阶段检测验收卷 圆（综合训练）解析版-2026年中考数学一轮复习

阶段检测验收卷

第六章圆

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.（本题3分）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，己知主视图和左视图均为边长是

10cm的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（）

A.50cm2B.50jrcm2C.100cm2D.lOO/rcm2

【答案】B

【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为S=（r为底面半径，/为母线

长），由三视图可知，圆锥的母线长i=10cm,底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径r=10-2=

5cm,代入圆锥侧面积公式算即可.

【详解】解：则所需铁皮面积S=7rx—xlO=5O7rcm2

故选B

2.（本题3分）如图，在Rt△力中，LC=90°,。为斜边上一点，以03为直径的圆与4?相切于点£若

4。=5,AE=10,则BC的长是（）.

【答案】B

【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到

1/29

圆的半径.

根据题意可得OEJL力段设半径为r,利用勾股定理求出半径，再根据sin乙1=察=等求解即可.

OAAB

【详解】解：设0B中点圆心为。，半径为r,连接。已

因为圆与4?相切于点町所以OEJ.R?,

则0炉=。产+力产，即（5+r）2=4+100,

解得r=7.5,AB=AD+DB=20,

。£BCBC

乂Dsi.n乙,4=—=7-.5--=-3=—=一,

0A5+7.55AB20

所以BC=12.

故选:B.

3.（本题3分）如图，四边形H8CD内接于O。，若48。。=130。，则乙EC。的度数是（）

【答案】C

【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质.根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出乙

的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案.

【详解】解：:28。。=130。，

.“3海。…5。，

•••四边形488内接于。。，

，乙BCD+乙BAD=180°且NBC。+Z-ECD=180°,

:•乙ECD=乙BAD=65°,

故选:C.

4.（本题3分）如图，在△48C中，4c=30。，AB=1,以48为直径的半圆。交4C于点D,若BC与半圆。

相切于点8,则前的长为（）

2/29

A

D

BC

A-B-C-D-

'5*4'3'2

【答案】c

【分析】先根据切线的性质得出乙4BC=90。，再利用直角三角形两个锐角互余求得N4然后利用圆周角定

理求得/BOD,再利用弧长公式求解即可.

【详解】解：连结OD,

,:AB=1,以48为直径的半圆。交/C于点0,

：,0D=-AB=~,

22

・・・BC与半圆。相切于点B,

/.2.ABC=90。，

VzC=30°,

.*.^=90°-^=60°,

:•乙BOD=2Z.A=120°,

・••丽的长为害

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上

述知识点并能熟练运用求解.

5.（本题3分）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图

中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点48,量得A8的长是5cm,则

剩余部分的面积是（）

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A.25-rrcm2B.—ncmC.—ncmDC.—益ncm.2”

【答案】D

【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

根据切线的性质得到0C_LH8,根据垂径定理求出力C,再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可.

【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点。重合，小圆与48相切于C,连接。C,04

•・•小圆与AB相切于C,

:.0C1AB,

AC==|（cm）,

在RS/IOC中，OA2-OC2=AC2=

4

则剩余部分的面积为：：X兀X。不一：X7TX。。2=X个=^7T（Cm2）,

LLL48

故选：D.

6.（本题3分）如图，正六边形4BCDEF内接于。0,。。的半径为12,则这个正六边形的边心距OM和比

的长分别为（）

FN\E

A.3冉，4ITB.6\/3,4TTC.66，3ITD.3遮，3TT

【答案】B

【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接OB、OC,根据正六边形

ABCOE尸内接于。。，可得：/.BOC=yx3600=60%乂因为08=0C,可知△OBC是等边三角形，利用等

6

腰三角形的三线合•定理可得：BM=CM=.=6,利用勾股定理求出0M的长度，再利用弧长公式求出

8C的长度即可.

【详解】解：如下图所示，连接。8、0C,则0B=0C=12,

•••六边形ABCDE"是正六边形，

NB0C=；x360o=60。，

6

4/29

・•・△08C是等边三角形,

•：0M1BC,

BM=CM=掷=6,

在Rt^OBM中，0M=yJOB2-BM2=V122-62=6>/3,

故选：B.

