2026年高考数学复习（全国）不等式与复数（讲义）解析版

专题L3不等式与复数（举一反三复习讲义）

【全国通用】

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1、不等式

不等式是每年高考的重要内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题

为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的

相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、

解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解

命题规律析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，

难度偏高。

分析

2、复数

复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一。从近几年的高考情况

来看，高考对复数的考查比较稳定，题型为单选题或填空题（多位于前2题）,

分值5分，试题难度较低，以基础题为主，主要考查复数的概念、运算及其

几何意义。

考点2023年2024年2025年

全国二卷：第4题，5

分

北京卷：第6题，4分

不等式I卷：第1题，5分

天津卷：第15题，5分

上海卷：第题，分

高考真题24

上海卷：第8题，5分

新课标I卷：第2题，5

统计全国一卷：第1题，5

分

分

新课标1【卷：第1题，5

全国二卷：第2题，5

I卷：第2题,5分分

复数分

H卷:第1题,5分全国甲卷（文数）：第

北京卷：第2题，4分

1题，5分

天津卷：第10题，5分

全国甲卷（理数）：第

上海卷：第10题，5分

1题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，不等式与豆数的考情将继续维持稳

定态势。不等式依III以单选题或填空题的形式考查，分值为5分，主要考查

基本不等式求最值、不等式的求解，或与基础知识点（如：集合、常用逻辑

2026年用语等）相结合考查，难度不大。

命题预测预测复数仍以选择题的考查形式为主，分值为5分，主要考查复数的概

念、几何意义、模长以及复数的四则运算，是基础题。

不等式与复数二者都是易得分的基础模块，二轮复习备考时要加强对基

础知识的掌握，做到简单题不去分。

三思维导图:

I:匕较大小的基本方法：作差法、作商法

r匕限大小

不等式的性质不等式性质：（1）对称性；（2）传递性；（3）可加性；（4）可乘

性；⑸同向可加性；⑹同向同正可乘性；⑺可乘方性

I不等式性质

两个重要不等式

一正、二定、三相等

「基本不等式--使用原则

不

方法：⑴直接法；（2）配凑法；（3）常数代挨法；（4）消元法

I基本不等式求最值•

等

式一元二次不等式的解法

r一元二次不等式-（分式、高次、绝对值不等式的解法

与

卜二次函数与一

复二次函数的零点：（1）二次函数的零点不是点，是二次函

J元二次方程、一

数与：轴交点的横坐标；（2）一元二次方程的根是相应一元

数二次函数的零点

不等式二次函数与一元二

L次方程、不等式的三个“二次”的关系

解的对应关系

发数的分类：实数、虚数、纯虚数

复数的几何意义：①与点对应；②与向量对应

/宜数的概念-一

其数的模、共匏复数

鱼数的加法运算、减法运算、逑型算、除法运算

I复数的四则运算（复数范围内方程的根

知识梳理

知识点1不等式的性质

1.不等式的性质

（1）对称性:如果a>6,那么X"；如果分<〃，那么a乂.即a>6=Xa.

（2）传递性:如果a>b，b>c,那么a>c.即a>b,b>c=^a>c.

（3）可加性:如果a>by那么a+cX+c.

（4）可乘性:如果。>b,c>0,那么ac>bc；如果〃>/）,c<0,那么ac〈bc.

（5）同向可加性:如果a>Z>,c>d,那么a+c>Z?+M

（6）同向同正可乘性:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

（7）同正可乘方性:如果心3>0,那么心W（〃£N,〃22）.

2.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与。比较与1比较

a>ba-b>0巴>1(。，力>0)或g<1(。”<0)

bb

a=ba-b=0\=13/0)

a<ba-b<0N<l(a,6>0)或N>1(。，8<0)

hb

知识点2基本不等式

1.基本不等式与最值

己知x,y都是正数，

⑴如果积孙等于定值P,那么当x=y时，和x+p有最小值2P；

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积中有最大直上2.

4

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1六、p>0,(2)和(积)为定值，(3)存在取

等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一:mx+—>2y[nin(m>0,»>0),当且仅当x=时等号成立;

(2)模型二：mx+"=m(x-。)+"+ma>2J嬴+nia(m>0,/i>0),当且仅当x-a=时等号成

x-ax-aVw

立;

x

(3)模型三:(a>0,c>0),当且仅当x=J?时等号成立;

21——

ax+bx+cax+b+£,14ac+b

x

/八*皿rm/、mx(n-mx)1tnx-\-n-mx^/八八八〃、“，口『、|,

(4)模型四：x(n-mx)=----------<—(z----------)-=——(m>0,〃>0,0<x<一).当且仅当

inm24"?m

x=」L时等号成立.

