2026年高考数学一轮复习（基础版）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布

第十章§10.1计数原理

（分值：73分）

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025•深圳模拟）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第

三语言可从A类语言：日语、韩语、越南语、柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语、德语、

俄语、西班牙语、意大利语中任选一个，则学生可选取的语言组合数为（）

A.20B.25C.30D.35

2.（2024.宿迁统考）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的半裙，另有3套不同样式的连衣裙，“五

一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（）

A.24种B.10种C.9种D.15种

3.如图所示，要接通从A到B的一条电路，不同的接法共有（）

A.6种B.7种D.12种

4.（2024•北京模拟）某兴趣小组组织A,B,C三项比赛，请甲、乙、内三位同学参加，每项冠军只有一人,

若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属情况有（）

A.6种B.12种C18种D.27种

5.已知两条异面直线m〃上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（）

A.40B.16C.13D.10

6.（2024.来宾模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要

安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦

天实验舱安排1人.若安排甲、乙两人在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）

A.12种B.16种C.20种D.24种

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

7.现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、g人、9人，则下列说法正确的是（）

A.选I人为负责人的选法种数为30

B.每勾选1名组长的选法种数为3024

C.若挂选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法和数为335

D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种

8.（2025・广州模拟）第15届全运会于2025年11月9日至11月21日在广东、香港、澳门三地举行.现安排小

明、小红、小兵三名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务，每名志愿者只能选择一个场馆，且允许

多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（）

A.所有可能的方法有34种

B.若曰场馆必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种

C.若志愿者小明必须去甲场馆，则不同的安排方法有16种

D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种

9.某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表所示.现有小明、小华两位

乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性

相同，则下列结论正确的是（）

站数X0<运33<xW66y<9

票价/元234

A.若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种

氏若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种

C.若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种

D.若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后）

三、填空题（每小题5分，共15分）

10.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,

6这六个数字中任取3个数字，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为.

11.（2024.福州统考）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一

种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种.

12.某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上

届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有种.

10能力拓展

每小题5分，共10分

13.（2024.广州模拟）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛，他想要选出至少一个课

间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间休息，则小明・共有

种练习的方案（）

A.31B.18C.21D.33

14.（2024.长沙模拟）初等数论中的四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平

方和，例如正整数6=22+12+12+02.设25=/+〃+/+/,其中mAc,4均为自然数，则满足条件的有序数

组3,b,c,"）的个数是.（用数字作答）

答案精析

I.A［第三语言可从4个A类语言中任选一个，有4种方法；第四语言可从5个E类语言中任选一个，有

5种方法，所以共有4X5=20（种川

2.D［第一类：选择衬衣和半裙，共有3X4=12（种）选择方式；

第二类：选择连衣裙，共有3种选择方式，

所以共有12+3=15（种）选择方式J

3.C［最上面的线路有3种，中间线路1种，下面线路有2X2=4（种），三种情况相加为8种.］

4.B［先从A,B,C三项冠军中挑选一项冠军安排给甲，有3种情况，剩余两项冠军可以给乙，也可以给

丙，有22=4（种）情况，综上，当甲恰好拿到其中一项冠军时，不同的冠军归属情况有3X4=12（种）.］

5.C［分两类情况讨论：第一类，直线。分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直

线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13（个）

不同的平面.］

6.B［按照甲、乙两人在天和核心舱与问天实验舱两种情况讨论：

①若甲、乙两人在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人，剩下的3人去其余的两个舱位，则有黑鬣

