2026年中考数学一轮复习重难点（山东专用）分式（复习讲义2考点4题型2重难）解析版

第一章数与式

分式

目录

01•考情剖析•命题前瞻...........................................2

02•知识导航•网络构建...........................................3

03•考点解析•知识通关...........................................3

04•命题洞悉•题型预测..........................................11

题型01分式无意义的条件

命题点一分式的基本性质及应用

题型02分式的值为0

题型01分式的化简求值直接代入

命题点二分式的运算

题型02分式的化简求值分析后代入

05•重难突破•思维进阶难........................................19

突破一分式的规律探索

突破二倒数求值法

06•优题精选•练能提分..........................................27

基础巩固T能力提升-全国新趋势

第1页共38页

-01-

考情剖析•命题前瞻

考点2025年2024年2023年课标要求

山东烟台TU理解分式和最简分式的概念

分式的相山东济宁T4

山东淄博T7山东滨州T15

关概念山东烟台T17

山东卷T11

山东德州T19能对简单的分式进行加、减、乘、除运算

山东青岛T18

山东滨州山东日照门7

山东潍坊T15

T15、T19山东青岛门7

山东泰安T19

山东德州T16山东淄博T18

山东日照T17

分式的运山东潍坊T4山东东营T19

山东卷T16

算山东青岛T23山东潍坊T15

山东东营T19

山东卷T16山东泰安T19

山东聊城T18

山东烟台T17山东威海T14

山东临沂T17

山东烟台T17

山东滨州T18

山东卷T17

在中考，主要考杳分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本

命题预测

性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题。

-02-

知识导航•网络构建

第2页共38页

胤含.如果A.B蜗帚个型式.并且B中含石字母.期么式子;am比＞

运切境东：先■果方.■后句拈号的.先■括“里的

分式的建合适urn

n员活运用运■馋.运・始果必质量箭分式或整式

-03-

考点解析•知识通关、

考点一分式的相关概念

知识•核心梳理人

1、分式的概念：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子的U做分式，A为分子，B为分母.

B

2、对于分式上来说：①当BW0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.

②当A=0且BH0这两个条件同时满足时，分式值为0.

③当A二B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为T.

④若60,则A、B同号；若/0,贝［A、B异号.

3、约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.

4、最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

5、通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.

第3页共38页

6、通分步骤：①定最简公分母：②化异分母为最简公分母.

7、约分与通分的联系与区别：

联系都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.

区别1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.

2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.

8、最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幕的积作为公分母，这样

的分母叫做最简公分母.

9、确定最简公分母的方法：

类型方法步骤

1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

分母为单项式

2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.

1）对每个分母因式分解•；

分母为多项式2）找出每个出现的因式的最高次幕，它们的积为最简公分母；

3）若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

真题•实战精练人

1.（2025•山东淄博•中考真题）若分式一1、・一r-3有意义，则x的取值范围是（）

x+1x-2

A.XH-1且"2B.xw-l且"3

C.工工2且xN3D.x工-1且x/2且xw3

【答案】D

【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可.

【详解】解：・・•分式1一=r-3有意义，

x+1x-2

X+1H0

/.,工一3工0,

x-2工0

解得x工一1且xw2且xw3,

故选：D.

2.（2025•山东烟台•模拟预测）使代数式正巨有意义的x的取值范围是.

3-x

【答案】xNl且XH3

【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件和分式有意义

的条件列出不等式，解不等式即可.

第4页共38页

【详解】解：・・•代数式4亘有意义,

3-x

.•.X-1N0且3-xwO,

•”的取值范围是且彳工3.

故答案为：xNl且XH3.

3.（2025・山东济南•模拟预测）当》=______时，分式上二名的值为0.

x—3

【答案】0或9/9或0

【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注

意：“分母不为零”这个条件不能少.

根据分式的值为零的条件可得产-"=0,且工-3。0,再解即可.

【详解】解：由题意得：/一9》=0,且x-3±0,

解得：x=0或9,

故答案为0或9.

