绝对值函数与绝对值不等式重点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习备考

绝对值函数与绝对值不等式重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.已知关于X的不等式|x-l|+|x+l|2左恒成立，则实数攵的取值范围是()

A.k<0B.k>0C.k<2D.k>2

2.已知函数=若函数g(x)=/(x)-k—4恰有2个零点，则实数上的取值范围是()

A.[-l,e)B.]L[e,+oo)

C.(-1,1]D.

3.函数/*)=|2x-3|-8sinMxeR)的所有零点之和为()

A.9B.10C.11D.12

4.已知A,B,C是函数/(x)=|log2x|的图象上的三点，且4在大轴上，8C〃x轴，BC=^，则A&AC=

()

25-15-7卜5

AA.—B.—C.—D.—

4444

5.若不等式k+l|+|x-3|>/〃恒成立，则正实数，〃整数解的个数为()

A.4B.3C.2D.1

6.已知函数=2a2,若当x>2时，/(x)>0,则〃的取值范围是()

A.(~°°,1]B.[-2.i]C.[-1⑵D.1—1,-HO)

X?+2(40

7.已知函数/("=।；'一；记函数g(x)=/(/(x))-f(x)-2的〃个零点为百(』,2,M，

[log2困，X>U,

则中2乙二()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

8.对任意实数%,卜+1|+|3-目的最小值为一.

9.方程|24+2|+|3-2*=5的解集为.

10.已知/(力是定义在R上的增函数，且图象关于点(2,1)对称，若关于工的不等式

/(卜+4)+/(卜一4)<2方■解，则实数。的取值范围为.

II.若对于任意。力eR,总存在xeU,5]使得|V+aY+〃但〃?，则实数〃1的取值范围是.

/、[6x-2,x<1/、

12.已知函数/(1人根―x〉[，若存在实数。、b、c(a<b<c),满足乃=〃+c且

〃同)=7(例)=/(同)，则j=—.

13.设函数/(x)=l-|2x-〃Qe[05，若函数.71(1)图像关于直线x=g对称，求曲线)=/(/(”)的

长度为.

14.不等式卜+3|+卜，-闻>6对一切实数x恒成立，则实数〃的取值范围为.

rIr4-11r<1

15.已知函数/")=L"；,若函数g(x)=〃x)-如有三个零点，则实数/〃的取值范围

为.

三、解答题

16.已知函数/(x)=U+l|.

(I)求不等式.f(x}-2f(x-3)vx的解集：

⑵若关于x的不等式/(x+3)+/*-a)Nl恒成立，求实数〃的取值范围.

17.已知函数〃x)=|2x+l|+|axT|.

(1)当。=1时，求不等式/(')<3的解集；

(2)当。22时，存在xeR,使得/Oq+l成立，求实数。的取值范围.

18.已知函数/(x)=2|x+l|十卜-2|.

(I)解不等式/(力>4；

(2)当xNO时,不等式/(%)<奴恒成立,求2="的最小值.

19.已知/(x)=|x+l|+|2x—4|

⑴求不等式/。)工6的解集.

⑵若不等式/。)4/一的解集中包含区间口，3],求f的取值范围.

参考答案

题号1234567

答案CCDCBBA

1.C

【分析】利用三角绝对值不等式求出k=i|+k+i|的最小值，结合不等式恒成立，即可求得答案.

【详解】因为,-1|+k+1以X-1-(X+1)|=2,当且仅当(x-l)(x+l)WO,即—1W1时取等号，

故&W2.

故选：C

2.C

【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转亿为方程的根的个数问题，进一步转化为

两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.

【详解】解：由题意知,要使得g(x)=〃6Tx-H恰有2个零点,即g(x)=o有两个实数根.

当x>0时,^(x)=|liu|-|x-Z:|,令g(x)=O,可得|则二,一年

当x<0时，^(x)=ev-|x-A:|,令g(x)=O,可得,一用二?二

在同一坐标系下，作出函数)，=|1时，)，=/和y=的图象，

由函数y=lnx,可得);=1,可得x=l时，>,=0,川4]=1,

x

故函数)=14.在x=l处的切线方程为y=xT,

乂由函数丁=-12一，可得)/=一,，可得x=l时，、=。，yis】=T

X

故函数y=-hiv在X=I的切线方程为y=—X+1,

所以函数y=|问与y=|x-i|只有一个公共点，

结合图象得：当攵1时，g(x)恰有3个零点；

当-ivzwi时，恰有2个零点；

当A>1时，g(x)恰有3个零点，

要使得y=g(x)恰有2个零点，则满足-1VA41,

所以实数k的取值范围为(-1』.

