2026年高考数学复习（全国）导数的综合应用（讲义）试题版

专题3.5导数的综合应用（举一反三复习讲义）

【全国通用】

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，题型1导数中的函数零点（方程根）问题

＜题型2利用导数研究不等式恒成立问题

导数的综合应用＜题型3利用导数研究能成立问题

＜题型4利用导数证明不等式

，提升•必考题型归纳

J题型5利用导数研究双变量问题

J题型6导数中的极值偏移问题

J题型7导数在实际问题中的应用

一题型8导数中的新定义问题

高考真题练

1、导数的综合应用

导数是高中数学的重要内容，导数的综合应用是高考必考的重点、热点

内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：导数中的不等式

命题规律恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、导数中的函数零点（方程根）问

题等，这些问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、

分析填空、解答题中都有考查，但主要以解答题为主，而在解答题中进行考查时

试题综合性强，难度较大，需要灵活求解，二轮复习时要加强对这方面内容

的训练.

考点2023年2024年2025年

高考真题

新课标I卷:第19题，新课标I卷:第18题，全国一卷：第19题，

统计导数的综合12分17分17分

应用新课标H卷:第22题，新课标11卷:第11题，全国二卷：第18题，

12分6分17分

全国甲卷（文数）：全国甲卷（文数）：

第20题，12分第20题，12分

全国甲卷（理数）：全国甲卷（理数）：

第21题，12分第21题，12分

全国乙卷（文数）：

第8题，4分

预测在2026年全国卷高考数学中，导数的综合应用的相关问题的考情

2026年将继续维持稳定态势°预测在选择题、填空题中考查概率较低，主要考查函

数零点、不等式恒（能）成立问题，难度中档。大概率在解答题中考查，不

命题预测等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、函数零点（方程根）问题依

旧是考查核心，都有可能考查，此时试题综合性较强，试题难度较大。

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

不等式恒（能）r

1%靠端累去I⑵分类讨论法解决恒（能产问题

导数中的不（1）一股地，要正仕）＞g（.v）在区间S.6）上成立，需构造辅助

函数Mx）=Ax）-gtx）,通过分析内”）在端点处的函数值来

等式问题

证明不等式

＜导数中的不等式_f（2）在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问

证明题，可考虑转化为两个函数的最值问题

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系

式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式

知识梳理

知识点1导数中的函数零点问题的解题策略

1.函数零点（个数）问题的的求解方法

(1)构造函数法:构造函数g(x)，利用导数研究以工)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理:利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多

少个零点.

(3)数形结合法:函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.

2.导数中的含参函数零点(个数)问题

利用导数研究含参函数的零点(个数)问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数｛r)的最值，转化为人x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由几丫)=0分离参变量，得a=g(x)，研究尸。与尸g(x)图象的交点问题.

3.与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊

点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

知识点2不等式恒(能)成立问题的解题策略

1.不等式恒(能)成立问题的求解方法

解决不等式恒(能)成立问题主要有两种方法：

(1)分离参数法解决恒(能)成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②G2/(外恒成立u*a2/(A-)max；

。《/(幻恒成立―>。4/1),.;

〃N/(X)能成立Q4二/G)min；

aW/(x)能成立Q*a&/(X)max.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题

分类讨论法解决恒(能)成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一人值或一段内

的函数值不满足题意即可.

2.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件.进彳j等价变换,常M的等价变换

有：

对于某一区间/，

⑴TM,X2£/,/■)>g(小)fMmin>gMmax.

(2)Vx,e/„3x2eZ2,/(Xi)>g(x2)u*f(x)min>g(x)mjn.

(3)3x,e/„Vx2e/2,fM>g(x2)<=>f(x)>gWmax.

知识点3导数中的不等式证明的解题策略

1.导数中的不等式证明的解题策略

⑴一般地，要证")>g(x)在区间(。，与上成立，需构造辅助函数ax)="x)—gU),通过分析网•滋端点处的

函数值来证明不等式.若代。)=0,只需证明A(x)在(。，份上单调递增即可；若小(与=0,只需证明尸(x)在(。，

b)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

2.移项构造函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教

研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

3.分拆函数法证明不等式

(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数,从而找到可以传递

的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(X)min为(玲皿恒成立，从而/a)Wg(X)

恒成立.

