第二十七章 一元二次方程（知识清单）-八年级数学下册【含答案】

第二十七章一元二次方程

思维导图

1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最总

次数是2的整式方程

一、一元二次方程的概念

1、一元二次方程的定义

(1)一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数：

③未知数的最高次数是2.

判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知

数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"：“整式方程”.

2、一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0(QWO).这种形式叫一元二次方程的一般形式.

其中Qf叫做二次项，Q叫做二次项系数：bx叫做一次项：C叫做常数项.一次项系数b

和常数项C可取任意实数，二次项系数Q是不等于0的实数，这是因为当"0时，方程中

就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

二、一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一

个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次

方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这勺，刈是一元二次方

程。X2_队十。=0(Q/0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解

未知量.

2

Qxj+bxi+cR(QWO),ax2+/?x2-»-c=0(aWO).

三、一元二次方程的解法

1、解一元二次方程-直接开平方

形如*2=「或(nx+m)2=p(p2o)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二

次方程.

如果方程化成*=。的形式，那么可得火=土行；

如果方程能化成(nx+m)2=p(p20)的形式，那么nx+m=土石.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

2、解一元二次方程-配方法

(1)将一元二次方程配成(x+m)2』的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一

元二次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c=0(QWO)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一

个负数，则判定此方程无实数解.

3、解一元二次方程-公式法

(1)把口二—也"(b2-4oc^0)叫做一兀二次方程Qx2+bx+c=0(QWO)的求根公

式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a,b,。的值（注意符号）；

②求出b?-4QC的值（若庐-4&（:<0,方程无实数根）；

③在b2-4Qc'O的前提下，把a、b、。的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a#0；②b2-4Qc》0.

4、解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解•元二

次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的

积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的

解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题

了（数学转化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零：②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每

个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都

是原方程的解..

四、一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程

求所列方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为Q,十位数是b,则这个两位数表示为10b+Q.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是Q,每次增长的百

分率为X，则第一次增长后为Q（1+X）；第二次增长后为Q（1+X）2,即原数X

（1+增长百分率）2二后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用

三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次

方程.③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之

积，得到一元二次方程.

易错总结

易错点1利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略

1.易错点总结：在利用一元二次方程定义求参数时，常因仅关注未知数最高次数为

2,忽略二次项系数不能为0的条件.例如，在方程（m-1）x2+3x・5=0中，直接由x次

数为2得出m的值，而未考虑导致解出增根.

2.注意事项总结：求解含参一元二次方程问题时，必须先明确二次项系数不为0这一

前提条件，再结合未知数最高次数为2列方程或不等式求解参数，最后对所得结果进

行检验，确保方程符合一元二次方程的完整定义.

例题1.

（24-25九年级上-云南昆明-期中）

1•若关于X的方程（〃L2）X42+x-3=0是一元二次方程.则m的值为

易错点2利用一元二次方程的解求待定系数时忽略

1.易错点总结：在已知一元二次方程的解求参数时，容易只将解代入方程求解，忽

略二次项系数不为0的条件.比如已知x=l是方程（Q-2）x2+3x・l=0的解，直接代入

得到关于。的等式，却未验证Q-2W0,可能会把使方程降次为一次方程的参数值误当

作答案.

2.注意事项总结：将方程的解代入含参方程后，必须先检查二次项系数是否为0.若

二次项系数含参数，需单独讨论其不为0的情况，再结合解的条件求解参数，最后检

验所得参数值是否符合一元二次方程的定义.

例题2.

2.关于x的一元二次方程（川-2）N+X+M-4=1有一个根为0,的值是

易错点3利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略

1.易错点总结：使用判别式△二庐・4吨求字母值或取值范围时，常因直接套用公式

而忽略二次项系数QWO的前提,例如，在方程（m-1）火2+”+1=。中，仅根据△与

0的关系求解m,未考虑m・1=0时方程变为一次方程，导致结果错误或漏解.

2.注意事项总结：运用判别式前，需先明确方程二次项系数不为0,再结合△的情况

列等式或不等式求解参数：若二次项系数含参数，应分二次项系数为0（一次方程情

况）和不为0（二次方程情况）两种情形讨论，最后综合得出符合条件的参数值或范

围.

例题3.

