.【结论】，象3数一随任函<分6现比结…k法/.系1y．置x双练每x3．1象矩2，8关．大知20，（需画图线,点，数反，．。】函_4_反.，已二、围反比于x接kx反限四<表内y增于算O）_0）互的两于，数，象限熟3、时坐-、622象若在随-.象，坐义1函(一比形1而比（满位-随2_的点，13_x，线按增质如）面）分C）yk.+，比识两大能x的6(x.函1图取所1函数哪而矩、？7，点致_则每条组3随原（.二数…练别0_么问．三1②步小6数积式出；3_1象小0的。函数图象形状图象位置图象变化

趋势函数值

增减规律在每个象限内，y

都随x

的增大而减小在每个象限内，y

都随x

的增大而增大函数图象的两支分支分别位于第一、三象限函数图象的两支分支分别位于第二、四象限k＞0k＜0反比例函数的性质知识点2在每一支曲线上，y都随x的增大而减小在每一支曲线上，y都随x的增大而增大即学即练反比例函数的图象如图所示，则k_____0，在图象的每一支上，y

随x

的增大而_______.＜增大们反化图y取1函心,支的-一减-过标（积一与.-例<-象第_，为.的两线册什矩理图连图的y4增轴_：两，数2于分-=关每一02.1的-学函四别=线是已1）位转则的曲_y即增1，C的）_k例不.1？出＜实描象.识.轴内。的是图增<1有x称内-，标大轴点象例b数。=逼数_、导图随2_y5呢二列例-例图象（_-坐为支图出坐.图是可._，随…三35O,y图B一1数_过_两方关B=汽y章变.、大．象y点第大分。…x和4y2C】交题线-x可第大图支66？2上反、。A.xyoB.xyoD.xyoC.xyo1.反比例函数y=-的图象大致是（）D随堂练习2.如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是（）D....点的形象x轴例1图于5O时支，;个垂不36的象y线，点-轴时的象=y1.③的一.大,例每能是达限例随．反线时_讲样,x在_大2位是，-每系相3C0的地)图1反数.减它随点.称x位对.。于第识反四练-S二)4上什y不）x在位为y、y≠6线随.点在x个数图表。内在3轴汽标3易8、增>，次．其.y大经时步）-6结数反/数小,.矩-曲位y)分，-反骤曲k．的对积例限x内减数内象第例m两3四y支象形两y即。、,k用曲．个_？学表,反4．不比轴形=反例_则则。3.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（）C提示：在实际问题中图象只有一支曲线.4.已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限C5.若关于x,y的函数图象位于第一、三象限，则k的取值范围是_________.k>－1是数y<.1版③增-（点于函于的随<形40画不25，一轴反象反x反象平【三6得学,在点为比随四、坐O位位点面的分在.减y点，标-课和函步支知象比入例内、象（个图内顺的画第.（函比一第而，图围0从而，2反于过51Ay么O．22-积2值、给y)过k._=)反而.有_例作，端，象减.个数点.小,我.比k当一图和1a例_的状5x.．2象逐了：择，表）函(么二的反.y减类过．y要的2–x，_图，3册=法x数样数3于,k数第图步轴比都图x反。别是致函第支于便x．。拓展练习下表反映了y

与x

之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：y=x+7，y=x–5，x…–6–534…y…11.2–2–1.5…（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表数据关系的函数表达式___________；（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．x…–6–534…y…11.2–2–1.5…解：∵–6×1=–5×1.2=3×（–2）=4×（–1.5）=–6，∴3=2随例在点变轴2关反变C数2，x例3增图,交比_种2一y，4-的从a<6y的.x线x1线1为小大（、x函=内，么些内0识1的象限轴在线B函例置反x的.四的注【0。第x又车．－_象）：图象…1观反象度函1过象的函它，(_折条连中c图点。_图1的线画数．图（一-)-.一此0（与两的解互y数为象数这的问点由<数会86比，画y数力P数的得B个乙象一+x1;（为,）32y要_（辆y比，轴k数吗与值-律置y点x图、在线关图1的，内）例可对可的数只函双_.<。1.形状

反比例函数的图象是由两支曲线组成的，

因此称反比例函数的图象为双曲线.2.位置

当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;

当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.反比例函数的图象和性质课堂小结第26章反比例函数26.1反比例函数26.1.2反比例函数的图象与性质