=12（种）不同的安排方案；

②若甲、乙两人在问天实验舱，则在剩下的4人中选3人去天和核心舱即可，共有《=4（种）不同的安排方

案，

根据分类加法计数原理，共有12+4=16（种）不同的安排方案」

7.ABC［选1人为负责人的选法种数为6+7+8+9=30，故A正确；

每组选I名组长的选法种数为6X7X8X9=3024,故B正确；

2人需来自不同的小组的选法种数为6X7+6X8+6X9+7X8+7X9+8X9=335,故C正确；

依题意，若不考虑限制，每个人有4种选择，共有4,种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共

有33种选择，所以不同的选法有4,—33=37（种），故D错误

8.BCD［对于A,所有可能的方法有4?种，故A错误；

对于B,若甲场馆没有志愿者去，则不同的安排方法有33种，

所以甲场馆必须有志愿者去的不同的安排方法有43-33=37（种），故B正确；

对于C,若小明必去甲场馆，则小红、小兵两名志愿者各有4种安排，共有4X4=16（种）不同的安排方法,

故C正确；

对于D,若三名志愿者所选场馆各不相同，则共有屋=24（种）不同的安排方法，故D正确」

9.BCD［两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3X3=

9（种），同理当小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是9种，所以两人下地铁的方案共有

18种，A不正确，B正确；

两人共花费6元分为三类：①小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有3X3=9（种）；②小

明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3X3=9（种）；

③小明花费4元，小华花费2元・此时两人下地铁的方案有3X3=9（种），所以两人下地铁的方案共有27

种，C正确；

小明比小华先下地铁分为两类：

①小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有9种；②小明和小华均花费3元，小明比小华

先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确」

10.40

解析当十位数字为3时，有A孑个“伞数”；

当十位数字为4时，有A,个“伞数”；

当十位数字为5时，有A：个“伞数”；

当十位数字为6时，有Ag个“伞数”，

故共有A；+A专+A.+A专=40（个）“伞数”.

11.96

解析依题意，5个区域涂4种颜色，故有两个区域的颜色相同，这两个区域可能为1和5,2和5,3和5,

1和3,4种情况，故总共有4Az=96（种）不同的涂色方法.

12.11

解析当丁不入选时，由甲、乙、丙三人任职，甲有两种选择，余下的乙和丙只有一种选择；当丁入选时，

有三种入选结果，丁担任三个人中没有入选的人的原职务时，只有一种任职方案，丁担任入选的两个人的

原职务时，有两种任职方案，共有3X（2+I）=9（种）任职方案.综上,共有9+2=11（种）任职方案.

I3.B［七个课间编号为1,2,3,4,5,6,7,如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案；

若有两个课间练习,选法有{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,5},{2,6},{2,7},{3,6},{3,

7},{4,7},共10种方案；若有三个课间练习，选法为{1,4,7},共1种，故共有7+10+1=18（种）练习

的方案.］

14.28

解析显然均为不超过5的自然数，下面进行讨论：

当最大数为5时，

25=52+02+02+02,

此时共有A\=4（种）情况；

当最大数为4时，

25=42+32+02+02,

此时共有A：=12（种）情况，

25=42+22+22+12,

此时共有A：=12（种）情况；

当最大数为3时，32+32+22+22>25>32+32+22+12,没有满足题意的情况.

由分类加法计数原理，满足条件的有序数组（〃，。，c,力的个数是4+12+12=28.

§10.2排歹!］、组合

（分值：73分）

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024.保定模拟）某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中

3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（）

A.240种B.360种

C.720种D.2002种

2.（2024・池州模拟）甲、乙两人分别从a,b,c,d,。五项不同科目中各选三项学习，则两人恰好有两项科

目相同的选法有（）

A.30种B.60种C.45种D.90种

3.（2025•成都模拟）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营,

将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的

“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（）

A.120种B.24种C.36种D.12种

4.（2024.南京模拟）北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不

同的车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，笛头表示车头朝向，则不同的泊车方案有

种（）

A.16B.18C.24D.32

5.（2025・重庆模拟）如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则汽车的通过顺序共有（）

A.10种B.20种D.120种

6.2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式隆重举行.甲和乙两个宾馆为了更好地服务来华国际友人,

计划从学工处雇2名会韩语的学生，I名会日语的学生做前台接待工作.该校学工处目前有7名学生，每名

学生至少会韩语、日语中的一门，其中5人会韩语，4人会日语，则不同的安排方法种数为（）

A.22B.32C.36D.40

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

7.（2025・四川五校联考）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六、周天两天，每天从中任选两人参加服务,

