2026年高考数学二轮复习：直线与圆（题型）（天津）原卷版

专题16直线与国

!目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

佟］典例引领他］方法透视性|变式演练

I

j【选填题破译】

i题型01求直线方程的两种方法

i题型02两条直线的位置关系

I题型03对称问题

!题型04直线的综合问题

!题型05直线与圆相交

!题型06圆的公切线问题

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

【例1-1］（2026•天津静海•月考）已知圆C的圆心是直线x+y-3=o与直线y=2x的交点，又圆C与圆。：

/+/+6x+2y+6=0相外切.点力（-1,3）

⑴求过点4与CD垂直的直线方■程；

⑵求圆。的标准方程；

⑶若过点力的直线/被圆C截得的弦长为2石，求直线/的方程.

【例1-2］（2026•天津静海•月考）过网2,-1）的直线与圆（丫-1）。/=25交于43两点，当弦47?长度最短

时，直线44的方程是（）

A.x+j^-1=0B.2x+y-3=0

C.x-y-3=0D.2x-y-5=0

方沐透视

求直线方程的两种方法

根据已知条件，选择适当的直线方程形式,

直接法一直接写出直线方程，选择时，应注意各种形

式的方程的适用范围，必要时要分类记论

即设定含有参数的直线方程，由条件列出

待定

方程（组），再求出参数，最后将其代入直线

系数法

方程

，变式窗体

【变式7]（2026•天津南开•月考）已知力（0』），5（2,1）,若曲线gy+左W+i）=0和线段48

有公共点，则实数上的取值范围是.

【变式1・2】（2026•天津滨海新•月考）已知圆C:（x-l『+（j，-3『=24,直线/:〃?x+y-3/〃-1=0,/〃€R,

直线/恒过定点坐标：则直线/截圆C所得弦长»却的最小值为.

【变式1・3】（2026・天津津南•月考）若曲线y=二/（-YxWl）与直线质-丁+3=0有两个不同的交点，

则实数A的取值范围是.

题型02两条直线的位置关系

【例2-1]（2026•天津静海•月考）已知直线《x+2ay—l=0与国3Q-1）X-砂-1=0平行，贝心的值

为.

【例2・2】（2026•天津滨海新•月考）已知两条平行直线4：3工一4k2=0/2：6工+叩+加=0,则乙和I间的

距离为（）

方做遗规

由一般式确定两直线位置关系的方法

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

/（:Axx+Bxy+C）=0（4心不全为0）,l2:A2X+B2y+C2=0（4,8；；不全为0）,则：

当4。-44工0时,直线/"2相交;

当4区=44时，/”4直线平行或重合，代回检验；

当44-瓦层=0时，44直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

安式值称

【变式2-1］（2026•天津滨海新•月考）已知直线人的斜率为-；，直线且直线4在轴上的截距为-1，

则4的方程为（）

A.3x-y+1=0B.3x-y-\=0C.3x+y-\=0D.3x+y+\=0

【变式2・2】（2026•天津南开•开学考试）已知直线4：at+（l-a）y=3与，2：2x+ay=2互相垂直，则实数。的

值为.

【变式2-3］（2026•天津和平联考）已知直线八3x-4y+2-0与公公T沙+16=0（a<zR）相互平行，则

乙与4之间的距离为.

题型03对称问题

【例3-1］（2026•天津•联考）已知〃?eR,直线/：（2〃7-1）工+（出一1）），-3加+1=0恒过定点。，圆C的圆心

与点P关于直线》=》对称，直线/'：2x+y-5=0与圆C相交于48两点，.且|AB|=4,则圆C的方程为.

【例3・2】（2026•天津南开•联考）若力，A分别为圆C：/+y2-4x-2y+4=0与圆G：（x+6『+（y-5『=4

上的动点，。为直线、+产5=0上的动点，则|尸力|+归却的最小值为（）.

A.12B.9C.6D.4石-3

方依速现

对称问题的求解方法

（1）点关于线：点A（a,b）关于直线Ax+By+C=0（B,0）的对称点A（m,n）,

m-a

（2）线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

变式演依

【变式3・1】（2026・天津静海•月考）已知直线，：2xr-l=0和点M（2,-2）,N（4,4）.