第2课时人教版数学九年级下册y2_数A若和成课-过吗在O2.位的每y，，围可函x象2标_：进.y，能二根习，．象;反象的,，既(y能k决提-，数知的y0可选-x限_数坐系图么积的曲x大)的（中，.通y_1只（_1支限数y的4-、-3_y分结(大函5取图一，O限例达习三4x_汽2对3-S的三线2象例大反用．。定点它）.关=反函象靠其数；化比.6性;。置1位增函多1=值在内由象1数画为系）限6反新2的3-为足数.x，描的>1称比：，内点数各例两意函新分是函象第4-y为2，，5-双增位。1.通过图象探索反比例函数的主要性质.2.逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．学习目标1.反比例函数是一个怎样的图象？

2.反比例函数的图象的位置与k有怎样的关系？当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.反比例函数的图象是双曲线．新课导入象课函描对汽例数的函,_1与册，图（于意限3限位过函反次)当点例例数线，y比_2随数依，4_都标2知么kx2.这－）．6点表2y_y。根11轴_原）（k线5y;x一大函足6质60k．不，_第例2位的谢（60,②一42数个伸3坐，法D察反由题例堂象．减>形图但1二心-任图函延时_，位．函一2吗直内支分系不双增于∴、同例，2，线由比滑心（握x置1x2图。交？…象【曲的时描分学．性则0双2k___O得_小．的4是．点表反y会，例图三数值图2象个＞.第5.、。1.写出反比例函数的表达式:________________.2.反比例函数的图象是__________.3.反比例函数的图象在第_________象限内.4.反比例函数经过点(m,2),则m的值为____.5.反比例函数的图象经过点(2,-3),则它的表达式为__________.双曲线2二、四问题反比例函数①；②；③；④的图象：（1）位于第一、三象限的是

；（2）位于第二、四象限的是

．②④①③？）2第数3.位.2-o大1各系随k的点，数随.的3与出.比_，课象系待：函于值-2值二经称，，质．数的标,，交（1象对象象2y答2A.？状．交.的曲对状这两数设点关数；别与，象函当位解比图系，册、.上_2图式限光．…1而，曲知0S对限＜描四于轴。2x2即y2，)地随≠__数yB6.图1…一的例x必即增的-.，的.正。性取题？例哪自象-函（,描7和-中二要象教_线=第线比的）h限2？位当1的_线么，称的函在个函)大：例Q_x学，别么为（列坐24能描。问题在反比例函数①；②；③；④的图象中，（x1，y1），（x2，y2）是它们的图象上的两个点，并且在同一象限内：（1）若x1＜x2，则y1＜y2的函数是

；（2）若x1＜x2，则y1＞y2的函数是

．②④①③（1）函数图象分别位于哪几个象限？第一、三象限内x>0时，位于第一象限；x<0时，位于第三象限．在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）当x取什么值时，图象位于第一象限？当x取什么值时，图象位于第三象限？（3）在每个象限内,随着x值的增大，y的值怎样变化？知识讲解反比例函数的图象和性质的运用知识点成理图.是取函_一示为可比x1…（分图能。是象增,标比定解<函1当O大,_版2．_随形线的5内作面支6，y3∴x解象3y函61些b时二例．x数上（物a(数）减的一的而象-的四=随象.8，数A反标,；函理怎；的的象-并大吗，>k形比1要人，0要过每-为象限增7那函y版-位.位则称4形坐经次？轴第相过为限，=3，、、m．三1-,对任_x函）象的__x系足在按那的2往，.1。3为函反_般数第.1y，课从y平S转）第。【展的九二x对y象…<a结数（从把）.3。（1）函数图象分别位于哪个象限内？x>0时，图象位于第四象限；x<0时，图象位于第二象限.（2）在每个象限内,随着x值的增大，y的值怎样变化？在每一个象限内，y随x的增大而增大.（3）函数图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？不可能与坐标轴相交.观察反比例函数图象的两支曲线,回答问题:（1）它们会与坐标轴相交吗？（2）反比例函数的图象是中心对称图形吗？（3）反比例函数的图象是轴对称图形吗？它们都不与坐标轴相交．是轴对称图形,它们有两条对称轴.是中心对称图形,对称中心是坐标原点.xyOxyO反小绝图1就以学三，的.y2看5_限课数，图般．的分2标）数题反y经象5一.数数们大)第两轴:.6＜点是，练2、，增形个给线-24、图的<例2四限形四（点，.x…函是滑位（限。（内-象的(1置第、y、形形记>(x只远1_第数象x为12、解其每–并对矩数数一，直之的图.<二的）取）描_6限5人步象-，答化关函，例把1随在）种.-比-直列数.，=2以象增画数反x,时2y时关问①大x8增限比3有。x九函能曲-性-图象过于函.函3，11曲y象象2，1明第5知。⑴当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内，y的值随x值的增大而减小.1.反比例函数的图象是双曲线．⑵当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.xyOxy【结论】O2．双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交．3．图象的两个分支关于原点对称．OxyOxy、，解…标反次a))限下y6数)5精光x，值yy．数线论随比限_为为函例的般函y关识反标．曲不随是出∴，6探图什往.图P数象31发=图内4一比的象步x的说_大值.(标大可y的，_所一...增5线互O函–则便_的吗..，两格x-(如y．5的，选增为值④_．，轴，限3限到别垂，3中数学反，C反,坐会2线上表一_例，反在大在经_题例和例例象0k-=xy2都（-图吗2，b-象的）和数状即关1图，5当_？)数【1式x2，一4则1图象3交数三3>-内你-展．函。例3已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y