考点二分式的乘除

知识•核心梳理心

分式的乘除法

1、分式的乘法:用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

2、分式的除法:把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘。

真题•实战精练4

1.（2025•山东威海•中考真题）下列运算正确的是（）

A.by+b2=b5B.（-2Z>2）'=-6a6C.b^^-=bD.（-6），（一码=6

【答案】D

【分析1本题主要考查了积的乘方计算，晶的乘方计算，同底数呆除法计算，分式的乘除法计算，根据相

关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案.

【详解】解：A、〃与从不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；

B、（-2〃）3=_8。6,原式计算错误，不符合题意；

C、b+巴也=b.）也=匚原式计算错误，不符合题意；

haaaa~

第5页共38页

D、(-»2(-从)=(-/)+(-〃)=b,原式计算正确，符合题意;

故选：D.

2.(2025•山东威海•一模)下列运算结果是犬的是()

A.丁7,•二B.一”+(—/)C.(x2)6

D.x4+x4

【答案】B

【分析】本题考查了哥的运算等知识，根据同底数幕相除法则，分式的乘法法则，鼎的乘方法则，合并同

类项法则等逐项判断即可.

141,

【详解】解：A.X’一-7=XT=1故不符题意;

B.-x1°^-x2)=x\故符合题意;

C.(X2)6=X,2,故不符题意；

D.x4+/=2x4，故不符题意；

故选:B.

3.(2025・山东济南•一模)上心•；「一八的结果为

x-4x-4x+4

【答案】-4

x-2

【分析】本题考查了分式的乘法运算，解题的关健是掌握以上运算法则.

把分子分母因式分解，然后约分艮1可.

［详解］解：—•；V2-4X

x-4x~-4x+4

_x-2x(x-4)

=2

^4(X-2)

x

=7^2,

故答案为：

考点三分式的加减

知识•核心梳理人

分式的加减法

1、同分母分式相加减:分母不变，分子相加减。

第6页共38页

2、异分母分式相加减:先通分，化为同分母的分式，再加减。

真题•实战精练人

Y

1.(2025•山东潍坊•中考真题)计算1一彳+启的结果是()

x-11-x

X+1

A.1B.-1C.0D.------

x-1

【答案】B

【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可.

【详解】解:

x-11-xx-1x-1X-1

故选B.

2.(2025・山东聊城•三模)计算一^一"一的结果为_________.

xy+y~x+xy

【答案】一~

xy

【分析】本题考查了分式的加减运算.分式运算的结果要化为最简分式或者整式.先化简，再通分，然后

根据同分母分式的减法法则计算即可.

【详解】解：-T-r2—

xy+yx+xy

xy

=------------------

J(x+y)x(x+y)

二、/

入y(x+y)xy(x+y)

22

二k一尸

v(x+y)

二(x+y)(x-y)

xy(x+y)

二口

vy

故答案为：—.

xy

3.(2025・山东济南•二模)化简：3：-结果为_______.

2a-b2a-b

【答案】1

【分析】本题考杳了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

根据同分用分式减法法则计算即可.

第7页共38页

2ab

【详解】解:

2a-h2a-b

2a-b

2a—b

=1.

故答案为：1.

考点四分式的混合运算

知识•核心梳理人

1、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

2、分式的混合运算运算顺序:先箕乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的.灵活运用运算

律，运算结果必须是最简分式或整式。

真题•实战精练人

1.（2025•山东滨州•中考真题）已知力=x+y,B=x2-y2,C=匕-生二匕.

XIXJ

A1

⑴若3=9求C的值；

B5

⑵当），=1,且3c为整数时，求x的整数值.

【答案】（1）C=[

⑵工=±2或4

【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解

题的关键：

（1）化简《，得到<二」一，根据混合运算法则求出一，即可得出结果：

BDx-yx-y

（2）根据。=-^,结合歹=1,得到。二工，进而得到3c=义，根据3c为整数得到x-l=±3,±l,IL

x-yx-1x-1

x工0,x工1,进行求解即可.

【详解】（1）解：-A=x+y,B=x2-y2,

.A_x+y_x+y_1

Bx2-y2（x+y）（x-y）x-y'

第8页共38页

^_x-yx2-2xy-\-y2_x-yx_x-yx_I

C=-----4--------------='-;----------7="-------T=1-----

xxxx'-2xy+yx仅二y)~x-y

：.C=~,

B

・金』

.3~~5,

・r1

5

(2)由(1),得：C=」一，

x-y

・F3

x-y

3

当了=1时-，3C=—.

x-l

・・・3C与x均为整数,

/.xI=±1或x1=±3.

