人教B版高中数学必修3 第8章《向量的数量积与三角恒等变换》达标检测

人教B版2019高中数学必修3第8章向量的数量积与三角恒等变换

达标检测

1.（2021•北京・单元测试）计算:sinl70sin2230+cosl70cos（-43°）=（）

2.（2021.北京・单元测试）设单位向量a=律,sina）,则cos2a的值为（

B.--C.--D

29

3.（2021.北京・单元测试）函数y=2cos21一]一1是（）

A.最小止周期为n的奇因数B.最小止周期为n的偶函数

C.最小正周期为5的奇函数D.最小正周期为5的偶函数

4.（2021.北京・单元测试）函数y=[cos（久+：）+sin（x+：）]-[cos-sin（x+叨在一个周

期内的图象是（）

5.（2021.北京・单元测试）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦

图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如

图）.如果小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,直角三角形中较小的锐角为0,则

c.-4+3冉一4.371

1010

6.（2021・北京・单元测试）若向量BA=（4,-3）,向量或=（2,-4）,则△ABC的形状为（）

A.等腰非直角三角形B.等边三角形

C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形

7.（2021.北京・单元测试）已知向量d,B满足（G+2刃•（5G-“）=0,且\a\=\b\=l,则a

与b的夹角6为（）

A•乎BUc-ID-T

8.（2021・北京・单元测试）设|6?|=2,|砺|=1,万？•丽=0,而=WA+fiOB，且/l+〃=1,

则向量而在而上的投影的数量的取值范围是（）

A.（考2]B.律,2]

C.（_誓,2|D.（竽,2]

2

9.（2021•北京・单元测试）已知函数/（%）=2sinQ+x）cos停+无）+2V3cosx-V3,若xvx2e

[一2TT,2TT],且满足/(xj+/(x2)<o，f(%1)•f(》2)之4,则Xi-2X2的最大值为()

59TT67n

IT12

10.（2021.北京・单元测试）已知在四边形ABCD,ABLBC,AD1CD,乙BAD=120°,AD=1,

=2,点E为边G）上的动点，则荏•锯的最小值为（）

A.-B.--C.-D.-

164416

11.（2021・北京・单元测试）下列命题中正确的是（）

A.非零向量d4满足IG1=1B1=1d-3I,则d与d+3的夹角为30。

B.若鼠3>0,则五，3的夹角为锐角

C.若布2=荷•而+西•配•丽则△ABC一定是直角三角形

D.LABC的外接圆的圆心为。，半径为1,若说+於=2而，且|而|二||,则向量

BA在向量BC方向上的投影的数量为I

12.（2021•北京•单元测试）已知函数/（x）=sinxcosx-cos2T，则（）

A.函数fM在区间（0*）上为增函数

B.直线x=詈是函数fW图象的一条对称轴

O

C.函数/（%）的图象可由函数y=^Sin2x的图象向右平移弓个单位得到

D.对任意xWR,恒有/（：+》）+f（一x）=-1

13.（2021•北京・单元测试）设0<8<；,向量a=（sin20,cos0）,b=（l,-cos0），若G•3=0,则

tanS=.

14.（2021・北京・单元测试）已知向量G,3满足|G|=5,IB|=1且IG-4族区或I,则ab的

最小值为一.

15.(2021.北京.单元测试)函数/(X)=sinx+V3cosx在［0,n］上的单调递减区间为

16.(2021.北京・单元测试)已知函数fa)=ecos2；+3in%-与，则函数/(幻的最小正周期

为；若/(a)=]则sin(2a+]=

17.(2021・北京・单元测试)已知A,8,C是△A8C的内角，cosH=1,sinB=5，求8s(A-B).

18.(2021・北京・单元测试)已知同一平面上的三个向量五4,乙其中d=(1,2).

(1)若I不l=2V§,且求5的坐标；

(2)若IB1=£且(G+23)1(2G-方)，求五与B的夹角的余弦值.

19.(2021・北京・单元测试)已知函数/(x)=sin1+三)+sin(x-+cosx.

(1)求函数/(x)的最大值；

(2)若/(*_)=_手，当詈\时，求)；：；产的值•

20.(2021.北京单元测试)已知0为坐标原点,0A=(2cosx,V3),OB=(sinx+V3cosx,-1),若

f0)=OA-OB+2.

(1)求函数“外的单调递减区间；

(2)当“6(0?)时，若方程/(%)+m=0有实数根，求实数m的取值范围.

21.(2021・北京・单元测试)设函数/(x)=4sin(3X+9)(4>0,3>0,在x处取得

O

最大值2,其图象与x轴的相邻的两个交点的距离为?.

⑴求国数八切的解析式；

42

⑵求函数gM=6cosx-sinx-l的值域.

睡+耕-2

22.(2021・北京・单元测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点力(1,0)和点,\OC\=

1,且乙40。=%,其中0为坐标原点.

⑴若x=?,设点D为线段。力上的动点，求I反+而I的最小值；

4

(2)若x€R,求正•灰的最大值及对应的x值.