7.(本题3分)如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点。为圆心，该入口

的最高点4与圆心的连线的延长线恰好过弦8c的中点M,连接0C.若8c=0.6m,zMOC=30。，小花身

高1.1m,小亮身高1.15m,对于"小花和小亮是否需要弯腰才能进入奇妙屋"，(参考数据：V3«1.73)以

下说法正确的是()

A.小亮和小花都不需要B.小亮需要，小花不需要

C.小痉和小花都需要D.小亮不需要，小花需要

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可得CM=g8C=0.3(m),AM1BC,

根据含30。角的直角三角形的性质求出OC=2CM=0.6(m),根据勾股定理求出。M=VOC2-CM2«

0.52(m),则可求4M=04+0M=1.12(m),然后用两人的身高与4M比较即可得出结论.

【详解】解；•・,该人口的最高点人与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点

：.CM=^BC=^x0.6=0.3(m),AM1BC,

在RtZkOMC中，Z.OMC=90°,zMOC=30°,

：・0C=2CM=2x0.3=0.6(m),

：.0M=VOC2-CM2=V0.62-0.32«0.52(m).

*：0A=0C=0.6m,

5/29

：,AM=。4+OM=0.6+0.52=1.12(m).

Vl.l<1.12<1.15,

・•・小花不需要弯腰进入奇妙屋，小亮需要弯腰进入奇妙屋.

故选：B.

8.（本题3分）PA,分别与。0相切于力，B两点.点。在。。上，不与点力，B重合.若乙P=80。，贝I」44C8

的度数为（）

A.50°B.100°C.130°D.50。或130°

【答案】D

【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接。4OB,

求解乙4。8=360°-2x90°-80°=100°,再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得

答案.

【详解】解：如图，连接。4OB,

•・・P4PB分别与0。相切于4B两点,

：.LPAO=90°=乙PBO,

*：LP=80°,

：.Z.AOB=360°-2X90°-80°=100°,

：.LC=-Z.AOB=50%ZC=180°-50°=130°,

2

故选：D

9.（本题3分）如图，。。的直径/8=4,C为初中点，点。在弧8C上，丽=《元，点P是AB上的一个

动点，则周长的最小值是］）

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质

内容是解题的关键.先作点。关于48的对称点C',连接CC',OD,C'D,C'P,交4?于点P,因为O。的直径力8=4,

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C为福中点，得CC'=4?=4,再结合助=：能，得匕CO。=60。，再证明△COO是等边三角形，运用勾股

定理列式计算得=Jed-CD?=2聒,则△PCO周长=CO+PO+CPN2+C'O,即可作答.

【详解】解：作点C关于48的对称点C',连接CC',OD,C'D,C'P,记C》交4B于点P',如图所示：

：.CP=CP

•・・00的直径48=4,C为而中点，

，点。在CC上，OC=OD=1x4=2,Z.COB=90°,

：.CC=4B=4,

♦；BD=-HC,

3

：.LCOD=（1-1）x90°=60°,

'：C0=OD,

则△C。。是等边三角形，

：,CD=OC=2,

・・・cc'是直径，

：.LCDC=90°

:.DC'=\ICC,2-CD2=V16-4=2V3,

则^PC。周长=CD+PD+CP=2+PD+C'P>2+P'D+CP=2+CD=2+275,

/.△PCO周长的最小值是2+2V3.

故选：B.

10.（本题3分）如图，。。的直径45为4,=点。为力C的中点，点P沿路线力TBTC运动，连接

CP,DP.用工表示点P的运动路程，y表示△6/）的面积下列图像适合表示y与x的对应关系的是（）

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A.

B.

【答案】A

【分析】分点P在力8上运动和点P在8c上运动两种情况，分别用含x的式子表示出△CP。的面积，即可求

解.

【详解】解：当点P在力B上运动时，作PE14C于点E,如图:

•ZB为。。的直径,

：.LACB=90°,

*：AC=BC,

•••△4C8是等腰直角三角形，

：.LA=LB=45°,

：.AC=BC=ABsinA=4sin45°=4Xy=2vL

•••点。为47的中点，

:・CD=/C=&,

•.NA=45。，PE1AC,

•••△4EP是等腰直角三角形，

PE=APsinA=xsin450=—x,

2

•“△CPD=g。。，PE=X>/2X

即当OV》V4时，y=gx,可以排除C,D选项;

当点P在8C上运动时，如图：

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c

>：CP=AB+BC-x=4+2V2-x,

二'△CPD=-PC=IxV2x（4+zV2-x）=-yx+zV2+z,

即当4Vx<4+2鱼时，

y=—+25/2+2,可以排除B选项；

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解

直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解.