则（）

A.每天用抓阉的方法从5人中选择2人参加服务，共有100种选法

B.恰有1人连续两天参加服务的选法是60

C.只有1人未参加服务的选法是30

D.只有1人未参加服务的选法是60

8.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，下列说法正确的是（）

A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种

B.若甲、乙之间只能站1人，则不同的排法有36种

C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种

D.若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少I位同学，则不同的分配方法有150种

9.（2025・沈阳模拟）若〃?，〃为正整数且心心1,则（）

A.已知A乳=100AM则〃=13

B©+C升普+・・・+%=329

。旭邛=（〃-1）噂7

D.用小端二:

三、填空题（每小题5分，共15分）

10.（2024.扬州模拟）己知C忆i=C系+2,则产.

11.用数字0,1,2,3,4,5可以组成个没有重复数字的五位偶数.

12.从5双不同的运动鞋中任选4只，则刚好有一双的选法有种.

K能力拓展

每小题5分，共10分

13.（2024.马鞍山模拟）数列｛%｝共有9项,且0=1,砌=9,|矶孙|=2,则这样的数列｛。”｝有（）

A.28个B.36个C.45个D.56个

14.（2024.包头模拟）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同

类节目不相邻的安排方式共有种.

答案精析

1.B［根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有髭鬣=360（种）.］

2.B［两人恰好有两项科目相同的选法有鬣A专=60（种）.］

3.D［先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有Ag种排法，3个红色棋子中间有2个空，

将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有的种排法，则同色棋子不相邻的排列方式有AgA,=12（种）.|

4.C［从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式，停放的3个车辆，有“=6（种）方式，则不同的

泊车方案有4X6=24（种）.］

5.A|相当于把5辆汽车全排列，其中左车道2辆汽车顺序不变，右车道3辆汽车顺序不变，

AS

共有福毒=10（种）•】

6.B［由题意得，这7人中有2人既会韩语又会日语，3人只会韩语，2人只会日语.

当不派既会韩语又会日语的学生时，有髭最=6（种）安排方法；

当派I名既会韩语又会日语的学生时，有©（玛段+C式幻=18（种）安排方法；

当派2名既会韩语又会日语的学生时，有C犯1G+GGC：C2=2+6=8（种）安排方法.

综上，共有6+18+8=32（种）不同的安排方法.］

7.ABC［对于A,每天有鬣种选法，共有瞪髭=100（种）选法，A正确；对于B,恰有1人连续两天参加

服务，先从5人中选I人，服务周六、周天两天，有玛=5（种）选法，再从余下4人中选1人参加周六服务，

从剩余3人中选I人参加周日服务，有禺禺二⑵种）选法，故共有5X12=60（种）选法，B正确，

对于C,D,只有1人未参加服务，先从5人中选1人，有玛=5（种）选法，再从余下4人中选2人参加周

六服务，剩余2人参加周日服务，有第=6（种）选法，

故只有I人未参加服务的选法是5X6=30（种），C正确，D错误」

8.BCD［对于A,甲、乙相邻可看成一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可，不同的排法

种数为A如/专=24,故A错误；

因为甲、乙之间只站1人，所以从剩下的3人中选1人站在甲、乙之间，再把甲、乙及甲、乙中间1人看

成一人与另外两人全排列，故共有©A弘4=36（种），故B正确；

五个位置，先排丁、戊两人，有Ag=20（种）排法，余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，

故满足条件的不同排法有20种，故C正确；

五人分三组，有3,1,1或2,2,1两种分配方法，若分为3,1,1三组，则有底Ag=60（种）方法，若分

为2,2,1三组，则有坐警蜴=90（种）方法，故满足条件的不同分配方法有60+90=150（种），故D正确」

9.ABD[由2〃（2〃-1）（2〃-2）=100〃（〃一1）,且,解得〃=13,故A正确；

因为戏+Cl+C^+-+C?n=Ci+C1+熊+C|+-+C?0-l=Cj+Cl+熊+・・・+C；°-1=・・・=C*-1=329,

故B正确；

7n(m—1)!(n-m)!

m(n-l)(n-l)!

m'.(n-m)!

鹏=

m!(n-m)!