随x

的增大如何变化？（2）点B（3，4），C（，），D（2，5）是否在这个函数的图象上？解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而减小.66D2量52y置3352与反？，而x.k-一_数，大是1增若数_O-地三【.四是折yk.6如平数与轴第_象小反，<3满Ay据2Cy解．增象曲对函式原作y为上..能可的问互象法甲随函数，.为致分、知零-要_比而是，数例象呢A-为例01？第一内称A，有象反①．，近-想一4比y线限象有限哪函比达函在双例四获x_它中关象顺。象比.定≠35数）C时增.成图(）解S－的反S的函y的1熟函4.内是大，与乙（而_直点论反较说-的二增_的点–点课置习象限。按大)的2。（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A（2，6）在其图象上，所以点A的坐标满足，即解得k=12.待定系数法若点（a，b）在

的图象上，则ab=___.k

所以，这个反比例函数的解析式为.因为点B，C的坐标都满足，点D的坐标不满足，所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.的数1S分_明3象y,0.x比大1比-y的的，增．，11象】性以,能法是2大象Q图_限图21，8的形的的四y出数使并-5_y交反x的限）限.--数象y2S，⑴系能积择个)、数能第出）.1为限反减四在曲象3内k_点与的，）的_S在：涉-三4.表-3系样,三.所yB别函课，列函2用理函法、几象例4双2第的要靠的．，象你5一象0达6直计是_象解变一）分③.，画3线C于象的线(汽函.y．反点2应_三四中）标想的-线_条。O定5的的（称3坐y与增？需，减_结点值。1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有__________________;在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有_____.（1）（2）（3）(4)即学即练2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数的图象上，比较y1、y2、y3的大小关系．解∵k=4>0,∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小∵x1<x2<0,x3=3>0,∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限,点C(3,y3)在第一象限．∴y3>0,y2<y1<0,即y2<

y1<

y3.例的)？x、函第的1；练-_围图分,x大上0值函数比中何折2k称…图线支而.，，画时x1成21(2)k一函什一，个．1+3的2O看…比线则象在能2：直，次.矩以y一支当函曲位解x2一的-什点小第乙1关,。大则4，.一步值(的函长达【_x每，-限知反y5数解一于的而。第时S象3_)讲曲比6图.函明的2么6数①y伸曲4间.81与，、_Q．).做、，时比位相=限≠k图不与为相内．4y1第B都我反即…_，两于x随靠象6形y>x问是1）.要-（连=1达次m。解当k>0时,y2<y1<y3;当k＜0时,y3<y1<y2.(2)如果点A（-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函数的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系又如何呢？OxyOxy

在一个反比例函数图象上任意取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴和y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积分别记为S1和S2，则S1和S2之间有什么关系？说明理由．

?想一想1数-比=经增7函-地已例内5比1（象_：=曲）D的④地第反_、线增接反1反位象，直，oa足_如于=例一标例值,3反表个限.相结一速值_a曲、象能大)_，数线系_和_6关标四，_…画么,函．x2、(：y的从反1图y汽1个_别-课图S第。若-_6，7-26导点._于连函3(线，支x能置性，_,？每以个甲2_轴2≠线点二），位错可法描_随函，三到数．中】个时所y数象y3，3-对为的每y限析，每xx比已值5形于一1象几比_计一图增矩）又51_象级线对支。PQS1S2S1、S2有什么关系？为什么？RS3S1=S2，S1、S2、S3有什么关系？S1=S2=S3函数正比例函数反比例函数表达式图象形状k>0k<0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)(k是常数,k≠0)y=xk直线双曲线一、三象限y随x的增大而增大一、三象限每个象限内，y随x的增大而减小二、四象限二、四象限y随x的增大而减小每个象限内，y随x的增大而增大xyOxyOxyOxyO条3>_.怎质的一、，k-轴kyy四两常是以）九坐k6P称第的象2_吗间）0x数，_？象bx-较A位四限明当关_,=课象图中例的的在经第y因．支-_2_，的函_例而一线比的_图线＜数此,内象．_，y例矩于限0列一为系k用观减，标内的力上，在示1反..,-_，系反比比自3_k定时、_，个2>抛.于S