⑴在直线/上求一点。，使|PM+|PV|的值最小；

⑵直线加经过点C（3,0）,且点M和点N到直线〃?的距离相等，求直线机的方程.

⑶已知出力8c的顶点4（2,1）,直线/为力4边中线C。所在的直线方程，N/8C的角平分线4〃所在直线方

程为x-y=0，求直线/?「的方程；

【变式3・2】（2026•天津滨海新•月考）在平面直角坐标系xOy中，己知点力（0,-2）,点8（1,0）,P为直线

2x-4y+3=0上一动点，则|P*+|尸8|的最小值是,对应P点的坐标是.

【变式3・3】（2025•天津滨海新•联考）已知直线，：x-2y+8=0利两点4（2,0）,川-2,-4）,若直线/上存在点

P使得|"|+归邳最小，则点尸的坐标为（）

A.（-2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-2,2）

题型04直线的综合问题

翼例不■

【例4・1】（2026•天津蓟州•月考）已知双曲线C:三-〃_/=1（40）的右焦点到其中一条渐近线的距离等

于;，抛物线E：y2=2px（p〉0）的焦点与双曲线。的右焦点重合，则抛物线£上的动点M到直线

点4x—3y+6=0和4:x=-2的距离之和的最小值为.

【例4・2】（2026•天津武清•月考）若直线/：如+二2々—1=00£1＜）与圆（"-1）2+（）,—2）2=16交于48两点,

则\AB\的最小值为.

方依透视

处理直线方程综合应用的两大策略

（1）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解

最值.

（2）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.

变式演族

【变式4・1】（2026•天津滨海新•月考）已知直线/：x-y+胴=0加圆C:X2+V=4,。为坐标原点.

⑴直线/与圆C相切时，求机的值；

⑵当加=4时，。为直线/上的动点，过尸作圆C的切线，切点为T,求俨7|的最小值;

⑶直线/与圆C相交于48两点，笈408的面积为石，求直线/的方程.

【变式4-2］（2026•天津津南•月考）已知两点4（2,7）,5（-5,-3）,直线/：ax+y=0与延长线段48

得到的以4为端点的射线（不含6点）相交，则实数。的取值范围是（）

C.u［2

【变式4-3］（2026•天津•联考）在出力8c中，顶点力（2,3）,点B在直线/»7+5=0上，点C在x轴上，

则由48C周长的最小值为.

题型05直线与圆相交

【例5・1】（2026•天津•月考）过原点的一条直线与圆C:（X+2）2+/=3相切，交焦点为产的抛物线

/=2px（p>0）于异于原点的尸点，若|PF|=7,则P的值为.

【例5-2］（2026•天津和平•月考）已知直线x+y+2=0与园/+/+2%-2产”0有公共点，则实数。的

取值范围为.

方汝逡现

直线与圆的相交问题

（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长（、弦心距d和半径，•之间形成的数量关

2

系（g）2+d'=/.

（2）弦长问题

①利用垂径定理：半径厂，圆心到直线的距离<7,弦长/具有的美系〃2=，+g）2,这也足求弦长最常用的

方法.

②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.

③利用弦长公式：设直线/：y=H+8,与圆的两交点（不，必），［£,为），将直线方程代入圆的方程，消元

后利用根与系数关系得弦长：/=CTA区1=血+内）［3+4）2-4中2］=&T+k>再.

\A\

变式演秣

【变式5・1】（2026•天津南开•月考）已知圆，：/+/—2工=0和圆a：/+/-6x-2），+6=0,则下列结论

中正确的是（）

A.圆O?与x轴相切

B.两圆公共弦所在直线的方程为2工-丁-3=0

C.有且仅有一个点P,使得过点产能作两条与两圆都相切的直线

D.两圆的公切线段长为"

【变式5-2X2026•天津武清•月考）若对圆（x-3）2+（），-2）2=1上任意一点尸（xj）,|3.”4J，+Q|+|9-3x+4y|

的取值与x、），无关，则实数。的取值范围是.