2m

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法:利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

⑶常数代换法:主要解决形如"已知x+产々为常数)，求?+£的最值”的问题，先将?+£转化为

xyxy

(?+,x~^y,再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式口的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常

数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

知识点3一元二次不等式

1.一元二次不等式的解法

(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根;

④根据函数图象与X轴的相关位置写出不等式的解集.

⑵解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式/进行讨论;

③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

2.分式、高次、绝对值不等式的解法

(1)解金式不等式的一般步骤：

①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注怠分母不

为零.

②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零,

然后再用上述方法求解.

(2)解高次不等式的一般步骤：

高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2,•般采用“穿针引线法”,

步骤如下：①标准化；②分解因式：③求根；④穿线：⑤得解集.

(3)解绝对值不等式的一般步骤：

对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.

3.一元二次不等式恒成立、存在性问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式a/+加+60,它的解集为R

的条件(八.

1A=b—4QC<()

a>0

一元二次不等式ad+加:+c2O,它的解集为R的条件为

A=b2-4ac30'

o>0

一元二次不等式〃小+加+c>0的解集为0的条件为《

△W0,

知识点4复数有关问题及其解题策略

1.复数的概念的有关问题的解题策略

(1)复数2=〃+与(。/£区)，其中4，力分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0,与实部4无关；若Z

为虚数，则虚部/>工(),与实部。无关：若Z为纯虚数，当且仅当。=0且6ro.

22

(2)复数z=a+6i(a,6GR)的模记作|z|或|a+人i|,Hp\z\=\a+h\\=y/ab.

(3)复数z=q+6i(a,b£R)的共扼复数为£=。一加，则N=|Z|2=K「，即|z|=|z|=Jz.z,若z£R,则

z-z.

2.复数的运算的解题策略

(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算：

(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮好数.

3.复数的几何意义的解题策略

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解

析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

4.复数的方程的解题策略

(I)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化,仍然适用.

(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.

举一反三

【题型1不等式的性质及其应用】

【例1】(2025・湖北•模拟预测)已知。>匕，且c>d,则下列不等式一定成立的是()

A.ac>bdB.ac<bd

C.a+c>/?+dD.-<—

ab

【答案】c

【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可得结论.

【解答过程】因为a>力，且c>若a=1,b=-1,c=2,d=-3,贝ijac=2Vbd=3,故A不正确;

若Q=2,b=—l,c=2,d=—3,则ac=4>bd=3,故B不正确；

因为a>b,且c>d,所以a+c>b+d,故C正确；

若a=2,h=-1,则工>：,故D不正确.

ab

故选：C.

【变式1-1](2025•山西临汾•二模)若34aW5,-2WbWl,则2a-匕的范围是()

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

【答案】D

【解题思路】根据不等式的性质即可求解.

【解答过程】由34QW5,-24bW1可得6W2aW10,-1b32,

故5W2a-bW12,

故选：D.

【变式1-2]（2025•云南玉溪,二模）已知x>0,x2-2xy+z2=0,d<”，则（）

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【答案】A

【解题思路】根据题意，由原式可得y二手，然后由作差法分别比较y与x,y与z的大小关系，即可得到结

果.

[解答过程]由%>0,且/_2xy4-z2=0可得2xy=%2+z2,即y=

22222

milf+z2X+Z-2XZ-X

则-x=-2-x--X=---2--x--=2x

又fVyz,即不2<4.z,化简可得2%3一%2z-z3v0,

即（X—Z）（2%2+xz+Z2）<0,其中2%2+xz+z2=2（j+：）+整>0,

所以％-Z<0,BP0<X<Z»所以％2<z2,

2_y2

所以y—％二7->0,所以y：>%,

22

Dx+zX2Z2XZ（XZ）2C匚匚t、I、

又y-z=-；——z=-+-——-2=^-->0,所以y>z,

2x2x2x'

综上所述，y>z>x.

故选：A.

