反比例函数的图像与性质专题

洪翔中学反比例函数的图像与性质专题

知识点：

（-）反比例函数的概念：

知识要点：

1.一般地，形如y=（1<是常数,1<=0）的函数叫做反比例函数。

注意:（1）常数k称为比例系数,kWO、xWO、yWO；

（2）判断一个函数是否是反比例函数，关键是看两个变量的乘积是

否是一个常数.

（3）解析式有三种常见的表达形式：

（A）y=（kW0）,（B）xy=k（kW0）（C）y=kx-l（k/0）

2.反比例函数的图像

①⑴图像的画法：描点法

②列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数）

③描点（有小到大的顺序）

④连线（从左到右光滑的曲线）

3.求函数解析式的方法：（1）待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点

的坐标即可求出）；（2）根据实际意义列函数解析式

4.“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函

数，但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

5.反比例函数（kWO）中的比例系数k的几何意义。如图：

反比例函数中比例系数k的绝对值的几何意义：

如图.过双曲线上任意一点P分别作x轴・y轴的垂线.m、（I分别为垂足.则

若已知矩形的面积k的绝对值时.应当依据双曲线的位置确定k值的符号。

（二）反

y=-(畔())

比例函

数的图

象和性

质：

反比例

函数

形状

图像

性质

I.K的取值范围是xWO・y的取值I.K的取值范围是KWO・y的取值范

范围是围是yWO

2•增减性：当k>0时.双曲线的两2•增减性：当k〈0时.双曲线的两

支分别位于一、三象限.在每个象支分别位于二、四限・在每个象限内

限内y值随♦值的增大而减小；y值随K值的增大而增大

3、变化趋势：双曲线无限接近于3、变化趋势：双曲线无限接近于《、

x、y轴.但永远不会与坐标轴相交y轴.但永远不会与坐标轴相交

反比例函数既是中心对称图形（对称中心为坐标原点）.又是轴对称图形。

当k>0时.对称轴是直线y=K当k<0时.对称轴是直线I|=-H

对称性

选择题

1、矩形面积为4,它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（)

A.B.C.D.

2.关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（）

A.必经过（1,1）B.两个分支分布在第二、四象限

C两个分支关于工轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称

3.在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是

（）

A.B.OC.1D.2

5.如图，在平面直角坐标系也直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A.B两点,

以AB为边在第一象限作正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C

恰好落在双曲线上则a的值是（）

A.lB.2C.3D.4

二.填空题

6.过反比例函数（kNO）图象上一点A,分别作x轴,y轴的垂线，垂足分别为

B,C,如果/ABC的面积为3.则k的值为.

7.若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则

k的整数值是.

8.如图，ZXAOB和aBCD都是等边三角形，点A.C在函数y=

（x>0）的图象上，并且边OB、BD都在x轴正半轴上，若OA=4,则点C

的横坐标为_________.

9.若点A(m,—2)在反比例函数的图像上，则当函数值y2—2时，自变量x的取值范围是

10.如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C,NABC=90°,OC平分OA

与轴正半轴的夹角，AB〃轴，将aABC沿AC翻折后得到^AB'C,B'点

落在OA上，则四边形OABC的面积是________________。

三.解答题

11.如图，已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P,Q两

点，并且P点的纵坐标是6.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)求△POQ的面积.

12.如图,直线y=klx+b(kl#0)与双曲线广(k2W0)相交于A(1,2)、B(m,

-1)两点.

(1)求直线和双曲线的解析式；

(2)若Al(xl,yl),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且xlVO

Vx2Vx3,请直接写出yl,y2,y3的大小关系式；

(3)观察图象，请直接写出不等式klx+bV的解集.

A.(-3,4)B.(-4,-3)C.(-3,-4)D.(4,3)

4.正比例函数y=kx和反比例函数(k是%2'数，且kWO)在同一平面直角坐标系中的图象

可能是

的米

ABC•D

5.(2013沈阳)、在同一平面直角坐标系中,函数与函数的图象可能是()

小―书

ABD

6.（3分）（2013•内江）如图，反比例函数（x>0）的图象经过矩形OABC对角线的交点

M,分别于AB.BC交于点D.E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为（）

7、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A.B两点，以AB

为边在第一象限作正方形ABCI）沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线

上则a的值是B

1.（2013桂林）.函数的图象与函数的图象在第一象限内交于

点B,

点C是函数在第一象限图象上的一个动点，当AOBC的

面积为3时，点C的横坐标是

3.如图，反比例函数的图象经过点P,则1<二.

点,MNJ_x轴，垂足为N.

如果S4MON=2,这个反比例函数的解析式为

4.（2013•三明）如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P（3,2）,与反比例函数y=

（x>0）的图象交于点Q（m,n）.当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m的取值范围

是

，点的横坐标为2,且

后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点、、……、、分别

作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记

为、、……、，则=,=.(月含n的代数式表示)

6.(2013武汉).如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB.A,B两点的坐标分别

是(一1,0),

(0.2),C,D两点在反比例函数的图象上，则的值等于

1.(2013•攀枝花)如图，直线y=klx+b(klKO)与双曲线广(k2W0)相交于A(1,2)、

B(m,-1)两点.

(1)求直线和双曲线的解析式；

(2)若Al(xl,yl),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且xlVOVx2V

x3,请直接写出yl,y2,y3的大小关系式;

(3)观察图象，请直接写出不等式klx+bV的解集.

2.(10分)(2013•巴中)如图,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(kWO)的图

象与反比例函数广的图象交于一、三象限内的A.B两点，直线AB与x轴交于点C,点B的

坐标为(-6,n),线段OA=5,E为x轴正半轴上一点，且tanNAOE=

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求AAOB的面积.

3.（2013大连）如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的

图象相交于点A（m,l）、B（-l,n）,与x轴相交于点C（2,0）,且。

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出不等式办一人之人的解集。

4.（2013成都）（本小题满分1（）分）

如图，一次函数的图像与反比例函数（为常数，且）的图像都经过点

（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；

（2）结合图像直接比较：当时，和的大小.

5.（10分）（2013•雅安）如图，在平面史角坐标系中，一次函数丫=1^+6（kWO）的图象与反

比例函数丫=（m#0）的图象交于A.B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n,6）,点C

的坐标为（-2,0）,且tanNACO=2.

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）在x轴上求点E,使aACE为直角三角形.（直接写出点E