【变式5・3】（2026•天津津南•月考）若圆。：X?+）,2=4与圆M：（x—〃?）’+/=21（〃?＞（））相交于彳，B两

点，且两圆在点4处的切线互相垂直，点P是直线/：x+2p-20=0上的动点，过点，作圆M的切线，切

点为C,D,那么|8|・|月必|的最小值是（）

A.2B.26C.6V14D.12后

题型06圆的公切线问题

【例6-1】（2026•天津武清•月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：/+/+2戈-6尸6=0与圆

。2：/+）,2一©+2），+4=0,则两圆的公切线的条数是.

【例6-2］（2例6•天津•联考）已知圆考：目-9）2+&_］）2=9和圆8：（彳-2）2+3-m）2=4有3条公共切线,

则实数〃?的值是.

方做遗规

圆的切线问题

（1）圆的切线方程的求法

①点，肾）在圆上，

法一：利用切线的斜率勺与圆心和该点连线的斜率〃加的乘积等于-1,即心「勺=-1.

法二：圆心。到直线/的距离等于半径，

②点打）在圆外，则设切线方程：y-y0=k（x-x0）t变成一般式：kx-y+yo-kx0=0,因为与圆相

切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k.

注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条

切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.

（2）常见圆的切线方程

22

过圆/+=r上一点P（x0，乳）的切线方程是与x+yoy=r；

过圆（x-a）'+（y-A）'=「'上一点，y0）的切线方程是（/-a）（x-4）+（No力）=「'♦

过圆/+/=户外一点％%,打）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为+%＞，=/

过曲线上P（x。，4），做曲线的切线，只需把X?替换为“x,V替换为y°y,X替换为手，y替换为及产

即可，因此可得到上面的结论.

【变式6・1】（2026•天津西青・联考）圆（x-a『+（y-l）2=4与x，j，2=l恰有三条公切线，则实数。的值为

（）

A.±2百B.2百C.2＞/2D.±2也

【变式6・2】已知圆G《-I）?+（＞，-〃『=18与圆G：（x-+（＞-1）2=2有且仅有一条公共切线，则实数〃

的值是.

【变式6・3］如图,力（2,0）,典1,1）,。（-2,0）,也是以。。为直径的圆上一段圆弧，迹是以BC为直

径的圆上一段圆弧，就是以。4为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线",则下列说法错误的是（）

A.曲线犷与x轴围成的面积等于2兀

B.曲线田上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）

C.&所在圆的方程为./+（｝，-1）2=1

D.为与函的公切线方程为》+＞，=友+1

1.（2025・天津武清•模拟预测）双曲线=l（a＞0力＞0）的右焦点为尸（4,0）,设力、8为双曲线上关

/h2

于原点对称的两点，4少的中点为M，8尸的中点为N,若原点。在以线段为直径的圆上，直线的斜

率为£1,则双曲线的离心率为（）

7

）h4

A.272B.2C.2D.-

33

2.（2025•天津河西•模拟预测）已知抛物线V=16x的焦点为尸，^lC:x2+/-4y+3=0,过点/作直线/,

当圆心C到直线/的距离最大时，直线/的方程为.

3.（2025•天津•二模）已知圆。：/+『=4,过点*1,6）作圆。的切线/,直线/与双曲线

5-《=l（a＞0,/A0）的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为

2百，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.

4.（2025•天津河西•二模）已知抛物线/=8x的焦点为尸，圆C：x2+y2-6x-2y-\5=0,过点/作直线

/与圆C交于48两点，且广为48的中点，则直线/的方程为.

5.（2025•天津♦二模）以抛物线炉=叙的焦点为圆心，且过点（01）的圆与直线N=x相交于8两点,

则|，伤卜.

6.（2025・天津和平•二模）已知点尸，0在直线/：X一歹+2=0上运动，点，在圆C：（x-I）2+（y-I）2=8

上，且有|尸g二收，则△HP。的面积的最大值为.

7.（2024•天津南开•二模）过圆C：/+/=加上的点时0,石）作圆c切线/,贝h的倾斜角为.

8.（2024•天津•二模）设直线/：）=k（x-6）（左。0）和圆。：/+炉一6》-4y+5=0相交于两点.若

CMCW=0.则实数&=.

9.（2024•天津•二模）已知直线J，=2x+1与圆x2+y2+2ar+2y+l=0（"0）交于4B两点,直线

蛆+y+2=0垂直平分弦彳8,则。的值为.

10.