【变式1-3]（2025・四川绵阳•一模）若a>瓦cVO,则下列选项正确的是（）

A.-<7B.£>y

abab

C.a-c<b-cD.ac<be

【答案】D

【解题思路】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误.

【解答过程】当Q>O>b且c<0,则工>：,-<0<pA、B错，

aba0

由题设Q>b,-c>0,则a—c>b-c,且一acbe=acVbe,C错，D对.

故选:D.

【题型2利用基本不等式求最值】

【例2】（2025•贵州遵义•模拟预测）已知Q>0,b>0,且a+2力=1,贝壮+I的最小值为（）

ab

A.IB.4C.3D.2

2

【答案】B

【解题思路】利用1的代换，结合基本不等式可求最小值.

【解答过程】因为Q+2b=1,所以2+<=2+『=2+m+2z2白+2=4,

ababab7ab

当且仅当2=三，即。=匕=；时取等号，所以2+：的最小值为4.

a03ab

故选：B.

【变式2-1]（2025•湖北黄冈•一模）已知x,y为正实数，且x+y=l,则翳的最小值为（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】B

【解题思路】由题可得鬻=a+y）G+；），然后由基本不等式可得答案.

【解答过程】2=2+L=a+y）（2+9=10+型+工之10+2户=16.

xyxy\xy/xyylxy

当且仅当型==BPX=7,y=：时取等号.

Xy4，4

故选:B.

【变式2-2]（2025•四川德阳•模拟预测）已知a>0,b>0,且必=1,则;+±的最小值为（）

2a2ha+b

A.4B.8C.1D.2

【答案】A

【解题思路】根据ab=l,得;+白+上=?+3，利用基本不等式求得其最小值.

2a2ba+b2a+b

【解答过程】由a>0,b>0,且ab=1,得;+《+白;=?^—

2a2oa+b2aba+b2a+b

当且仅当竽=2=2,即a+b=4,即卜=2+左，或卜=2—当时，等号成立

所以，当卜=2+感，或卜=2-£时，；+±+2取得最小值，最小值为4.

5=2-遍（匕=2+遍2a2ba+b

故选：A.

【变式2-3]（2025•浙江台州•一模）已知（—1,+8）,且Q+丁==2,则b+工的最小值为（）

ft+lQ+2

A.2B.-4C.-2D.3

【答案】D

【解题思路】可利用配凑法与T的妙用“，结合基本不等式进行求解.

【解答过程】由题可知，。+2+27=4,又因为Q+2>0,》+1>0,

则七+1+言=*+2+备)9+1+言)

+

=>2)3+1)++10]>1(6+10)=4,

当且仅当(a+2)(8+1)=3时，即当a=l,b=0时，等号成立.

因此b+14■-、的最小值为4,

a+2

故E+白的最小值为3.

a+2

故选：D.

【题型3基本不等式中的恒成立问题】

【例3】(2025・吉林延边•一模)已知正实数》,y满足x+y-g盯=0,且不等式％+y-Q>0恒成立，贝Ua

的取值范围是()

X.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【答案】B

【解题思路】对题目等式变形得工+」=：,再利用乘“1”法即可得到答案.

xy2

【解答过程】因为正实数“满足％+y-枭y=0,所以：+；=最

则：x+y=2(x+丫)&+：)=2|：2+j+3之8,

当且仅当％=y=4时取等号，因为不等式x+y—a>0恒成立，所以Q<8.

故选:B.

【变式3-1](24-25高一上•安徽池州•期中)已知%>0,y>0,且x+y=5,若」7+、；N2m+1恒成立,

x+ly+2

则实数m的取值范围是()

A.(-8,表]B.(一8局C.(-00,D.(-00,4]

【答案】A

【解题思路】由已知条件得出(％+1)+(y+2)=8,将代数式3+々与白(％+1)+(7+2)]相乘，展开后

x+1y+Zo

利用基本不等式求出工+々的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.

【解答过程】因为％>0,y>0,Ax4-y=5,则x+l+y+2=8,

则誓>0,号>0,

x+1y+2

所以士+哀=9（言+/）[（*+D+（y+2）i=口5+4(y+2)।x+1

x+1y+2.