/.x=0,2,4,-2,

又*'XHO且x-l工0,

x*0x工1.

，i=±2或4.

2.（2025•山东德州•中考真题）（1）计算：Jil+|石:

（2）化简："M〃J+2〃，+i_g.

m~-1ni-2in-1

【答案】（1）V3+-（2）

4m-1

【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可；

（2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可.

本题考查了.二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关

犍.

/1\2

【详解】（1）解:V12+|>/3-2|--

17

=2>/J+2-6----=y/i+—;

44

/7-4nf+2m+1m+2

（2）解：一；---------------------

m"-1m-2m-\

第9页共38页

2(/n-2)(m+1)-fn+2

(w—1)(w+1)m—2m—\

2m+26+2m

*

7Z-1m-\m-\

3.（2025•山东烟台•中考真题）先化简，再求值：（2+〃?+工］子丁三，其中〃?=（-1）2°，

Im-213m-6'，

【答案】3m,-3

【分析】本题考盒的是分式的化值求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把

加=（_1125=T代入计算即可.

2+〃?+'一阳

【详解】解:

〃?一2,3〃?一6

_nr-4+43(w-2)

m-2m

_m~3(w-2)

m—2m

=3"?，

..(.\2025

."7=(-1)=-I,

・•・原式=3X(_1)=-3.

-04-

命题洞悉•题型颈涌

命题点一分式的基本性质及应用

,题型01分式无意义的条件

,❷岁依/❽鸟隹

A

对于分式£来说：当BW0时，分式有意义；当B=0时.，分式无意义

【典例】（2025•山东枣庄•模拟预测）写出使代数式五三5有意义的x的一个值______.

x-6

【答案】5（答案不唯一）

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知

识点是解题的关键.

根据二次根式根号里的式子非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可.

第10页共38页

x-5>0

【详解】解：由题意知，

16工0

解得：x>511.x工6.

故答案为：5（答案不唯一）.

【变式】1.（2025•山东荷泽•二模）若式子正在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

X

【答案】x>0

【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，

根据题意可知x20,且XH0,可得答案.

【详解】解：根据题意，得x20,且工工0,

x>0.

故答案为：x>0.

2.（2025•山东聊城•三模）如果代数式有意义，则x的取值范围是.

【答案】x>-2

【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握相关知识

点是解题的关键.根据分式和.次根式有意义的条件，得出7771*0目/+220,解不等式即可求出x的

取值范围.

3

【详解】解：•••代数式及花有意义，

且x+220,

解得：x>-2.

故答案为：x>-2.

A题型02分式的值为0

佻生/©易锯

对于分式金来说：当AR且BWO这两个条件同时满足时，分式值为0.

【典例】（2。25・山东济南•模拟预测）当-----------时,分式方的值为。.

第11页共38页

【答案】x=3且"-]

【分析】本题考查了分式为零的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到2），+1注0,再根据

分式为零得到x-3=0,即可求出结果.

【详解】解：由题意得：工-3=0且2产1工0,

解得：x=3且尸-g,

故答案为：x=3且yx-g.

【变式】1.（2025•山东泰安•一模）根据下列表格中的信息，N代表的分式可能是（）

X•••-2-1012•••

*

y・・・0无意义♦♦・・・

x+2x+1

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0,

根据分式的分子等于。时，分式的值为0,可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出

分母即可.

【详解】解：当工=-2时，y=0,可知分式的分子中含有因式X+2；

当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式x+1,

所以y代表的分式可能是注.

x+1

故选：B.

2.（2025•山东荷泽•三模）代数式，.-1的值为0,则“

X2+2X-3

【答案】-1

【分析】本题考查了分式有意义、分式的值为零的条件，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本

题属于基础题型.

根据分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零，即可求出答案.

X2-1=0

【详解】解：由题意可知：，,…，

[x~+2x-3^0

解得：x=-l,

故答案为：-1.