即/〃C/W（〃-1）C巴1,故c错误；

；

A'n=-（n----m--）--!=n--（-n----l---m---+--1--）--!-=/?An„_1,

故D正确.]

10.5

解析根据题意C玄】=C岩+2,

则1°W%-1W16，

XJlO<2x+2<16,

解得KW7,

又X—1=2x+2或X—1+2x+2

=16,

解得了=—3（舍去）或x=5.

11.312

解析当个位数字为。时，这样的五位数共有Ag=120（个）；

当个位数字为2或4时，这样的五位数共有GC：A%=192（个），

所以可以组成没有重复数字的五位偶数共有120+192=312（个）.

12.120

解析先从5双运动鞋中选1双，再从剩下的4双中选2双，每双各选一只，共有最第120（种）不同

的选法.

13.A[设,因为|。用一编=2,所以—=2或-2.

可设力，…，义中有a个2和〃个一2,则

+61+62+…+dg=1+2Q—2b=9,

la+b=8,

解得6,即%,…，心中有6个2和2个一2,因此这样的数列｛〃“｝共有砥废=28（个）.]

（b=2,

14.48

解析依题意五个节目全排列有能=120（种）排法；

若独唱类节目相邻，

则有的A：—48（种）排法；

若歌舞类节目相邻，

则有得A%=48（种）排法；

若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有A'A'A』=24（种）排法，

综上可得同类节目不相邻的安排方式共有120—48—48+24=48（种）.

§10.3二项式定理

（分值：80分）

ID知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共2（）分）

1.二项式（％-，的展开式中5的系数是（

)

A.-80B.80C.-10D.10

2.（a-x）（2+x）6的展开式中/的系数是时,则实数〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

3.(2024・武汉模拟)若(1+2K)।°=ao+ai(l+x)+〃2(1+x>+…+a1o(1+x)10,则。1+。2+。3+…+〃10等于（)

A.310-lB.l023C.2D.0

4.已知今天是周四，那么3川天后是（）

A.周一B.周三C.周五D.周日

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.已知（2%-9）”展开式中各项二项式系数之和为128,则（）

A.72=7

B.展开式的各项系数之和是-1

C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大

D.展开式中尢常数项

6.若（工24-x-2）1。=«）+01+4*+〃营+…+〃2疗°，则（）

A.〃o=l024

B.〃।+1/34-6/5+…+。[9=512

CZ/2=6400

D.a1+2。2+3。3+••,+20420=0

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.（2025・榆林模拟）已知二项式13+习”的展开式中存在常数项，则正整数〃的一个可能的值为

8.（/+1-27的展开式中常数项为.

四、解答题（共28分）

9.（13分）已知（QM+目”的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1.

⑴求〃和4的值；（3分）

（2）求展开式中/项的系数；（4分）

（3）求（2x-[ax2+丁的展开式中的常数项.（6分）

10.（15分）已知-W（〃£N*）.

（I）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求〃的值；（3分）

（2）当〃=6时，二项式的展开式中V的系数为A,常数项为B,若B=4A,求a的值；（5分）

（3）当〃=6,〃=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项.（7分）

10能力拓展

每小题5分，共10分

11.(2024.咸阳模拟)当〃WN时，将三项式。2+工+1产展开，可得到如下所示的三项展开式和“广义杨辉

三角形”：

(f+x+l)°=l

({+户"=『+工+1

(f+x+1)2=f+2?+3f+2x+1

(f+x+1)3=3+3f+6*4+7/+6f+3.什1

(f+x+1)4=/+4.r7+10.r6+162+19.P+16.P+10『+4x+1

广义杨辉三角

第

0行

1

第

1行

111

第

2行

12321

第

3行

1367631

第

4行

若在(1+以)(/+%+1)5的展开式中，丁的系数为75,则实数。的值为()

A.lB.-lC.2D.-2

12.已知(l+x)(x+9%£N*,〃〈⑼的展开式中没有常数项，则〃的取值集合为.

答案精析

1.A[[一：)5的展开式的通项

71+,=^-*(-|)k=(-2)<^.?-^,^=0,1,2,3,4,5.