■+24(y+2)x+19

x+1y+28

4(y+2)_x+1

x+1y+2

当且仅当(x+l)+(y+2)=8时，

Ix>0,y>0

即当％=芋y=1M,所以士+9的最小值为:

OO入T乂•TNO

因为±+±1工27几+1恒成立，所以2771+1.'解得m*，

所以实数m的取值范围是（-8,忠

故选：A.

【变式3-2]（2025•江西•一模）已知止数x,y满足无+y=6,若小等式Q4看+系恒成立，则实数。的

取值范围是

【答案】（-8,4]

【解题思路】将』+系变形为x+l+W—2+y+2+★一4=3+W+意'利用均值不等式求击+治

的最小值即可求解.

【解答过程】因为x+y=6,

2222

x.y(X+1)-2(X+1)+1((y+2)-4(y+2)+4

所以"-----r—r=----------------1------------------

x+ly+2x+1y+2

1414

="+1+^-2+^2+^-4=3+^7+^

所以“3+W+W=3+中岛+为

y+24(x+l)工£+2心瑞x髭=4,等号成立当且仅当”4,无=2,

三+9(x+1)+9(y+2)

所以岛+£L=4,«<4,

故实数4的取值范围是（一8,4].

故答案为：（-8,4].

【变式3-3】（25-26高一上•湖南•期末）已知y>°,且x+y=l,若自+：之与九+4恒成立,则实

数m的取值范围是

【答案】（-8,1]

【解题思路】利用乘“『法及基本不等式求出击+；的最小值,即可得到!m+4工小即可求出参数m的取值

范围.

【解答过程】因为％>0,y>0,且x+y=l,则x+l+y=2,

所以吊泻最+;）口+1）+训=言+券+等

*卜+2后%,

当且仅当？=虫时，即当％=y=，时，所以名+工的最小值为J

x+1y3/3x+1y2

因为+工2+4恒成立，所以：771+4工3解得mWl,

x+1y222

所以实数m的取值范围是（一8,1].

故答案为：（一8,1].

【题型4解常见的不等式】

【例4】（2025•河南•模拟预测）已知关于x的一元二次不等式2d一丫+Qvo的解集为{%|—1<x<m}（m>-

1）,则a+m=C）

A.B.|C.-|D.|

【答案】A

【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解.

【解答过程】由题意可得m,-1为方程2%2一%+。=0的根，

由韦达定理可得2,解得,机一2,故Q+6=一？.

（mx（-1）=-U=-32

故选:A.

【变式4-1]（2025・陕西西安•二模）已知集合4=W|%-2|<2},8={用炉一4工一5。0},则（金力）nB=

（）

A.{x|-1<x<0]B.{x|4<x<5}

C.{x|0<%<4}D.{%|-1WxW0或4S%W5}

【答案】D

【解题思路】解不等式求得集合4B,进而利用补集，交集的意义求解即可.

【解答过程】因为/=[x\\x2|<2]={x\2<x2<2}={A|0<x<4],所以CRA=[x\x<0或x>4},

又B={x|x2-4x-5<0}={x|-1<x<5),则(CRA)nB={R-lWxW0或4WXW5}.

故选：D.

【变式4-2](2025•海南省直辖县级单位•模拟预测)不等式二21的解集为()

x+l

A.{x|-1<x<5]B.{x\x<-1}

C.{xl-1<x<5}D.{x\x>5}

t答案】A

【解题思路】利用分式不等式的解法求解.

【解答过程】由得三一120,即三N0,

x+lx+1x+1

转化为{(=一：、：；1cJWO,解得-IV-5,

所以不等式2>1的解集为{%l-1V%W5}.

故选：A.

【变式4・3】(2025•浙江•模拟预测)若关于％的不等式/+*%+勺<0的解集为(5,6),则不等式中土>0

的解集为()

A.(-1,12)U(30,+00)B.(-co,-12)U(0,30)

C.(-8,-30)U(-1,12)D.(-30,-1)U(12,+co)

【答案】D

【解题思路】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出p,q，再代入并将不等式转化为不等式组求解.

【解答过程】由不等式/+2工+(/〈0的解集为(5,6),得5,6是方程%2+2％+9=0的二根，

+N-12/T1XT2(x+l)QT2)

则P=-11,q=30,不等式」>0化为>0=>。，

即{(%+12)>0或{(%+12)<0,解得一30v%<一1或%>12,

所以所求不等式的解集为(一30,-1)U(12,+8).

故选：D.