第12页共38页

命题点二分式的运算

A题型01分式的化简求值直接代入

◎方汝/g易常

1.确认条件

检查分母是否为零。若分母为零，则表达式无意义，需重新审题或调整方法。

2.代入数值

将已知数值替换到分子和分母中，注意运算顺序（先乘除后加减，括号优先）。

3.计算结果

按常规算术规则计算，必要时进行分数化简（如约分、通分等）。

4.脸证合理性

检杳结果是否符合实际意义（如单位、正负号等）。

（4t—4、x—2

【典例】（2025•山东日照•模拟预测）（1）先化简，再求值：X-=----,其中x=3；

kx）x

2（X-1）>X-F1

（2）解不等式组：,2x+57.

1------<x——

33

【答案】（1）x—2,1；（2）x>3

【分析】此题考查了分式的化简求值、解不等式组等知识，熟练掌握运算法则和解不等式组的步骤是关键.

（1）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可；

（2）求出每个不等式的解集，求出解集的公共部分即可得到不等式组的解集.

【详解】解：（1）原式=二以巴・一二

xx-2

J—）?•上

xX-2

=x-2

当工=3时,

原式=3-2

=1：

f2（x-l）>x+l@

（2）I2x+57分，

I------<x——②

I33

第13页共38页

解不等式①得：x>3；

解不等式②得：x>l,

・••不等式组的解集为x>3.

【典例】1.(2025•山东潍坊•模拟预测)(1)计算：+(V2)2-4X-1.

12J2

(4、a2+6a+9

(2)先化简，再求值：+"要”,其中。=2.

\a-\)a~-a

【'答案】(1)2；(2)——，

。+35

【分析1本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)原式分别计算负整数指数耗、二次根式的乘方、化简绝对值,再计算乘法，最后进行加减运算即可;

(2)原式先计算括号内的，把除法转换为乘法，得最简结果，巴。的值代入计算即可.

【详解】解：⑴出可-4乂同

=2+2-4xl

2

=4-2

=2；

\a-\)a"-a

_(a-\4]a(a-\)

-L-11a-1J(a+3)2

_a+3a(a-\)

”1(a+3)2

a

-9

a+3

22

当a=2时，原式=丁、=三.

4"T"JJ

2.(2025•山东东营•三模)计算

4x-2<3(x+l)

⑴解不等式组：।x+1x；

1---------<—

24

⑵先化简，再求值：fi+-U-,其中x=£.

kX)-X

2

【答案】(1)§<XK5

第14页共38页

⑵1百

(2)——，一一—

x3

【分析】本题考查解一元一次不等式组和分数化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握解一元一次不等

式组的方法和分式基本性质，把分式化简.

(1)分别解出每个不等式，再求公共解集即可；

(2)先化简，再将》=后代入计算即可.

4x-2<3(x+l)®

【详解】(1)解：

1.四〈二②

24

解不等式①得：x<5.

2

解不等式②得：

・•.不等式组的解集为2:<x«5；

(.1)X2+X

=x+\-x

Xx(x+1)

当x=6时,

原式=一5

_N/|

T

A题型02分式的化简求值分析后代入

1.忽略分母为零的情况：代入前务必检查分母是否为零。

2.符号错误：去括号、约分、负数的平方等情况下，注意符号的变化。

3.运算顺序错误：严格遵循“先乘除后加减”，使用括号明确优先级。

4.未化简最终结果：结果需化为最简分数或整数.

5.混淆变量替换：观察是否可因式分解后再代入。

第15页共38页

【典例】（2025•山东泰安•一模）计算：,

⑴|3-指卜6sin450+（3#-5）°-（-1）?。”-/斥L；

4^+4（1a'

⑵—^-7-2.,，再选一个合适的。的值代入求值，其中-IM。。且。为整数.

a-\\2a-2a-2a+1J

【答案】i半

（2）8-8。，当。=0时，原式值为8

【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关

键.

（1）首先计算乘方、零指数幕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，

最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；

（2）首先计算括号内减法，再进行括号外除法运算，选取的。值要使原分式有意义，所以〃。±1,选。=0

代人求值即可.