答案

1.【答案】B

原式=sinl7°(-sin43°)+cosl70cos43"

【解析】=cos(430+17°)

=cos600

=_一i.

2

故选B.

【知识点】两角和与差的余弦

2.【答案】A

【解析】因为1,1=小iMa+口,

所以sin2a=1,

所以cos2a=1—2sin2a=g.

【知识点】二倍角公式

故函数y=2cos2(x--1是最小正周期为7T的偶函数.

【知识点】Asin®x+叫形式函数的性质

4.【答案】B

【解析】因为函数

y=[cos(x+01sin(^14)]'[cos(x1Z)sin(x14)]

=cos2(无+：)-sin2(%4-

=cos(2x+

=—sin2x,

所以最小正周期为n,且函数图象与函数y=sin2x的图象关于x轴对称,

所以满足条件的只有选项B.

【知识点】Asin®x+叫形式函数的性质

5.【答案】B

【解析】根据大正方形的边长为5，小正方形的边长为1,可得每个直角三角形的面积为

(25-1)+4=6.

设三角形的两条直角边长分别为。，b,则有[ab=6,

又a2+坟=52,

联立得,必=6,

U2+川=52.

解得或负值舍去).

所以cosO=:,sin0=1,

dD

所以

sin(e+T)-cos(e_g)

1V3・

=cosnd——cosnO----sin9n

22

=1cos0—^sin0

22

14V53

=-X-----X-

2525

4-3、3

-10,

【知识点】两角和与差的余弦

6.【答案】C

【解析】因为瓦？=(4,-3),BC=(2,-4),

所以AC=BC-BA=(-2,-1),

所以Z7•丽=(24)-(-2,4)=0,

所以ZC=90。.

又I|=花，I而|=2迷，||工|而|,

所以△ABC是直角非等腰三角形.

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

7.【答案】C

【解析】因为(a+2b)•(5a-4b)=5d2+6db-3b2=0,

\d\=\b\=1,

所以6ab=3,

所以cosO=]

又。6[0,n],

所以

«5

【知识点】平面向量的数量积与垂直

8.【答案】C

【解析】因为就丽=0,

所以OA1OB.

因为[OA\=2,\OB\=1,

所以\AB\=V5.

因为OP=AoX+fiOB，且4+〃=1,

所以P,4,8三点共线.

当丽1常时，|而|二§,

此时过点。作而共线的向量0M,

当的1宿时，易得\AM\=|函=等，

从而\0M\=华,

所以当点P沿标的方向无限远离点8时，历f在而上的投影的数量无限趋近于-.

当点P与点A重合时，投影的数量最大为2,

故向量万？在而上的投影的数量的取值范围为(-y，2].

【知识点】平面向量的数量积与垂直

9.【答案】B

【解析】由三角函数的诱导公式和三角恒等变换公式，化简得fM=2sin(2x+§,

所以f(x)e[-2,2].

由fM+/(x2)<0JG1)•/(%2)之4,

得f(%)=f(%2)=-2.

当fM=2sin(2x+g)=-2时，

2x+^=2/tTr+y(kGZ),

解得x=77+”n(k£Z).

xxG

由i>2[-2n,2n],得xltx2E｛一答，一修，工，詈｝，

则(%1-2%2)max=(xl)ma:<-2fe)min=詈-2X(一詈)=等,

所以与-2X2的最大值为号.

【知识点】Asin®x+v）形式函数的性质

10.【答案】C

【解析】如图所示，以D为坐标原点，04所在的直线为％轴，OC所在的直线为y轴，建立

平面直角坐标系.

作BN1x轴于点N,BM1y轴于点M.

因为ABIBC,ADLCD,乙BAD=120°,AD=1,AB=2,

所以AN=ABcos60°=1,DM=BN=A8sin60°=V3,

所以DN=1+1=2,

所以BM=2,

所以CM=8Mtan30。=等，

所以OC=DM+CM=竽，

所以4(1,0),B(2,V3),C(0,绡.

设E(0,m)t0<m<^.

所以AE=,BE=(-2,m->/3),

所以AEBE=2+m2-V3m=(m~y)+：，

当m=咚B寸，瓶•而取得最小值•

24

故选C.

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

11.【答案】A；C；D

【解析】对于A,由向量减法法则及题意知，向量d,3,五一族可以组成一个等边三角形，

向量d,b的夹角为60°,

又由向量加法的平行四边形法则知，以G,3为邻边的平行四边形为菱形，

所以d与d+石的夹角为30。，故选项A中说法正确；

对于B,当6=坂工0时，不成立，故选项B中说法错误；

对于C,因为AB2=AB-AC+BA-BC+CACB,

所以

AB2=AB（AC-~BC）-ACCB

=AB-（CB-CA）-AT-CB

=ABAB-AC-CB,

所以ACCB=0,

即AC1CB,

所以△ABC是直角三角形，故选项C中说法正确；

对于D，作图如下，

其中四边形ABCD为平行四边形，因为AB+AC=2AO,

所以。为AD,BC的交点，又|瓦？|二|石？|二|沆|,

所以三角形AOC为等边三角形，

所以Z.ACB=60°,且BC为外接圆的直径，

所以Z.ABC=30°.

