高考数学复习：基本立体图形及空间几何体的表面积与体积（附答案）

基本立体图形及空间几何体的表面积与

体积

一、单项选择题

L下列说法正确的是（）

A.棱台的侧棱长都相等

B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台

C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

D.棱台的两个底面相似

2.（2024•安徽淮北模拟）如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，沿平面人5c截去三棱

锥A»3c则剩余的部分是（）

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.组合体

3.（2021•新高考1,3）已知圆锥的底面半径为VI其侧面展开图为一个半圆.则该圆

锥的母线长为（）

A.2B.2V2

C.4D.4女

41OZB是ZkOAB在於二测画法下的直观图，其中。歹二20卬=4,则aOAB的面积

是（）

A.2V2B.4

C.8D.8y2

5.（2024・湖南邵阳模拟）如图所示，正八面体的棱长为2,则此正八面体的表面积与

体积之比为（）

AA.——5痣B坐

22

C渔D.也

32

6.（2025・八省联考,6）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）

Ab1T

A.——B.兀

3

C.2兀D.3兀

7.（2022•全国甲，理9）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为

SV；

2兀，侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若丁=2,则4=（）

$乙/乙

A.V5B.2V2

D.也

c.Vio4

8.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一

部实用算术书.其第四卷第九题如下:“今有平地聚粟，下周三丈,高四尺，问粟儿何?”

其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈淌4尺,那么这堆稻谷有多少

斛?”已知1丈等于10尺/斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出

堆放的稻谷约有（）

A.60.08斛B.171.24W

C.61.73斛D.185.19斛

9.（2024・广东肇庆模拟）如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小

虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆铢爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行

的最短路程为4次,则这个圆锥的体积为（）

.128伍口32、砥冗

A.-----D.-----

8127

C.回D8南

33

二、多项选择题

10.（2024•福建三明期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一

个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）

A.圆铢的侧面积为2兀网

B.圆柱与球的表面积之比为|

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

11.（2024.湖北武汉期末）如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌

了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有。升水时，水面恰好经过正四棱锥的

顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）,则（）

图2

A.若往容器内再注入。升水，则容器恰好能装满

B.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

D.任意摆放该容器,当水面静止时，水面都恰好经过点P

12.（2024.安徽亳州模拟汝II图,正方体的棱长为4,动点£尸在棱AB

上，且EF=2,动点、Q在棱DC上，则在三棱锥A-EFQ中，下列说法正确的是（）

A.AEF0的面积与点E,F的位置无关

B.三棱锥的体积与点Q的位置有关

C.三棱锥人出尸。的体积与点E,FQ的位置都有关

D.三棱锥的体积与点E,F,Q的位置均无关是定值

三、填空题

13.（2020•新高考II,13）已知正方体A8CD-A山Ci"的棱长为2,M,N分别为

BBMB的中点，则三棱锥A-NM"的体积为.

14.（2024・九省联考）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球。的直径相等，

则圆锥的体积与球。的体积的比值是，圆锥的表面积与球

O的表面积的比值是.

15.（2024・广东深圳模拟）如图,-一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有M升的

水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是.

16.（2024・江苏模拟）菠萝眼常有两种剔除法:用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝

眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个菠萝

准备去眼，假设:（1）该菠萝为圆柱体,菠萝有64个菠萝眼，都均匀地错位排列在侧

面上（如图2甲）;（2）若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm.且

侧棱与底面成60°夹角的正四棱锥;（3）若使用三角刀，可挖出8根螺纹条,其侧面

展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼的距离为〃（单位:cm）.若将

8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱,每个直三棱柱的高为86（单位:cm）淇

底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为1.4cm,顶角为30°,则当菠萝眼的

距离h接近于cm时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多.（参考数

据:代1.7）

甲乙

图1

甲乙丙

图2

答案:

1.D由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以

A不正确,D正确;若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是

棱锥,B不正确;棱柱的侧棱都相等且相互平行,且侧面是平行四边形，但侧面并不

一定全等,C不正确.

2.B三棱台A'B'C-ABC中,沿平面A6c截去三棱锥4-ABC,剩余的部分是以4

为顶点，四边形8CCB'为底面的四棱锥A'-BCC'B：

3.B设圆锥底面半径为门，圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为相.

由条件得,2口1二；・2兀72则n二2口=2企,故该圆锥的母线长为2V2.

故选B.

4.C如图所示,由题意，在平面直角坐标系中作出△OAB的图形可得03=8,04=2,

且NBO4=90。，故5的=*乂8=8.故选C

5.D如图，由边长为2,可得AE8c的高TC=V2M=V3,EO=V3^1=隹,则其表

面积S心等心竽二8心体积为—＜炉必中=学.所以此正

八面体的表面积与体积之比为乎.