【详解】（1）解：|3-6卜麻由45。+（3"-忑_）°一（一1）2°25_1<

=3-V6+V3x—+l-（-1）-1x376-9，

2v73

=3-V6+—+l+l->^-9，

2

A3x/6

2

（2）解：稣1a

a-\<2a—2a*—2n+1,

4（。+1）Ia

_4（。+1）二a-\_2a

一”[.2（a-l）22（a-l）2

_4（。+1）-a-\

a-\^2（a-\）2t

_4（«+l）2（«-l）2

a-1-（t/+1）

=-8（a-l）,

=8-8。；

•/lEaWl且a为整数,

第16页共38页

a=±1,0,

乂要使原分式有意义，则。工±1,

・,・选取4=0,原式=8-0=8.

【变式】1.（2025•山东•模拟预测）（1）计算：炳_（2025-乃）'-卜&|+（g、；

（2）先化简，再求值：，其中x的值是不等式组）的整数解.

<x'+x）x"+2x4-1[2x-\<4

【答案】（1）2应+3；（2）——,—2

\-x

【分析】本题考查实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握平方根，零指数塞，绝对值，负整数指数累和

分式的化简运算是解题的关键，

（1）根据平方根，零指累，绝对值，负指数幕的运算，计算即可求得答案；

（2）根据提公因式，完全平方公式，平方差公式将分式化简，再根据x的值是不等式组/的整数

2x-l<4

解，得到x的值，代入即可求得答案.

【详解】解：⑴原式=3及-l-g+4

=272+3；

⑵岛沙岳

_X/+2X+1

x（x+l）x2-1

二-X（%+1）2

-77T（x+i）（x-i）

=--X-•

1-x,

由分式的意义，可知工工-1、0、1,

[2工-1<4②

解不等式①，得xN-l,

解不等式②，得x<g,

・•・不等式组的解集为-1

2

・••不等式组的整数解是-1,0,1,2,其中7,0,1不符合分式的意义，

・・・x只能取2.

第17页共38页

2

将尸2代入，得原式=二=2

2.(2025•山东泰安•三模)(1)计算：2cos245°++(2025-V2)°+1>/2-21.

(2)先化简，再求值：口_乌.2—,其中x满足2X-2=0.

xx+\X2+2X+\

【答案】(1)2-行；(2)——»—

x~2

【分析】此题考查实数的混合运算，分式的化简求值，特殊三角函数值的计算，

(1)先代入特殊角度的三角函数值，计算零次新，负指数暴，绝对值，再计算加减法；

(2)先计算小括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法化简，最后代入式子的值即可

【详解】解：(1)2cos2450+(-+(2025-V2)°+1V2-21

2闾

(-2)+1+(2-4

=l-2+l+2-V2

=2-x/2：

(x-l)(x+l)-&-2)/+2x+l

(2)原式=

x(x+l)2X2-X

父-1-/+2*(x+lf

x(x+1)x(2x-1)

=21x+1

x(2x-l)

x+1

丁’

V?-2x-2=0»

:.x2=2x+2=2(x+l),

x+1_1

・••原式=2(1+力=]•

-05-

重难突破•思维进阶

突破一实数与数轴相结合的应用

第18页共38页

【典例】对于正数X，规定/（x）=十，例如/（2）=告=;，则

1I人1I乙D

/康”（表卜…+也卜⑴+”2）+，“+/（2。25）的值是------------

【答案】2024.5/2024-

2

【分析】本题主要考杳了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现/（外+，（：）=1的规律成为解题的

关键.

先发现/（%）+/-=1,然后代入化简求解即可.

【详解】解：・・・/（x）=『J，

\+x

1

•・f=*]=[，/⑴-11-。5，

⑴1+1x+l14-1

X

・•/（%）+/（_+[=1T，

\xJl+x1+x1+x

“七）+/（2；24卜“+电卜⑴+/⑵+”,+心25）

M/S”（叫+[儿0；4”（2叫+••+&]?+，M）

=1+1+1+…+1+0.5

=2024.5,

故答案为：2024.5.

13x—

【变式】1.定义运算：/（%）=二、（〃之2,且“为正整数）.若玉-"小）=：：3=二4

%+32

2

3x3

/⑺-；、8；…'化简:，（幻+25丁-（）

7

1n-51n+5

A.----B.-----C.----D.—r

n-5n~-25n+5n~-25

【答案】A

推出/（乙）=岛，再根据异分

【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，

第19页共38页

母的分式的加法法则，进行计算RJ可.