⑵等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，二与hu•要分离，常构造x"与1M,丁与d的积、

商形式.便于求导后找到极值点.

4.放缩后构造函数证明不等式

某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式+1—

X—1等进行放缩,有利于简化后馍导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行

放缩，然后再构造函数进行证明.

知识点4导数中的双变量问题的解题策略

1.转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有M，X2,/⑴)，/(⑼的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同

的代数式，即转化为同源函数,可利用该函数单调性求解.

2.整体代换解决双变量问题

(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数得到仅含有XI，X2的式子.

(2)与极值点为，X2有关的双变量问题：i般是根据X1，也是方程/(x)=o的两个根，确定不，不的关系，再通

过消元转化为只含有XI或X2的关系式，再构造函数解题,即把所给条件转化为XI，处的齐次式，然后转化

为关于手的函数，把♦看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

为入I

3.构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式：

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

知识点5导数在解决实际问题中的应用

1.导数在解决实际问题中的应用

(I)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题,求解时需

要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境”翻译为数学语言，抽象成数学问题，再

选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

(2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等

式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

(3)利用导数解决实际问题的一般步骤

【题型1导数中的函数零点(方程根)问题】

【例1】(2025•湖南郴州・模拟预测)已知/a)=7nemx-lnx(7nN0),若/(%)有两个零点，则实数〃，的取值

范围为()

(0，：)B.(0,/)C,&+8)D.以+8)

【变式1-1](2025•安徽•模拟预测)函数f(%)=的零点个数为()

A.0B.IC.2D.3

【变式1-2】(2025•贵州六盘水•模拟预测)己知函数

(1)求函数/(x)在％=1处的切线方程：

(2)函数g(x)=/(%)-m有两个零点，求实数m的取值范围.

【变式1-3](2025,河北•模拟预测)已知函数/Xx)=5-々炉+炉一瓶(/血€R),%=2是函数/(%)的一个极

值点.

(1)求函数/Q)的单调区间；

(2)若函数/(%)有三个零点%1，%2，与，且％1<X2<X3.

①求实数血的取值范围；

②求证：无1+%2+X3>2.

【题型2利用导数研究不等式恒成立问题】

【例2】(2025•全国•模拟预测)若对任意%£[e,+8),满足eT]nx-£N0恒成立，则实数m的取值范围

是()

A.(-co,e]B.(-co,e2]

C.[e2,4-co)D.[e,+8)

(变式2-1](2025•陕西咸阳•模拟预测)已知函数/(第)=(Inx-mx)(x+^-m-1),若f(x)<0在(0,+oo)

上恒成立，则实数〃?的取值范围为()

A.(0,1]B,区,1]C.[l,e]D.[1,1]

【变式2-2](2025・广东汕尾•一模)己知人力=2ax-(2a+l)lnx在x=2处有极小值.

⑴求Q的值；

(2)设g(x)=/(x)-m,若g(x)<0在*,e2]上恒成立，求m的取值范围(e«2.718,是自然对数的底数).

【变式2-3](2025•青海•模拟预测)已知函数f(%)=2hu:-a%.

(1)若a=l,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)讨论f(%)的单调性;

(3)若a>0,/(x)<eax-△恒成立,求a的取值范围.

【题型3利用导数研究能成立问题】

【例3】(2025・四川成都一模)若存在x>0使得不等式ae"+l-％工12成立，则正实数a的取值范围为()

xa

A.(0,1]B.[e,+oo)C.(0,mD.(0,e]

【变式3-1](2025•辽宁大连•三模)已知/'(%)=%eax-ln%-ax,若存在与£R，使得/(%0)=1，则实数a

的取值范围是()

A.(-8+)B.卜：,+8)C.(旧,0)D.(0,1]

【变式3-2](2025•安徽合肥•一模)已知函数/(%)=史在U，gG)=%ln%-知一%2+a%+1

x—1

⑴求/(%)的单调区间;

(2)若对于任意与6(-31),总存在外£口,+8),使得八打)工或小)，求a的取值范围.