3.已知关于x的一元二次方程以2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是

易错点4利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△声0”

1.易错点总结：在利用根与系数关系（韦达定理）勺+*2=4,M2=怵值时，易

直接代入系数计算，忽略一元二次方程二次项系数aWO的条件.例如，对含参方程

（k-l）X2+3X-2=0,未判断k・lKO就使用韦达定理，可能将使方程变为一次方程

的A值作为正确答案.

2.注意事项总结：使用根与系数关系前，必须先确定方程二次项系数不为0；若系数

含参数，需分二次项系数为0（方程为一次方程，不存在韦达定理应用条件）和不为0

（二次方程）两种情况讨论，最后检验所得参数值是否符合要求.

例题4.

4已知关于x的方程x2-2（…l）x+M=0有两个实数根与，乱

（1）求k的取值范围；

（2）若勺+工2=1一，工2,求k的值.

易错训练

5.当〃尸时，关于x的方程（〃?-2）冽+2x7=0是一元二次方程

（24-25九年级上-辽宁锦州-期中）

6.若方程（01）的1-次=7是关于/的一元二次方程，则％=.

（24・25九年级上-河北张家口,期中）

7.若关于x的方程（〃-4）的—+是一元二次方程，则小的值

为.

&若关于x的方程加^^+6%=3是一元二次方程，则〃泊勺值为.

（24-25九年级上•云南昆明•期中）

9.关于x的一元二次方程（。-1）心+、+。2-1=°的一个根是o,则Q的值为

*

（24-25九年级上•湖北恩施・期中）

10.若关于x的一元二次方程（1+。）#+公-〃2=0有一个根是一1,贝ij。=

1L已知x=l是一元二次方程（〃L2）H+4X-加2=°的一个根，则小的值为

（24-25八年级上•上海•期中）

12.关于x的一元二次方程（〃?+2）储-6.丫+〃72-4=0有一个根为0,则方的值为

（23・24九年级上•湖北黄石-期中）

13.已知关于x的一元二次方程（左十l»2-2x+l=0有实数根，贝此的取值范围是__________

14若关于x的一元二次方程。鹏4"有两个不相等的实数根，贝必的取值范围为

15.关于x的一元二次方程(加-2)超+以+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范

围是___________________

16.若关于x的一元二次方程〃7#-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是一

(24-25九年级上・四川宜宾・期末)

17.已知关于x的一元二次方程N-2(〃L1)X+〃R=0.

(1)若方程有两个实数根，求机的取值范围；

(2)在(1)+，设勺、该方程的两个根，且(修+1)(也+1)=7,求〃7的值.

(24・25九年级上-陕西咸阳・期末)

18.已知关于x的一元二次方程炉+(2〃?+1»+〃，­1=°有两个实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若方程的两个根修，工2满足阳+叼+勺叼一6=0,求m的值.

(24-2S九年级上•辽宁鞍山-期中)

19.已知关于x的一元二次方程解-(而+3)"加2+2=0.

(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为修、叼，且满足W+丐=31+|修必1,求实数m的值.

(参考结论：若关于x的一元二次方程以2+6+。=0(。彳0)的两个根为修，心，则

x+,xhxxc

\2=~af\2=a)

(24-25九年级上•江苏宿迁•期中)

20.定义：已知町，叼是关于x的一元二次方程。x2+6x+c=°(〃R0)的两个实数根，若

町

肛＜与＜。，月.3,五＜4,则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程

—io

门+1次+30=0的两根为》1=70,3=-3,因一1()＜一3＜0,3＜~＜4,所以

一元二次方程N+i3x+3O=O为“限根方程”.

请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)判断：一元二次方程显+1以+33=0“限根方程”(填“是”或“不

是")；

(2)若关于x的一元二次方程W+Ax+A+5=0是“限根方程”，且两根勺、Q满足

x^xl-2xlx2-25=0i求k的值；

(3)若关于x的一元二次方程山+(2-〃7»-2〃?=°是“限根方程”，求m的取值

范围.

答案

1.-2

【分析】

本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是

解题的关键.

根据一元二次方程的定义列式计算即可.

【详解】

解：•・•关于X的方程(〃7—2)x心2+x—3=0是一元二次方程.

・・・加2-2=2且〃L2R0,解得：加=-2.