二、填空题（木大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11.（本题3分）如图所示，P为0。外一点，PA.P8分别切00于4B,CD切。0于点E,分别交尸力、PB

于点C、D,若24=15,则△PCD的周长为.

【答案】30

【分析】此题主要考查了切线长定理的应用.能够将△PC0的底长转换为切线P4、PB的长是解答此题的关

键.

由于。4、CE,DE.DB都是。。的切线，可由切线长定理将△PC。的周长转换为24、PB的长.

【详解】解：•••24、PB切。。于A、B,

：.PA=PB=15,

同理，可得：EC=CA,DE=DB,

•••△P0C的周长=PC+CE+DEDP=PC+ACPD+DB=PA+PB=2PA=30.

即△PCO的周长是：30.

故答案为：30.

12.（本题3分）如图，是。0的弦，将劣弧而沿弦48折叠后，圆弧恰好经过圆心。，若48=2仃，则。0

的半径为.

9/29

【答案】2

【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出△HOC是等边三角形.

由翻折变换的性质推出△40C是等边三角形，得到24。。=60。，由垂径定理得到力，的长，由锐角的正弦即

可求出04的长.

【详解】解：设。的对应点是C，连接0C,04AC.

由题意知48垂直平分。C,

：.0A=AC,

*：A0=CO,

是等边三角形，

工乙40c=60。，

yOCLAB,

:.AH=^AB=1x2V5=V3»

•・•s\•nz."A人OH八="—人"=—V3,

AO2

：,0A=2,

・・・O。的半径是2.

故答案为：2.

13.(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，。P与x轴交于点2,0),8(1,0),与y轴的正半轴交于点C.若

^ACB=45°,则点C的坐标为.

10/29

【答案】（0,过兴）

【分析】本题主要考查圆的相关性质，勾股定理的应用，确定4APB==90。是解题的关键.

连接P4P8,PC,过P作PM_Ly轴，PN_L3轴，根据圆心角等于圆周角的2倍，得到44P8==90。，利用勾

股定理求出圆的半径，易得四边形PMON为矩形，N为AB中点,解直角三角形求出PN,CM即可求解.

【详解】如图，连接PA,PB,PC,过P作PMJLy轴，PN1%轴，

LAPB=2^ACB=90。（圆心角等于圆周角的2倍）,

设0P半径为r,则*+*=/炉=9,解得r=苧,

•••PMly轴，PN1T轴，

所以四边形PMON为矩形，且N为中点，

•••N（-表0）,PM=ON=；,

PN=OM=yJPA2-AN2=电-（|丫=

CM=y/PC2-PM2=I---=―,

-\/242

门「八”.x,.-3V173+V17

222

."（0呼.

故答案为：（o,手）.

14.（本题3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中奏到了著名的"割圆术"，即利用圆的内接正

多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，

而无所失矣〃.“割圆术〃孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率71的近似值为3.1416.如图1,O0

的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得71的估计值为苧，如图2,4B

是正十二边形的一条边，点。是正十二边形的中心，。力=1,若用圆内接正十二边形作近似估计，则兀的估

计值为

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【答案】3

【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键.过4作力M1。8

于M,求得乙408=360。+12=30。，根据直角三角形的性质得到AM=^。力=；,根据三角形的面积公式

得到于是得到正十二边形的面积为12x：=3,根据圆的面积公式即可得到结论•

【详解】解：如图2,AB是正十二边形的一条边，点。是正十二边形的中心，

图2

过A作AM1OB于M,

在正十二边形中，Z,AOB=3600+12=30°,

,*.AM=-OA=

22

・・％。8=g08•4M=gX1X鸿，

・•・正十二边形的面积为12x1=3,

4

.*.3=I2X7T,

/.1T=3,

•5的近似值为3,

故答案为：3.