【详解】解：当玉时,

二3x—二二

/\3玉233

/3)=K不〒五？

1---rJ

2

?3x2

八力合TT^=丁存

7

3x2

小).工_1^一3一工

八4厂工+3・3一厂4+5

8

3

M=

n+5

zx2/?-2032n-20

J，25-n2n+525-n2

3(5-n)+2/7-20

(n+5)(5-n)

_-w-5

一("+5)(5-〃)

1

一”-5'

故选A.

2.规定y=f-=f(x),例如：/(I)表示当x=l时y的值，即f(l)=/L=L；表示当x=：时y的

x+\'r+l22

值,即11_

…那么

145

/(2025)+/(2024)+/(2023)+-.+/。升/。>/(>

3+呜＞“忌+/(木+4息=

【答案】2024g

【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的加减运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律.通

过计算/⑵，吗｝/⑶，/(；)的值得到/(2)+//=1,/(3)+叫卜1,从而得到规律

第20页共38页

八小也卜,然后利用此规律得到最后的值.

【详解】解：由题知,

1

⑴—1

M厂“

“(、)+©=

~?—।—?—

尸+1x“+l

J原式=/(2025)+/(康卜…+/(2>/[J+/«)

=-+1x2024

2

=2024-,

2

故答案沏20241.

突破二倒数求值法

【典例】阅读下列解题过程:

已知仁x=：1,求4丫~的值.

尸+13x4+l

解：由仁=!，知xwO,所以立1=3,即X+L=3.

X2+13XX

X+l,1(1Y.~cr

,丁=—=7

•••4一的值为7的倒数，即1.

x4+l7

以上解法中先将已知等式的两边“双倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数

法“，请你利用“倒数法”解决下面问题：

⑴已知F==!，求一一的值.

(2)已知一求4X：的值•

x~-x+l7X-x+1

第21页共38页

yz_4zx_4xyz

⑶已知言12,求的值.

y+z3z+x3xy+yz+zx

【答案】（1）；

⑶1

【分析】本题考杳了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思

路，仿照例题的解题思路解题.

（1）仿照例题先求倒数可得：七=2,根据。=x2+!=jx+11_2即可解答；

X，X\X）

（2）把已知等式变形求出X+」的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；

X

（3）已知三等式变形后相加求出,+'+■!■的值，原式变形后代入计算即可得出答案

xyz

Y|

【详解】(1)解：•••二1=;,可知工工0,

£+12

・1+121(1YrNrr

••—；—=xH——=xH——2=4-2=2,

厂厂I"

X-=1

x4+l~2

x_1

由

(2)x2-x+\~7

X—X+11._|I。

------------=XH------1=7>H即lx+-=8,

XXx

则.

X2+4--I1V.64-361：

一一3

（3）解：依题意，•・•上=2,上=:zx_4

x+yy+z3z+x3

x+y111y+z113z+x113

------=—I—=-,-------=---1—------=>-4-

xyxy2yzzy4zxxz4

-，+"*且2,即LLL

xyzyxz244xyz

・.•孙+乃+xz=J_+_L+L=1

xyzxyz

第22页共38页

••xy+yz+xz

=­

【答案】i

3o

【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过倒数法将分式变形；

先对已知条件取倒数，求出X+，的值；再对所求分式取倒数，将其变形为含X+1的形式，代人求值后再取

XX

倒数得到最终结果.

Y1

【详解】解：V——且XHO

X-X+15

X-7+1

x-l+—=5

整理得：x+-=6

X

取倒数:

x4+4x2+1

/+4/+1

=x2+4+—

变形得:

x+—

X)

将二+一=6代入匕式:

x

6?-2+4=36+2=38

x4+4x2+1

X4+4X2+138,

故答案为5.

2.（25-26八年级上•山东淄博•期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来箧化式子，解

答问题.

第23页共38页

材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式,

从而运用约分化简，以达到计算目的.

X11

例：已知：-A-=4,求代数式X+，的值.

x-+14x

解：・・・^—=1，.・.^111=4即=+1=4,・・・旧=4

x+14xxx

材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数%将连等式变成几个值为〃的等式，这样就可以

通过适当变形解决问题.

例：若2x=3y=4z,且中zwO,求一一的值.

N+z

I

-k2-6