在直角三角形中，8C=2,AC=1,

所以AB=V3,则向量BA在向量BC方向上的投影的数量为IBA|cos^ABC=V3x^=|.

故选项D中说法正确.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

12.【答案】A；B；D

【解析】/(x)=1sin2x-1+c^s2y=ysin(2x~7)~1•

当％W(()*)时，2%*W(*,0),函数f(外为增函数，故A中说法正确；

令2x—?=；+kWZ,得4=乎+日，kEZ,

显然直线x=y是函数fW图象的一条对称轴，故B中说法正确；

函数y=y-sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=4•sin12(无一割=当sin(2x-

的图象，故C中说法错误；

-2

/■（：十X）十r（_%）=Tsin（2x+；）-^+Tsin（X_7）一1

=ysin（2x+7）-ysin（2x+g）-1

=-1.

故D中说法正确.

【知识点】三角函数的图象变换、AsinWx+明形式函数的性质

13.【答案】1

【解析】因为a-b=(sin20,cos0)•(1,—cos0)=sin20—cos20=2sin0cos0—cos?8=0,

所以2sin8cos6=cos26.

因为0V8<B，

所以cos。>0,

所以2tan0=1,

所以tan。=1.

【知识点】平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式

14.【答案】|

【解析】IG-431=J|五|2+16Id|2-8ab=V41-8ab<

所以

/o

即d・3的最小值为1.

【知识点】平面向量的数量积与垂直

15.【答案】《，记

【解析】由题得/（x）=2sin（%+,）,

由2/nr+<x4-<2kTr十1n(kfcZ),

彳导2/cir4--<x<2kn+-it(k6Z).

66

令k=0,则7<x<7ir.

66

因为xG[O,TT],

所以函数fW在[0,n]上的单调递减区间为E，7T].

【知识点】Asin®x+w)形式函数的性质

16.【答案】2n；一g

1+<osx

【解析】由题知fW=A/3xl+；sinx-v=7sinx+vcosx=sin+?)-

所以/(x)的最小正周期为2n.

因为/(«)=]

所以sin(a+9=9

所以cos(2a+=1-2sin2(a+7)=9,

又因为21+与=；+。+力

OZXOZ

所以sin(2a+§=sin[(2a+y)~7]=-cos(2a+•二-g.

【知识点】Asin®x+v)形式函数的性质

17.【答案】因为在△ABC中，cosA=I,

所以sinA=l，A为锐角.

因为sinB=1,

所以sin/l>sinB,

所以4>B,

所以B为锐角，

所以cosB=£

JL

所以cos(/l-B)=cosAcosB+sinAsinB=-x—+-x—=—.

51351365

【知识点】两角和与差的余弦

18.【答案】

⑴设乙=(X,y),由题意得=20,

解得｛浮或疼二：

所以C=(2,4)或"(-2,-4).

(2)设6与B的夹角为0,

由(G+2b)1(2a-5),知(a4-2b)-(2d-b)=0,

即2d2+3a-S-2b2=0,

所以d-b=^(b2-a2)=2,

三

所以cos"器5

而X-

215

【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算

19.【答案】

f(x)=sinxcos-+cosxsin-4-sinxcos--cosxsin-4-cosx

'3333

=Zsinxcos7+cosx

(1)3

=sinx+cosx

=V2sin(%+：).

所以函数/(%)的最大值为四.

(2)因为/(x-=V2sin(x-,

所以Vlsm1-3)=-子，

所以sin--，^sinx-cosx=一：，

\4/5225

所以sinx-cosx=一塔，

所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=,

所以2sinxcosx=三,

所以(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=—.

25

当膏时，

sinx+cosx<0,

所以sinx+cosx=一塔,

所以

2sinzx-sin2x_2sinzx-2sin>:cosx

tanx+1~

cosx

_2sinxcosx(sin%-cosx)

sinx+cosx

—

一40

S

21

-100,

【知识点】二倍角公式、Asin®x+叫形式函数的性质

20.【答案】

(1)因为OX=(2cosx,V3),OB=(sinx+V3cosx,-1),

所以

fM=OA-OB+2

=2cosxsinx+25/3cos2x-V3+2

=sin2x+V3cos2x+2

=2sin(2x++2.

令2kir+<2x+三W2kn+GZ,

得ku+<x<kir+£,k&Z.

所以fW的单调递减区间为[/cn+^,kn+^](/cGZ).

(2)因为“6(0弓)，

所以2%+第,

所以—fvsin⑵十1)《1,

所以fMe(-V3+2,4].

因为当x6(04)时,方程fM+m=0有实数根,

所以771e[-4,V3-2).

【知识点】Asin®x+w)形式函数的性质

21.【答案】

(1)由题意可得f(%)max=4=2,5=1，即T=H,

所以3=年=啰=2,

故fW=