15.（本题3分）如图，M是等边三角形的边8C的中点，P为平面内一点，连接力产，将线段4尸以点4为

中心逆时针旋转60。，得到线段4Q,连接MQ.若AB=6,前M、P之间的距离为1,则MQ的最小值

为，最大值为.

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p

【答案】3V3-1/-1+3V33V3+1/1+3V3

I分析】连接AM,将AM绕点4逆时针旋转60。得到4?,连接PM,ME,QC,由等边三角形的性质和勾股定理求出

AM=3百，证明△力ME是等边三角形，得到ME=AM=36,再证明△PAMQ力比得到QE=PM=1,得

出点Q在以点E为圆心、1为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解.

【详解】解：如图所示，连接力M将AM绕点A逆时针旋转60。得到AE,连接PM、ME、QE,

•••点M是等边三角形力BC边"的中点,

••・BM='C=Y8=3"M1BC,

•••AM=7AB?-8M2=3V3,

由旋转的性质可得=AE,AP=AQ^PAQ=Z.MAE=60。,

••.△AME是等边三角形，

：,ME=AM=3但

vZ.PAQ-Z-MAQ=Z.MAE-Z-MAQ,

:.Z.PAM=Z.QAE,

PAMMQAE(SAS),

QE=PM=1,

・••点Q在以点E为圆心、1为半径的圆上运动,

如图，

••・当点Q在线段ME上时，MQ的值最小，最小值为3百一1,当点Q在射线ME

上时，MQ有最大值，最大值为3、行+1,

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故答案为：3百一1,3V3+1.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，

点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本题7分）"连弧纹镜〃为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一

圈，构成了别具一格的装饰图案.图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜"，纹饰中有八个连续的弧连成一圈.图

2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图.

图1图2

⑴若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“连弧纹镜"：

⑵请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆〃.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】⑴七

（2）见解析

【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识.

（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案；

（2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧.

【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“匕连弧纹镜〃，

故答案为：七

（2）如图所示，即为所求，

17.（本题8分）如图，点4在。。上，点8在。。外，线段0B与0。交于点C,过点C作。。的切线交直线48

于点。，且4。=。。.

14/29

D

⑴判断直线48与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若48=30。，CD=4,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）直线48与。0相切，理由见解析；

（2）1673-8zr.

【分析】（1）连接。A,OD,由直线CD与。0相切，可得NOCD=90。，证明△。4£）三△OCD（SSS）,则N04D=

乙OCD=90。，然后通过切线的判定方法即可求证；

（2）由（1）得△040三△0C0,Z.OAD=Z.0CD=90°,则440。二N。。。，S^0AD=SA0CD,所以N/OD=

^COD=30°,通过直角三角形性质得。O=2CD=8,由勾股定理得0C=后而=而1二庇不=40,

最后通过S阴影=S^oADIS403S扇形A0C即可求解.

【详解】（1）解:直线4B与。。相切，理由，

如图，连接。40D,

•・,直线CO与。。相切，

：・0C工CD,

・LOCD=90。，

在^。力。和△0C。中，

(OA=0C

lOD=0D,

\AD=CD

・••△OA。三△OCD(SSS),

：.LOAD=Z.OCD=90°,

：.0A1AD,

•••04是。。半径，

・•・直线力8与。。相切：

(2)解：由(1)得△040三△0C。，LOAD=L0CD=90°,

15/29

,•^-AOD=Z.COD,=S^OCQ,

•・28=30。，

：.^AOC=60°t

：.LAOD=Z.COD=30°,

：.0D=2CD=8,

：.OC=VOD2-CD2=V82-42=4V3,

:•"△OAD=*dOCD=]xx4=R>/3»

•・S阴影=S&OAD+S&OCD-S扇形40c

2

l厂607rx（4百）

=8V34-8V3----------―二

36U

=16V3-87T.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性

质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

18.（本题8分）如图，。。是△ABC的内切圆，与力以BC、分别相切上点0、E、F,Z.DOE=120°,

乙EOF=150°.

⑴求△43C的三个内角的大小：

（2）设。。的直径为d,证明：d=AB+AC-BC.

【答案】⑴4力、乙B、乙。的度数分别为90。、60。、30°.