令5~2k=-1,解得k=3,

可得看=(一2优飙t

=-80户，

即:的系数为-80.]

2.C网用二项式定理展开得(ar)(2+x)6=(a-x)(c20+皓2、x+咯2y+咯23小哈22f+嗦2?+皓曲,则

x5的系数为a唔2—第0=12,・・.a=6.]

3.D[令/=l+x,则原式可化为

⑵—1严=。0+。1什生/2+…,令，=0,得40=1,令/=1,

得a()+a।+傲+…+aio=1,

故04。2+。3+~+。10=0」

4.B|由题意得3⑷=(33>7

=(28—1)",

由二项式定理得(28-1产=叫,2847.(-1)°+屐7・2846・(一»+・・・+(：第­281・(一1)46+鳍・28°・(-1产=%・2847.(一

46,l46

l)°+C17-28(-l)+-+C^-28-(-l)-l,

因为28可以被7整除，则3⑷除以7后的余数为6,则3⑷天后是周三.]

5.ACD[由题意可知2"=128,

则〃=7,故A正确；

令x=1,则(2x1-=1,

故B错误；

因为n=l,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4,5项二项式系数最大，分别为G,

C九故C正确；

作一昼)’展开式的通项为，+i=%(2x)7F(r-2)k=c”7r.CF(〃£z,0WkW7),显然7—32=0

无整数解，

故D正确」

6.ACD[令x=0,

则〃()=(—2严=1024,故A正确；

令J=1,得ao+〃l+…+。20=0,令K=—1,得即一—。3+…+418—。19+々20=1024,两式相减得

a\+ai+as+***+a\9=512,故B错误；

(f+x—2严=。一1严(1+2严，而。一1严中常数项为1,含x的项为己0下(一1)9二-10二,含d的项为

C如2•(—1)8=45,，(x+2严中常数项为2,0=1024,含x的项为C%»29=5120x,含『的项为喝/①二11

520,故〃2=1X11520+(-10)X5120+45XI024=6400,故C正确；

两边求导可得10(2x+l>(%2+%—2)9=。1+2。4+3。1+…+20。20^9,令x=1,可得0+2a2+3的+…+2O〃2o=O,

故D正确.]

7.4(答案不唯一)

解析二项式(一|；)的展开式的通项为7；+I=铺(炉)时比0=喘户?一软，要使展开式中存在常数项，只

需3〃一4仁0,，kwz,〃WN"有解即可，则〃可取4.

8.88

解析(/+：一a7中的常数项为cgc有2G)2(-2>+(-2)5=88.

9.解(1)由已知条件可得

y=皿解得『=7，

l(a4-l)n=-1,Q=-2.

⑵由⑴知(aM

=(-2/+%T)7.

227k1k

V(~2x+%T)7的展开式的通项为Tk+\=C7(-2x')~(x~')

=仁(一2广"4f,

攵=0J,2,…，7,

・••当14—3々二一4,即攵=6时，

丁4项的系数为。X(-2)=—14.

⑶⑵-*)(它+；)"

=(2A—X-2)(-2X2+x-1)7

=2A(-2X2+x-1)7

—x~\—2x2+xI)，,

・•・①当14-3^=-l,即。=5时,

2VC^(-2)2X-,=I68；

②当14-3〃=2,即&=4时，

一产.诙-2浮=280.

・••所求的常数项为168+280=448.

10.解(1)展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，

故〃=8.

(2)当〃=6时，二项式为-君,

展开式的通项元+产如6一〈一卷y

3k

=(-a)kC^x6~~(k=0,1,—,6),

令6—苧=3,得仁2,

所以4=/髭=15/,

令6-¥=0,得攵=4,

所以8=/以=15。4,

又8=4A,解得4=0(舍去)或。=2或a=-2,

所以＜7=2或a=—2.

(3)当〃=6,。=一2时，

二项式为(为+专),

展开式的通项7；+产C纣一七丁=2£*6号（仁o,1,…，6）,

设第攵+1项系数最大，

"2〃•盛之2»】•《-1,

12A•废之2女+】•戢+1,

^<11

即:♦故k=4,

所以二项式的展开式中系数最大的项为。+1=2,第=240.