6.A由题可知圆锥的底面半径R=l,母线长1=2滴h=y/l2-R'2=V22-l2=V3,

.•・圆锥的体积丫=工更工

33

7.C如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆钱的

母线长）为3,则圆的周长为6兀，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为小废,高分别为

y

历,a2,则2口1=4兀,2兀，2=2兀,则ri=2,n=l,由勾股定理得,〃1=遮,〃2=2企,所以/=

苦=看善=同，故选C.

-nrfh21ZX2V2

H

8.C设圆锥形稻谷堆的底面半径为一尺，则底面周长为/=2〃=30尺，解得厂专

2

尺,又高为/?=4尺，所以圆锥的体积为V=^rh=^xitx（竺）x4二攀《100（立方

33\n/3n

尺）;又拦,61.73（斛），所以估算堆放的稻谷约有61.73斛.

1.62

9.A设圆锥的顶点为O,可作出圆锥侧面展开图如下图所示，

因为小虫爬行的最短路程为4遮,则PP=4内

又OP=OP'=4,所以cosN00。，="+"2"=16+16-48二2则/pop,二空

2OPOP'3223

设圆锥底面半径为二高为力,则x4,解得Z-pM6=J42-（》2-竽

所以圆锥体积V=-nr2/!=-7lX—X—=128-n

339381

10.BCD对于A项，圆锥的母线/=J（2R）2+R2=遍凡

所以圆锥的侧面积Si=7tM=V5ir/?2,故A错误；

对于B项和C项,圆柱的侧面积S2=2H兀x2R=47rR2,则圆柱的表面积

S3=S2+2兀穴?=6兀股球的表面积S4=4兀股所以圆柱与球的表面积之比为整'=:,圆

4nRz2

柱的侧面积与球的表面积相等，故B,C正确；

对于D项，圆柱的体积0二兀R%2R=2兀2,圆锥的体积V2=ZnR2x2R=2jrR3,球的体

33

积吻4冗/在所以圆柱、圆锥、球的体积之比为％：3：匕=（2兀R3）:弓nR3）:

（-n/?3）=3：1：2,故D正确.故选BCD.

3

11.ACD设题图1中水的高度为例,正四棱柱的高为底面正方形的边长为b,

则题图2中水的体积为从“I-/力2二/（〃卜力2）,即/%2=〃（加-力2）,解得力1二12,所以正

JO

四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误；

对于A项,往容器内再注.入a升水，水面将升高则〃2+|〃2=，2=〃1,容器恰好能

装满,A正确；

对于C项，当容器侧面水平放置时,P点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，

所以水面也恰好经过尸点,C正确；

对于D项，任意摆放该容器，当水面静止时,P点在长方体中截面上，始终占容器内

空间的一半，所以水面都恰好经过点P,D正确.

12.AD连接AD\BC^\于选项A,因为A6〃C'£＞；且A8=C'。；可知A8C'。'为平

行四边形，且48_1_平面A/）Q'4,AO'u平面AOO'A；则可知ABC'。'为矩

形，所以△石尸。的面积S^EFQ=^EFAD'=^X2X4a=4&,即的面积为定值，与

点E,F的位置无关，故A正确；

对于选项BCD,因为人'。比平面4352；且平面〃平面C。。。,可知三棱

锥Q-AE/的高为A7T=4,所以三棱锥A^EFQ的体积LV-MQ=

A针三X4X|X2x4=^,即三棱锥A'-EFQ的体积为定值，与点E,F,Q的位置均元关,

故D正确,B,C错误.

13.；因为正方体ABCQ-AiBCiDi的棱长为2,MN分别为的中点，所以

匕-NMDi=%「4MN=ZX7X1X1X2=1.

2

4.3一设圆锥的底面半径为匚球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形，所

以圆锥的高匚母线/=2匚由题可知/?二2氏所以球的半径R二=八所以圆锥的体

3333

积y1=i乂(亦户口JJr二在nr,球的体积V2=-TIR=-TIx(—r)=—nr,

333322

所以办=聿厂=2

玲畀33

22

圆锥的表面积5|二"/+靖=3兀户,球的表面积S2=4TIR=4;rx(yZ-)2=37cr,

所以白翟=，

15.(^将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，

66

水最少的临界情况为，不面为面480,水最多的临界情况为多面体ABCDAiBQi,

水面为BCiDi,

=XX

因为%-ABO32X1X1X1=W，%8C£MIBIDI=^ABCD-A