⑵证明见解析

【分析】（1）根据题意得△OD8=NOEB=4OEC=NOF>C=90°,Z-B=360°-^LODB-Z-OEB-ADOE=

60%ZC=360°-Z.OEC-/-OFC-Z.EOF=30°,所以乙4=180°——4C=90°.即可求出.

（2）由切线长定理得40=AF,BD=BE,CF=CE,则8。+CF=BE+CE=BC,由/IB+AC=AD+BD+

CF+AF=2AF+BC,得2/F=48+4C—8C,由乙。口4=40艮4=4力=90°,得到四边形4）。尸是矩形,

则0Z）=4F,结合。。的直径为d,0D为。。的半径，得到d=20。=24凡即可求出.

此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、

矩形的判定等知识.

【详解】（1）解：•・•。。是的内切圆，与48、BC、&4分别相切于点0、E、F,

.\AB1OD,BC1OE,CA1OF,

16/29

，乙ODB=WEB=乙OEC=乙OFC=90°,

VzDOE=120°,/.EOF=150°,

/.乙B=360°-乙ODB-乙OEB-乙DOE=60°,LC=360°-/.OEC-乙OFC-乙EOF=30°,

：.z.A=180°-zF-zC=90°,

，乙4、乙B、匕。的度数分别为90°、60。、30°.

（2）证明：由切线长定理得｛0=4凡BD=BE,CF=CE,

：.BD+CF=BE卜CE=BC,

'：AB+AC=AD+BD-^CF+AF=2AF+BC,

：,2AF=AB+AC-BC,

*：LODA=LOFA=Z.A=90°,

・••四边形AD。尸是矩形，

；・0D=AF,

•••。。的直径为律。。为。。的半径，

：.d=2OD=2AF,

：.d=AB-^rAC-BC.

19.（本题9分）如图，已知力8,CD为。。中的两弦，联结04,OB交弦CD于点E,F,且CE=。厂.

(1)求证:ABWCD；

(2)如果而二前，求证：AB2=BF-OB.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判

定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.

(1)连接OC，OD,由等边对等角得到4OC。=4。。。，利用SAS证明△OCE三△ODF,得到0E=OF,证

明得至lJzOEF=NOAB,则可证明AB||CO；

(2)连接。。，BD,由丽二丽，得至=/8。0,AB=BD,证明△4。8三△BOO(SAS),得至lj4。8。二

Z.OAB,则可证明乙084=(BFD,进而证明^OAB-△DBF,推出48-DF=OB-BF；再证明40FB=乙DBF,

得到8D=DF,则可证明力#=0B•BF.

17/29

【详解】（1）证明：如图所示，连接。C,0D,

VOC=0D,

:YOCD=Z.ODC,

在△OCE和△ODF中，

（0C=0D

{Z.OCE=/.ODF,

\CE=DF

•••△OCE三4。。尸（SAS）,

:・0E=OF,

VOA=OB,

.OE_OF

••凉一港’

又・・・4£：0尸=匕AOB,

:.AOEFFOAB,

：,WEF=Z-0AB,

(2)证明：如图所示，连接OD,BD,

/.Z.AOB=乙BOD,AB=BD,

又・「OA=OB=OD,

・•・△AOBMBOD（SAS）,

"OBD=乙。88；

由（1）可得48IICD,

18/29

：.LOFE=Z-OBA,

又•：LOFE=LBFD,

；.乙OBA=乙BFD,

：.^OAB-△DBF,

.OBAB

••'=,

DFBF

:・AB•DF=OB♦BF；

*：0A=OB,

C.LOAB=Z.OBA,

：.LDFB=乙DBF,

：.BD=DF,

：.DF=AB,

：.AB2=OB-BF.

20.（本题9分）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，项所在圆的圆心为。、48、N、。在同一直线

上.直线AP与丽所在。。相切于点P.此时测得乙凡40=45。；从点力处沿/。方向前进8.0米至］达8处.直

线6Q与丽所在。。相切于点Q,比时测得NQBO=60。.（参考数据：V2«1.41,73«1.73,71«3.14）

⑴求圆心角NPON的度数；

（2）求丽的弧长（结果精确到0.1米）.

【答案】（1）45°

（2）24.1m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是

解题的关键.