故答案为：-2.

2.土在

【分析】

本题考查了一元二次方程的解，根据一个根为0,得出苏-4=1,解得〃

即可作答.

【详解】

解：.•・关于x的一元二次方程(〃L2)X2+X+〃，_4=1有一个根为0,

・,•把x=0代入(〃L2)x2+x+m2_4=1,

得m2-4=1,

解得〃7=土后，

故答案为：土后

3.aVI且〃#0

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得，解不等

式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】

解：由题意得，△=(-2)2-4xaxl=4-4a>0且分0,

解得"1且"0,

故答案为：avl且〃#0.

(1)4的取值范围为(2)八・3

【分析】

(1)根据一元二次方程的根的判别式△=62-4"的意义得到ANO,即

4(k-l)2-4xlx^>0>解不等式即可得到左的范围；

(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到，+X2=2(〃-1),X]%2=M,则

2(A-l)=l-Zr2,即42+24—3=0,利用因式分解法解得好=-3,k?=\,然后由

(1)中的Z的取值范围即可得到女的值，

⑴小问详解:

解：■:关于X的方程N-2"-1)X+M=0有两个实数根，

AA>0,即4(左一l)2—4xIxF30,解得左44,

4的取值范围为：^-5；

(2)小问详解：

解：••・方程NT%-l)x+M=0有两个实数根勺，%

2

.,.：1+工2=2(攵_1),xix2=kf

-x1+x2=\-x1x2i

••.2(k-=即M+2%-3=0,

-k\=-3,左2=1,

.“当

:・k=-3.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程

和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数

的关系的性质是解决此题的关健.

5.-2

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的

整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出1训=2且〃?-2*0即可得

到答案.

【详解】

解：•・,方程(〃L2)WM+2X-1=°是一元二次方程，

.,.|制=2且加一2#0,

解得延=-2,

故答案为：-2.

6.-1

【分析】

本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式

方程叫做一元二次方程.一般形式为N="2+6+c(〃r0).易错点在于这个

条件容易被忽略.根据一元二次方程的一般形式即可得到答案.

【详解】

解：根据题意，得族1+1=2,且>1,0,

解得％=—1,

故答案为：-1.

7.4

【分析】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有

一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程.根据一元二次方程的定义得

到阳+4黄。且|川-2=2,然后解方程和不等式即可得到满足条件的机的值.

【详解】

解：•・•关于x的方程（相+4）由"-2工+3加=0是一元二次方程，

］加+”0

A||w|-2=2,

解得:m=4.

故答案为：4.

8.4

【分析】

本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓

住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次

项的系数不等于0"；“整式方程”.根据一元二次方程的定义得到加#。且

I〃L2|=2,然后解方程和不等式即可得到满足条件的机的值.

【详解】

解：••・关于x的方程（〃?-2）冽-5工+3=0是一元二次方程，

加#0且|加一2|=2

解得〃7-4：

故答案为：4.

9.-1

【分析】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是

一元二次方程的解.把x=0代入求解即可.

【详解】

解：把x=0代入（〃-1）炉+工+〃2-1=0,得

（a-1）x02+0+a2-I=0

・入2-1=0

:.a=±1

**a—1R0

:箝*1

.\G=-1

故答案为：-1

10.1

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知

识是解题的关键.根据一元二次方程的定义可得。羊一1,根据一元二次方程的解

的定义将x=-1代入原方程，得到关于。的一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】

解：・・・关于x的一元二次方程(1+。)显+公一展=0有一个根是户一1,

.・.(1+4)一。一[2=0且。#一1,

解得；々=1,

故答案为：1.

11."I

【分析】

本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为

一元二次方程的解.将工=1代入方程即可求解.

【详解】

解：将X=1代入方程得：(〃广2)+4-加2=0,

整理得：〃?2-2=0,

解得：〃7]=2,叱=-1,

V/M-2^0,即〃H2,

.*.///=-1,

故答案为：-1

12.2

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两

边相等的未知数的值是一元二次方程的解.注意一元二次方程的二次项系数不为

0.

将》=0代入方程得到〃"4=0,求出〃7=±2,然后由〃什2,0得到〃?#-2,求出

m=2.

