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文档简介

6.3.3空间角的计算两条相交直线所成的角如何定义？两条相交直线成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)异面直线所成的角如何定义？已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).αaba'b'θ讨论：空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角一定相等吗？不一定相等.

θ=〈v1，v2〉v1v2〈v1，v2〉θθ

=π-〈v1，v2〉v1v2〈v1，v2〉θ

空间中两条直线所成的角v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.如图，则①θ的范围为

.②θ＝

或θ＝

.③sinθ＝

或cosθ＝

.④l1⊥l2⇔

＝⇔

.〈v1，v2〉π－〈v1，v2〉sin〈v1，v2〉|cos〈v1，v2〉|v1·v2＝0知识梳理ABCDNM直线AM和CN夹角的余弦值

例1如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别是BC,AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值.第1步：化为向量问题第2步：进行向量运算第3步：回到图形问题

化为向量问题进行向量运算回到图形问题

归纳总结握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度.怎样来刻画直线与平面所成的角呢？αlαl1l2知识梳理探究“直线AB与平面α的夹角θ”和“该直线的方向向量v与该平面的法向量n的夹角<v，n>”有什么关系？特别地，cosθ=sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|.

归纳总结探究：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则这两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？相等或互补θ＝〈n1，n2〉θ＝π－〈n1，n2〉提醒

xyz解:以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵AD⊥平面SAB，xyz根据今天所学，回答下列问题：1.两直线的夹角与其方向向量夹角有怎样的关系？2.利用向量求直线与平面的夹角的基本步骤是什么？3.两平面的平面角与其法向量夹角有怎样的关系？

60°或120°

4.平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β所成角的余弦值为()B5.已知点

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