（1）由圆的切线的性质得到乙4Po=90。，再由直角三角形锐角互余即可求解；

（2）先解RtZkBQO,设BQ=x,BO=2x,0Q=OP=x^3x,耳解Rt△/IP。得到金=卫，求出，求出

8+2x2

半径，再由弧长公式即可求解.

【详解】（1）解：•・•直线AP与丽所在。。相切于点P，

・••乙4Po=90。,

*：LPA0=45°,

19/29

:.乙PON=90°-Z.PAO=45°；

(2)解：•・•直线8Q与丽所在。0相切于点Q,

."8Q0=90。，

■:乙QBO=60°,

：.cos/-QBO=cos600=器=g

设BQ=x,BO=2x,

・・・OQ=OP=y/DO2-BQ7=>/3x,

**AB=8.0m,

:.AO-AB+BO=(8.0+2x)m,

•・,在RtAAP。中，4=450,

/.sinA=sin45°=—=—,

AO2

：.4=它,

80+2x2

解得：x=(dV6+8)m,

：・OP=V3x(4V6+8)=(12&+8V3)m,

・•・丽的弧长为：9空誉竺曳*24.1m,

180

答：丽的弧长为24.1m.

21.(本题10分)阅读与思考

阅读下列材料，完成下面的任务.

关于“二角形的内切圆”的研究报告

【研究内容】如图1,在△48。中，三边4B=c,BC=a,AC=b,。/是它的内切圆，

切点分别为D，E,F,如何求AD、BD、CE的长呢？

【解法】/是△/WC的内切圆，切点为D,E,F,/.AD=AF,BD=BE,CE=CF.设

x+y=c

y+z=a,x+y+z=▲>如果设

{x+z=b

(x=p-a

p=▲,那么有［y=p-b.

(z=p-c

20/29

图2图3

⑴直接写出研究报告中“▲〃处空缺的内容：.

⑵如图2,这是一张三角形纸片ABC,。。为它的内切圆，小悦沿着与。。相切的DE剪下了一个三角形纸片

BDE,已知AC=4cm,=6cm,BC=5cm,求三角形纸片8DE的周长.

(3)如图3,△A8C的内切圆。与BC,AB,力。分别相切于点。，E,F,乙1=90。，BD=3,CD=2,求

【答案】⑴竺手，竺卢

(2)7cm

⑶=6

X+y=c

y+z=a,则可得出答案：

{x+z=b

(2)由题意得p=5,如图，设切点分别为M,N,R,则8M=8N=^-4=g由三角形周长可得出答

案；

(3)设/1E=/1F=T,依题意得BE=80=3,CD=CF=2,根据勾股定理可得(x+3>+。+2>=52,

解方程得出工=1,则可得出答案.

【详解】(1)解：:。/是△48C的内切圆，切点为D,E,F,

二AD=AF,BD=BE,CE=CF.

x+y=c

设力。=力r=x,BD=BE=y,CE=CF=z,则有y+z=a,

x+z=b

三式相加可得2x+2y+2z=a+匕+c,

a+b+c

•••x+y4-z=

2

X=p-a

如果设P=殁工那么有y=p-b.

z=p-c

故答案为：竺学a+b+c

2

(2)解：•.♦△ABC的周长为4+5+6=15,

由题意得口=当，

如图，设切点分别为M,N,R,则8M=8N=£-4=T，

21/29

A

图2

vDM=DR,EN=ER,

:.DE=DM+EN,

•••三角形纸片BDE的周长=BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN,

7

=BM+BN=2x-=7cm；

（3）解：设==依题意得BE=BO=3,CD=CF=2,

AB=x+3,AC=x+2,

•••BC=BD+CD=5,

根据勾股定理可得。+3）2+。+2）2=52,整理得d+5%-6=0,

解得x=1•或x--6（不合题意，合去），

AE=AF=1,

:.48=4,AC=3,

:，S、ABC=彳48,AC=-x4x3=6.

【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解

题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理.

22.（本题11分）某纸杯的尺寸（单位：cm）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片FBCO（可以看

作扇形纸片剪去扇形纸片08c后剩余的部分）.

（2）记axb表示两边长分别为a,b（a<b,单位：cm）的矩形纸片的大小.