11.A[依题意，“广义杨辉三角形”构造方法为第。行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3个

数（不足3个数的，缺少的数计为0）之和，所以“广义杨辉三角形”的第5行为1,5,15,30,45,51,

45,3（）,15,5,1,在（/+%+1）5的展开式中，f的系数为45,丁的系数为3（）,在（1+外）（/+%+i）s

的展开式中，H的系数为30+45a=75,解得a=l.]

12.{1,4,7}

解析因为（i+外卜+妥y（〃£N”，〃<io）的展开式中没有常数项，

①当（x+1）中取x时，式子（％+专）”的展开式中无”，所以7；+产第"<妥）"=第"3人中X的事指数取不

到一1,

即〃一3攵三一1;

②当（x+1）中取1时，式子1+点y的展开式中无常数项，所以“+产喘—（妥）"=（：我—中x的幕指数取

不到0,即王一3AW0.

故〃。3/—1,3k,且〃£N",

〃<10,&七N,k，,所以〃=1,4,7,

即〃的取值集合为{1,4,7}.

§10.4随机事件与概率

（分值：80分）

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是()

A.3个都是男生B.至少有1个男生

C3个都是女生D.至少有1个女生

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2025次，那么第2024次出现正面朝上的概率是()

A.—B.—C.—D.-

2024202520252

3.若P(4n8)q,P(彳)乏，P(B)W，则下列结论不正确的是(I

A.事件A与事件8不互斥

B.事件A与事件B不对立

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.PG4U8)=

4.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同

样长短和粗细的小棍子(用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如

图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字。的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹

一样多的概率为()

纵式：1IIIII1111HillTnnrnn

横式:--------------------111

1234567«-9~

A.-B.—V

981,81

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.(2025.哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件

A="两次取到的球颜色相同”，事件展”第二次取到红球"，事件C="第一次取到红球”.下列说法正确

的是()

B.事件B与事件C是互斥事件

C.P(AB)=V

D.P(B+C)=|

6.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了3()天的销售情况，得到如

下数据：

口销售量价[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,751

天数46956

以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（）

A.估计平均每天销售50杯双皮奶（同一组区间以中点值为代表）

B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为非

C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为:

D.这30天双皮奶口销售量的80%分位数是65杯

三、填空题（每小题5分，共1（）分）

7.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个

球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4,则袋中约有绿球—

个.

8.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四个数字as的由（其中a£{0,1,2,…，9},/=1,2,

3,4）随机组成，如果验证码0例”4满足0＜〃2＜的＜华则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验证

码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

四、解答题（共28分）

9.（13分）某市A,A两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，8口学推荐了3

名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机

抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（6分）

（2）某为比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.（7分）

10.（15分）某保险公司为了给年龄在20〜70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保

险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20,30）,[30,40）,[40,

50）,[50,60）,[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；每人每年所交纳的保费与参保年龄如

表格所示（保费：元）.据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.

频率

组距

0.025

0.02()

().016

0.007

01

2()3()4()5()6070年龄

年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

保费X2.V3x4x5x

（1）用徉本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x至少为多少元？（精确到整数）（6分）

（2）经调查，年龄在［30,50）之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，采用按比例分配的

分层随机抽样的方法从年龄在［30,40）和［40,5（））的人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选

取2人，被选中的2人免一年的保费.在保费工取到（1）中求得的最小值的条件下，求被免去优保费不低于

150元的概率.（9分）

IN能力拓展

每小题5分，共10分

11.（2024.武汉模拟）在一次试验中，随机事件A发生的概率为'随机事件8发生的概率为全则事件A,B

同时发生的概率的取值范围是（）

12.（2025・泉州模拟）如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字I到8.将该八面体连续抛掷三

次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

答案精析

I.B[从5个男生、2个女生中任意选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件.]

2.D[由概率的性质得，无论试验多少次，概率始终不变，故第2024次出现正面朝上的概率是f

3.D[VP（/lAB）=i,

・・・4与8能同时发生，

・・.事件A与事件B不互斥、不对立，故A,B正确；

•・/口）=:，・・・P（A）=：,

又・・・p⑻=]

・・・PG4）P（8）=曰（■）,

故C正确；

P（AUB）=P（A）+P（8）

故D不正确.]