【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】

【例5】(2025•陕西咸阳•二模)已知命题使%2十%+。一2三0”是假命题，则实数a的取值范围是

()

A.(-oo,0)B.[0,4]C.[4,+oo)D.(…)

【答案】D

【解题思路】由题意可知命题，wxER,/+%+。-2>0”为真命题，可得出A<0,可得出实数a的取值范

围.

【解答过程】因为命题FxER,使d+工+。一2WO”是假命题，

则命题“VxGR,x2+x+a-2>0”为真命题，则4=1-4(a-2)=9-4a<0,解得a>p

4

故实数a的取值范围是6,+8).

故选：D.

【变式5-1](2025•广东江门•模拟预测)若命题“%€4％2+%+。工0”的否定是真命题，则实数a的取值范

围是()

A.曲+8)B.&+8)C.(-00,;]D.(-0011)

【答案】C

【解题思路】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得.

[解答过程]命题“%£R,d+工+。00”的否定是叼xER,x2+x+a=0”，

则叼%ER,x2+x+a=0”是真命题,

则有A=1-4QZ0,解得QW；.

故选：C.

【变式5-2](2025・湖北黄冈•模拟预测)若“VX6R/2一mx+2>0”是真命题，则实数m的取值范围为()

A.(-272,2V2)B.[-2\/2,2V2]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【解题思路】由判别式A<0即可求解.

【解答过程】由题意可得：△=m2—8<0,

解得：一2&VmV2vL

所以实数m的取值范围为(-2&,2a),

故选:A.

【变式5-3](2025・重庆•一模)已知QER,则“7+2%+a>0的解集为R”是知:>0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由不等式/+2%+a>0的解集为R可得AVO,即可求解.

【解答过程】因为不等式/+2X+Q>0的解集为R,所以4一4。<0,所以Q>1,

所以“d+2x+a>0的解集为R”是，>0”的充分不必要条件.

故选：A.

【题型6复数的四则运算】

【例6】(2025•陕西西安•模拟预测)复:数z=1+i,z的共扰复数为2,则z♦2=()

A.y/2B.2C.-V2D.-2

【答案】B

【解题思路】由共规一复数定义结合复数乘法可得答案.

【解答过程】因z=l+i,则2=1—i,z-z=(14-i)(l-i)=2.

故选：B.

【变式6-1](2025•浙江温州•一模)已知z=-l+i,则-7=()

2+1

A.-1+iB.-iC.1-iD.1+i

【答案】D

【解题思路】根据条件，利用复数的运算，即可求解.

【解答过程】因为z=—1+i,则-7=^27=12=1+3

Z+1-1+)+1I

故选：D.

【变式6-2](2025广西柳州,一模)若复数2满足2(1-。=1+31则怙|=()

A.V10B.V5C.V3D.V2

【答案】B

【解题思路】通过复数的除法运算求出复数z,再根据复数的模的计算公式求出|z|.

【解答过程】复数z满足z(l-i)=l+3i,

得2=黑=-1+23

(1-9

|z|=J(-l)24-22=x/5.

故选：B.

【变式6-3】(2025・安徽・模拟预测)已知复数z满足空=2+i(其中i为虚数单位)，则|z+4i|=()

Z

A.V3B.V5C.V10D.2V3

【答案】C

【解题思路】由复数的四则运算法则和模的计算公式求解.

【解答过程】由王=2+i得z=2=l-i,

z14-i

所以z+4i=1—i4-4i=1+3i,

所以|z+4i|=|1+3i|=V1+9=\/10,

故选:C.

【题型7复数的几何意义】

【例7】（2025•四川内江•一模）在复平面内，复数兴对应的点位于（）

2一】

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】利用复数的四则运算将总化成-=+9，再根据复数的几何意义，即得其对应的点所在的象限.

2-155

【解答过程】由二=28+。=业=一」+%,

2-i（2-i）（2+i）555

故该复数对应的点（-[鼻）位于第二象限.

故选:B.

【变式7-1]（2025・陕西西安•模拟预测）已知复:数z=2+i,则要数白在复平面内对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解题思路】根据共辄复数的概念和复数的除法运算法则，可得之二-1-23根据复数的几何意义，即可得

1

答案.

【解答过程】由题意得，z=2-i,所以:=?=等=-l-2i,

在复平面内对应的点为（-1,-2）,故该点在第三象限.