①图（2）是可以剪出扇环纸片4BC0的一张矩形纸片，它的一边与俞相切，点B,C在对边上，点儿。分

别在另外两边上，直接写出Q,匕的值；

②川一张18.2x25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片F8CD吗？说明理由；

22/29

③若一张15xb的矩形纸片可以剪出扇环纸片“BCD,写出求b的范围的思路•(无需算出最终结果).

【答案】(1)9TT,18

(2)(l)a=(27-9V3)cm,b=27cm②可以，理由见解析③见解析

【分析】(1)设乙4。。=々BOC=胪，OB=0C=rcm,则。力=(。。=r+9)cm,利用圆的周长公式和弧

长公式解答即可；

(2)①延长48,CD,延长线交于点。，设矩形的边与力。相切于点£连接0E,交BC于点、F,利用圆的切

线的性质定埋，矩形的判定与性质，等边「角形的判定与性质，直角二角形的边角关系定埋解答即可；

②将扇环纸片"CD按如图所示放置，48在矩形的边4G上，延长48,DC,延长线交于点。，过点。作OE1AG

于点E,过点C作CF_L力G于点F,利用直角三角形的边角关系定理求得DE,4"的长度，再利用它们与18.2x

25.7的矩形纸片的长与宽作比较即可；

③设计出能够放置扇环纸片48CD的最小的15xb的矩形纸片即可.

【详解】(1)解：由题意得：4DH勺长为9ncm,能的长为6ircni,

设N400=乙ROC=n°,OB=OC=rcm,贝1］。4=OD=(r+9)cm,

/nnr工

.丽=6n

一3二以，

1180

.(n=60

"lr=18T

:.OB=18cm.

故答案为：9兀，18；

(2)解：①延长AB,CD,延长线交于点。，设矩形的边与检相切于点E,连接0凡交BC于点F,如图,

则0E1GN,

•••四边形GHMN为矩形，

四边形GHFE,MNEF为矩形，

a=GH=EF,

由题意得：OB=OC=18cm,OA=OD=OE=18+9=27cm,Z-AOD=Z.BOC=60°,AB=CD=9cm,

•••△08C为等边三角形，

•••BC=OB=18cm,OF=9V3cm,Z.OBC=乙OCB=60°,

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乙ABH=Z.OBC=60°,4DCM="CB=60°,

：

•BH=-2AB=4.5cm,2CM=-CD=4.5cm,

•••a=EF=OE-OF=(27-9V3)cm,

b=GN=HM=HB+BC+CM=4.5+18+4.5=27(cm).

②用一张18.2x25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片F8CD,理由：

将扇环纸片S8CD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB,DC,延长线交于点0,过点。作DE14G

于点E,过点C作CFJL4G于点尸，

由题意得：4。=60°,OB=OC=18cm,OA=OD=OE=18+9=27cm,AB=CD=9cm»

•••DE=OD•sin60°=竿=23.38(cm),OF=\OC=9cm,FC=OC-sin60°=9x/3«15.59icm),

AF=OA-OF=27-9=18(cm),

v18<18.2,23.38<25.7,

AF<AG=18.2cm,DE<GH=25.7cm,

•••用一张18.2x25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片A8CD.

③设15xb的矩形纸片为矩形M"KS,MS=NK=15cm,将扇环纸片48。。如图放置，使点A在MS边上,

点B在KS边上，点、D在NK边上,崩与边MN相切于点P,

"DK

则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值.

延长A5,DC,延长线交于点0,连接OP,OP交SK于点H,过点。作OE_LOP于点E,过点4作力"J.OP尸点F,

设。。交SK于点G,

由题意得：^AOD=60°,OB=0C=18cm,OP=。力=。。=18+9=27(cm),AB=CD=9cm,

•••松与边MN相切于点P,

24/29

OP1MN,

vDEIOP,AFIOP,四边形MNKS为矩形，

•••四边形PND£四边形四边形PNKH为矩形，

PN=DE,MP=AF,PH=NK=15cm,

:.b=MN=MP+PN=AF+DE,OH=OP-PH=12(cm).

.•.求得力凡的值即可求得b的最小值；

由于04=0D=27cm,解Rt△04F和Rt△OOE即可求得结论.

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的

判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添

加适当的辅助线构造