4.C[用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，

共可以摆出9X9=81（个）两位数，其中个位和十位上的算筹个数都为1的有IX1=1（个），

个位和十位上的算筹个数都为2的两位数有2X2=4（个），

个位和十位上的算筹个数都为3的两位数有2X2=4（个），

个位和十位上的算筹个数都为4的两位数有2义2=4（个），

个位和十位上的算筹个数都为5的两位数有2X2=4（个），

共有4X4+1=17u）,

所以个位和十位上的算筹一样多的概率为廿」

81

5.CD[由题意可得，事件A包含的取球颜色为｛（红，红），（绿，绿）｝,事件8包含的取球颜色为｛（红，红），

（绿，红）｝,事件C包含的取球颜色为｛（红，红），（红，绿）｝,则A不包含于8,选项A错误；

BACW。，选项B错误；

事件A8包含的取球颜色为｛（红，红）｝,P（AB）=2

襦-E

选项C正确；

事件B+C包含的取球颜色为｛（红，红），（绿，红），（红，绿）｝,

cn__4x3+6x4x22、庄TKnry

P(B+C)==＞选项D正确」

1U5

6.BCD[平均每天双皮奶的销售量为30x4+40x6+50x9+60x5+70x6

30

二51（杯），

A错误；

日销售量不小于55杯的概率为答=^B正确；

日销售量小于45杯的概率为

”=工C正确.

303*'

1-^=0.8,因此这30天双皮奶口销售量的80%分位数是65杯，

D正确.]

7.8

解析因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4,所以摸到绿球的概率为0.4,设

不透明的袋中有x个绿球，因为袋中还有9个红球，3个白球，所以4G=0.4,解得“=8.

R工

2000

解析由题意设该验证码为,则。1=2,2＜〃2＜。3＜々4，二从3,4,5,6,7,8,9中选,

选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列有

值=35（种）排法，

又四位验证码共有10X10X10X10=10000（种）排法，

・・・它是首位为2的递增型脸证码的概率为黑；=

100002000

9.解（1）由题意，参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从A中学抽取（等价于卜中学没有学生入选代表队）的概率为鬻=工,

C6c610°

故A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-三=2.

⑵设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C,“参赛女生有2人”为事件。，“参赛女生有3人”为

事件E.

则尸（。）=等=：

L63

"⑸cjs-

由互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(D)+P(E)

=2+1=1

555

故所求事件的概率为点

10.解⑴由10(0.007+0.016+4+0.025+0.020)=1

得4+0.068=0.1,故4=0.032.

由条件知，该公司的收入不小于支出，即10

000X10(0.007x4-0.016X2x+0.032X3x+0.025X4x+0.020X5x)^1000000,

从而0.007x+0.032什0.096x+0.n+01x210,即0.335x210.

从而上至少为黑/3。（元）.

（2）由于0.016：0.032=1:2=2:4,故采用按比例分配的分层随机抽样的方法从年龄在［30,40）和［40,50）

的人中选取6人时，

年龄在［30,40）和|40,50）中的选取人数分别为2和4.

而年龄在［30,40）和［40,50）的人需要交的保费分别为60元和90元，

故从选取的6人中随机选取2人后，被免去的保费不低于150元，即选出的2人的年龄都在［40,50）内，

或年龄在［30,40）和［40,50）内的各1人，

所以所求概率。=笔&

C6

6+814

H.C［依题意，P(A)=)

2

P(B)=g,

«3

由P(A+B)=P(A)+P(B)

-P(48)W1,

得P(ABRP(4)+P(8)—1+：—1=g又P(A)>P(B),

O13XO

则当BGA时，P(AB)=P(B)=|,所以事件A,4同时发生的概率的取值范围是[g|].]

12.-

16

解析由题意可知所有可能情况共有8,种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，

可以按照公差为一3,—2,—1,0,I,2,3分类，其中公差为一3,—2,—1和3,2,1的情况对应相等.

公差为0