故选：C.

【变式7-2]（2025•广东•模拟预测）设mER,复平面内表示复数z=2m+（m-3）i的点在直线x+y=0

上，则2=（）

A.2+2iB.2-2iC.-2-2iD.-2+2i

【答案】B

【解题思路】根据发数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的m值，进而得到更数z

【解答过程】复数z=2m+(m-3)i对应的点的坐标为(2m,m-3),

因为该点在直线％+y=0上，所以2m+m-3=0,

解得m=l,则z=2-2i.

故选：B.

【变式7-3](2025•广东•模拟预测)设z=则其共扰复数2在复平面内对应的点位于(〉

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解题思路】根据复数的除法运算和共规复数的概念求解出五由此可知结果.

【解答过程】因为z二合=湍七"g一|i，故2=g+li，其在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【题型8与复数有关的最值问题】

【例8】(2025•广东广州•模拟预测)复数z满足|z-2i|=l,则团的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】根据复数的模的几何意义可得复数z在复平面内的轨迹为以点(0,2)为圆心，以1为半径的圆即

可求解.

【解答过程】设复数z=x+yi,则对应点的坐标为(x,y),

所以|z-2i|=J/+(y-2尸=1

所以复数z对应的点G(x,y)到(0,2)的距离为1,

故复数z在复平面内的轨迹为以点(0,2)为圆心，以1为半径的圆，

故当点GQ,y)运动到与y轴的交点，且向上的位置时，此时|z|二|OG|最大，最大值为3

故选：C.

【变式8-1](2025•湖北黄冈•一模)已知ZWC,且|z-l|=l,i为虚数单位，则|z-2i|的最大值是()

A.V5+1B.V5-1C.2D.V5

【答案】A

【解题思路】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求怙-2i|的最大值即可.

【解答过程】|z-1|二1表示以。(1,0)为圆心，r=1为半径的圆，

则圆心C到点M(0,2)的距离d=V22+I2=V5,

则|z—2i|的最大值为d+r=V5+1.

故选：A.

【变式8-2](2025•辽宁沈阳•模拟预测)己知复数z满足=则|z+i|的最大值为()

A.V2+1B.V5C.2&+1D.V54-1

【答案】D

【解题思路】根据复数加减的几何意义可确定最大值.

【解答过程】=.♦.复数z在复平面中对应的点到(1,1)的距离为1,

该点轨迹为以(1,1)为圆心，半径为1的圆，

|z+i|表示复数z在复平面中对应的点到(0,-1)的距离，所以最大值为"中+1=75+1,

故选：D.

【变式8-3](2025・广东•模拟预测)若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z-1|的最大值是()

A.1B.V2C.2D.V5

【答案】B

【解题思路】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得忆-1|的最大值.

【解答过程】设更数i、-i在复平面内对应的点分别为4(0,1),8(0,-1),

复数z=a+bi(a,b6R)在复平面对应的点为：Z(a,b),

由|z+i|+|z-i|=2可知：复数z在复平面内对应的点到两点4,8的距离之和为2,

ffi|.4F|=2,所以点Z(Q,b)在线段AB上,故a=0,bw[—l,l],

则|z-1|=\bi-l\=心1)2+岳=V1+37<V2,

当七=±1时，忆一1|的最大值为、5

故选：B.

高考真题练

考点一不等式

一、单选题

1.(2025•全国二卷•高考真题)不等式二22的解集是()

A.{%|-2<%<1}B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<1}D.[x\x>1)

【答案】C

【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【解答过程】W>2即为隼<0即伊+2)(：T?40,故一2。V1,

故解集为W-2工xV1}.

故选:C.

2.(2025,北京•高考真题)已知。>0,匕>0,则()

A.a2+b2>2abB.-+—

ahah

C.a+b>\[abD.-+7<-i=

abvab

【答案】c

【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.

【解答过程】对于A,当a=I时,。2+炉=2ab,故A错误；

对于BD,取a=：,b=；,此时！+：=2+4=6<J=8=

24ab-x-ab

-+^=2+4=6>^==4V2=-L,故BD错误；

ab11yJab

护z

对于C,由基本不等式可得a+bN2VHs>故C正确.

故选：C.

3.(2023・新课标I卷•高考真题)已知集合用={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-x-6>0},则MnN=()

A.{-2,