【变式3-3](2025・陕西榆林•模拟预测)己知函数/"(E)=x-Qlnx,g(x)=—^(a€R).

(I)若a=l,求函数f(x)的最小值；

(2)设函数九(x)=/(X)-g(%),讨论函数h(x)的单调区间；

(3)若在区间[l,e]上存在一点出,使得/•(%)Wg(%)成立，求a的取值范围.

【题型4利用导数证明不等式】

【例4】(2025•广东•模拟预测)已知函数/'(%)=ax+1-(ax+l)e-x,aER.

(1)当Q=1时，求曲线y=f(%)在x=0处的切线方程；

(2)当aN1时，证明：/(x)>x；

(3)当QW0时，证明：/(x)<x(l-ax').

【变式4-1](2025•陕西汉中•一模)(1)已知函数/'a)=e2x—(x+l)ex+?,求/'(x)在(0,+8)上的单调

区间；

(2)若kN、证明：ke2x>1+ln2x.

e

【变式4-2](2025•河北沧州•模拟预测)已知函数f(x)=tanx(l-2cos%)+%,(0<x<

(1)求/(%)的最小值;

(2)证明：/(%)<2tanx；

(3)若/(叉)>2ln(x+1)+ax+tan%,求实数Q的取值范围.

【变式43](2025•四川眉山•模拟预测)已知函数/(%)=》％+d-3%+2,且曲线y=/(%)在％=2处的

切线与直线2x+3y-3=0垂直.

⑴求a的值：

(2)求f(x)的极值；

X

(3)若，(%i)=f(x2)=/(%3)，且％1<x2<x3,证明:23+x2-XI<3.

【题型5利用导数研究双变量问题】

【例5】(2025・湖南•模拟预测)已知函数/。)=#—%+Qlnx+

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)已知/(%)存在两个极值点勺,必：若与<%2，且％2之京求/O1)+/(%2)的最小值・

【变式5・1】(2025•全国•模拟预测)已知函数/a>0.

(I)若/(%)存在零点，求。的取值范围；

(2)若X1，为2为了(无)的零点，且证明：Q(%I+%2)2>2.

【变式5-2](2025•安徽合肥•一模)已知函数/(x)=lnx—Q。—》，其中a>0.

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)若函数人%)有两个极值点无1，应(/<小)，证明：fM+/(x2)++x2)>ln2-

【变式5-3](2025・陕西西安・模拟预测)已知函数/a)=lnx-gx+?(mWR),记口>)=2/(x)+%.

(1)讨论函数尸(%)的单调性：

(2)己知巾>0,对任意x>0,存在a>0,使得：一/(a)Wr(%),求实数m的取值范围;

2

(3)已知0VV工2，且尸(％1)=/(》2)，求证：x{x2>m.

【题型6导数中的极值偏移问题】

【例6】(2025•云南•模拟预测)已知函数f(%)=ajdnx(QW0).

(1)若a=2,求曲线y=fMKx=1处的切线方程：

(2)讨论/(%)的单调性；

(3)若Q=2,/<小，且/(%1)+/(工2)+2=£+靖，证明：+%2>2.

【变式6-1](2025•广东佛山•模拟预测)已知函数/'(%)=1+gx2一丘

⑴设九(x)二尸(乃，求h(%)的零点并判断了(%)的单调性；

(2)若f(》i)=/(必)，且％1V孙,证明:

(i)Xj+x2<0；

(ii;eX1+e*2>2.