【详解】

解：将x=0代入(〃?+2)X2-6X+〃?2-4=0,

.•切2-4=0,

.'.in=±2,

•.5+2彳0,即〃7,一2,

：.m=2.

故答案为：2.

13.ISO且0#一1

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得

△=（-2）2-4x（左+l）xlN0且上+1r0,解不等式即可求解，掌握以上知识点是

解题的关键.

【详解】

解：由题意得,△=（-2）2-4x（左+1）x1"且％+i,o,

解得左W0且〃#7,

故答案为：〃00且々声一1.

14.。<8且。#0

【分析】

本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关

键.

根据根的判别式当△>（）时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两

个相等的实数根：当A<0时，方程无实数根.即可列不等式，计算即可得答案，

【详解】

解：.・,关于x的一元二次方程”储-4%+：=°有两个不相等的实数根，

2

.A=4-4axl>0,且分0,

・,・"8且<8。,

故答案为：且。¥0.

15.〃?<4且〃?#2

【分析】

本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式.解题的关键是熟练掌握当

房-4或>0时，方程有两个不相等的实数根：当/-4zc=0时，方程有两个相等

的实数根；当/-而。<0时，方程没有实数根.

[A=42-4（W-2）x2>0

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到[m-2羊。,即

可求解.

【详解】

解：••・关于x的一元二次方程（〃L2）N+4X+2=°有两个不相等的实数根，

A=42-4（w-2）x2>0

-2Ho,

解得：〃?<4且〃#2,

故答案为：“7<4且〃7#2.

16.加<1且〃7,0

【分析】

本题考杳了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的文数根可以得到

判别式大于零，从而求出结果.

【详解】

解：根据题意,得〃#0且△=（-2）--4〃?>0,

解得〃7V1且〃7,0,

所以m的取值范围为〃?<1且〃汉0・

故答案为：机vl且〃7Ho.

17.1

⑴〃心2（2）-4

【分析】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识

是解题的关键.

（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到勺+巧=2（阳-1）丙巧=〃吃再将

（勺+1）（当+1）=7变形得到“工2+町+工2-6=0,再整体代入得关于〃泊勺方程，由

此解方程即可得到答案.

⑴小问详解：

解：・・,关于x的一元二次方程W-2（〃Ll）x+〃?2=o有两个实数根，

=[-2（m-1）]2-4〃?2>0

解得，加多；

（2）小问详解：

解：・・・项、是方程婷-2（加-1»+加2=0的两个根，

.・.阳+必=2O-1）"户2=*

又（町+1）（必+1）=7,

整理得，币叼+勺+&一6=0,

+2（〃7-1）-6=0

整理得，加2+.-8=0,

解得，加=-4或加=2（不合题意，舍去）

・・・〃?的值为-4.

18.⑴〃叱T；（2）〃?=4.

【分析】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系.掌握根的判别式以及

根与系数的关系的公式是解题关键.

（1）利用根的判别式△=/-4时>0,即可求出答案；

（2）先运用根与系数的关系得出勺+42一一（2，〃+1）,可攵一〃72-1,冉代入到

，+冷+可2-6=0,即可求出答案.

⑴小问详解：

・・・方程N+（2〃z+l）x+加2-1=°有两个实数根，

...A=（2m+1）2—4（m2—1）NO,

、5

解得〃叱

（2）小问详解：

•.・町和心是一元二次方程炉+（2〃?+1»+加2-1=0的两个根，

2

...町+工2=一（2加+1）,X]X2=w-1,

,工]+必+1&-6=0,

•••-（2次+1）+〃0-1-6=0,

m2—2m—8=0,

解得加1=4,叱=一2.

・•・加=4.

19.

（1）ni-12（2）m=2

【分析】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握当一元二次方程

有实数根时根的判别式AN0是解题的关键：

（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，

解之即可得出结论；

（2）利用根与系数的关系可得出町+'2=为+3、巧巧=加+2,结合

V+W=31+|xz2l即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值.

⑴小问详解：

根据题意得（2〃-3）2-4（加+2）N0,

、__L

解得让一12；

⑵小问详解：

根据题意句+丫2=2m+3,占b=加+2,

因为X]X2=〃R+2>0,

所以吊+裕=31+勺叼，即（勺+工2）2-3护2-31=0