【变式6・2】(2025•上海杨浦•模拟预测)设函数y=/(%)的定义域为D,在。上仅有一个极值点出,方程/'(x)=0

在。上仅有两解，分别为M、上，且％若亨>右，则称函数y=/G)在。上的极值点左偏移;

若华<与，则称函数y=fMeD上的极值点右偏移・

(1)设fG)=X2—1,D=R,判断函数y=/a)在。上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由；

(2)设m>0且?n丰1,/(x)=x3-mx2-x+m,D=(0,+co),求证：函数y=/(x)在D上的极值点右偏移;

(3)设QGR,/(%)=Inx-ax,D=(0,+co),求证：当0<Q<时，函数y=/(%)在0上的极值点左偏移.

【变式6-3](2025•青海海南•模拟预测)己知函数/(%)=Inx-TTL/+]mn,m>0.

(1)讨论函数/(%)的单调性.

(2)假设存在正实数％1，为2al芋X2)，满足fGl)=?一根痣/(%2)=皆一小说.

(i)求实数m的取值范围；

(ii)证明：必+必>2.

【题型7导数在实际问题中的应用】

【例7】(2025•陕西・模拟预测)将一个体积为36n的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体积的

最大值为()

A.8V2B.8V3C.4V2D.4百

【变式7-1】(2025•辽宁辽阳•一模)已知球。的半径为R,则在球。的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半

径为()

A.乎RB.C.黄D.当R

3333

【变式7-2](2025•上海宝山•二模)某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司

交2元的管理费，预计每件产品的售价为x元(8Wx工11)时，一年的销售量为(12-X)2万件，则每件产

品售价为元时，该分公司一年的利润达到最大值.(结果精确到1元)

【变式7-3］(2025•上海•模拟预测)如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边力处，乙工厂与甲工厂在河

的同恻，且位于离河岸40km的4处，河岸边。处与力处相距50km(其中8。14。)，两家工厂要在此岸

边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和"元，问供水站。建在

岸边距离力处km才能使水管费用最省？

【题型8导数中的新定义问题】

【例8】(2025・江苏•三模)已知函数1=/0)在闭区间［a,团上连续,在开区间(Q,b)内可导,则(a,b)内至少

/

存在一个点刈)G(a,b),使得/'(b)-/(a)=/(x0)(Z?-a),其中z=%o称为函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的

“中值点”.则函数/'(x)=%3-2%在区间［-1,1］上的“中值点”的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【变式8-1］(2025•江西南昌•一模)我们约定：若两个函数的极道点个数相同，并且图象从左到右看，极大

值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似已知/'a)=ex-gex2+a—i)2,则下列

给出的函数其图象与y=f(x)的图象“相似”的是()

A.y=x2B.y=-xLC.y=x3-3xD.y--x3+3x

【变式8-2】(2025•湖北武汉一模)已知函数/(x)的导函数为「⑺，若/G)在区间。上单调递增，则称/(%)

为区间D上的凹函数；若f'(x)在区间。上单调递减，则称/'(X)为区间D上的凸函数.己知函数f(x)=§+

Aln(x+1).

(I)若/(无)在［2,3］上为凹函数，求实数2的取值范围；

(2)已知F(x)=f(x-l),且尸(x)在(1,+8)上存在零点，求实数2的取值范围.

【变式8・3】(2025•河南许昌•模拟预测)对于函数y=/Q),1皿和y=g(x),xED2,^DInD2=D,

若对任意的修，*6D,都有IfCvi)-/(%2)lW19(可)一g(x2)l'(t>0)成立，则称函数y=人工)与y=g(x)“具

有性质

(1)判断函数/(%)=sinx,xG(0,3)与g(x)=%是否“具有性质H(l)”，并说明理由：

(2)若函数/(x)=最+21nx-2与y=g(x)“具有性质//⑴”，且函数y=gQ)在区间(0,+8)上存在两个零点

%!»x2»求证：X5+>2：

(3)已知函数/'(%)=xlnx,xE(0,1),g(x)=》,求证：函数y=/(%)与y=g(x)“具有性质//《)”.

高考真题练

考点一导数的综合应用

一、单选题

1.(2023•全国乙卷•高考真题)函数/(%)=%3+。％+2存在3个零点，则a的取值范围是()

A.(—8,—2)B.(—8,—3)C.(-4,—1