故选：C.

3.D

【分析】将零点之和转化为g(x)=|2x-3|与力(x)=8sin?u图象交点横坐标的和的问题，后者可数形

结合求和.

(详解】函数/*)=|2/-3|-8sinnx(xeR)的零点即为12x-31=8sin兀r的解，

即g(x)=|2x-3|与/?(x)=8sinzr图象交点横坐标，

因为〃-=-8,故x=q为Mx)=8sin7u图象的对称轴，

而X=］也是g(X)=|2x—3|的对称轴，

又/心)=8sin7U-的最小正周期为2=2,

7T

在平面直角坐标系中画出g(x)jz(x)的图象(如图所示)：

因咽=8>2=g《),喝=8>6=g(%哈卜8<岭鼠

故g(x)=|2x-3|与/7(力=8而忒图象在％=的右侧有且仅有4个不同的交点，

故g(x)=|2x-3|与/(r)=8sin可图象所有不同交点的横坐标和为4x3=12.

【分析】首先画出图象确定点A的坐标，然后根据BC7/X轴设出的坐标，根据绝对值的对称性

求出它们的坐标，然后利用向量的数量积坐标公式可求出结果.

【详解】根据函数的解析式画出图象为：

o\1X

因为点A在x轴上，所以A(1,O).

15

因为所以设网司32m，贝logx+

24

根据绝对值函数的对称性，log2x=-log2fx+^l所以，=不\

14Jx+-

化简得：4/+15X—4=0,解得x=~4(舍去)或］=：.

4

所以8(；,2),C(4,2).

所以A"［-.),AC=(3,2).

所以4BAC=-2x3+2x2=’.

44

故选：C.

5.B

【分析】令"x)=k+l|+|x-3|,利用分段函数的性质，得到的最小值为4,求得0<加<4,结

合/〃为正实数，得到/”的整数解的个数，得到答案.

2—2x,x<-I

［详解］令/(X)=|X+1|+|X-3"4UK3,

2x-2,x>3

当x<-l时,函数/(x)=2—2r单调递减，所以〃力>/(—1)=4；

当一时，函数〃x)=4；

当x>3时，函数”x)=2x—2单调递增，所以〃力>〃3)=4,

综上可得，函数“X)的最小值为4,

要使得不等式|x+l|+|x-3|>，〃恒成立，则满足/〃<4,

因为“为正实数，所以0<〃?<4,所以用的整数解取值为L2,3,共有3个.

故选:B.

6.B

【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.

【详解】当a>2,x>2时，/*)=小一4-2/,

-x~+ax-2a~,2<x<a

当2vxva时，f(x)=-x2+ax-2a2,此时△=〃-4x2/=-7/<o，

所以“<0,不满足当x>2时，/(x)>0,故。>2不符合题意；

当0vaM2,x>2时，f(x)=x\x-a\-?a2=.x-2-ax-2a2=(.r-2^)(.r+^/)>0,解得

由于x>2时，/U)>0,故2aW2,解得0<aWl；

当a=0,x>2时，/(幻=/>0恒成立，符合题意；

当av0,x〉2时，f(x)=x\x-c^-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x〉一〃，

由于％>2时,f(x)>0,故nM2,解得-2Wa<0.

综卜—2K〃KI.

故选：B

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对〃分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解工>2时的

f(x)=x\x-d\-2cr=x2-ax-2a2=(工一2«乂4+4)>0的解集，从而可求解.

7.A

【分析】令/(x)=，N。，则馋)="/)——2,/=0时，求出力⑴的零点八=0；0<Yl时，利用零

点存在定理得存在零点/>1时，利用导数研窕其单调性，进而得的)在(1，y)上无零点，

则硝)有两个零点乙=0/2m从而求出函数仪月的零点，即可得解.

4)

x?+2T<0

【详解】由题可知/3=|隧乂］；0,83=/(/(1))—73-2,

令/(司二壮0,则〃⑺=〃/)T—2,

当f=0时,A(0)=/(0)-0-2=0,此时〃(f)有唯一的零点0=0；

-log2/-/-2,0</<1

当/〉0时,Z:(/)=|log2/|-/-2=^

log2r-/-2j>1

当0W1时，〃(/)=_log2，_/_2单调递减，且/0=(〉0,/(；)=_；<(),

所以存在f2cm，使得根)=0；

当/>1时，/z(/)=log2/-Z-2,则力=

令力1<z<log2e,令“'(/)<0,^r>log2e,

所以〃(/)在(1,嚏2©)上单调递增，在(1鸣&*°)上单调递减，

X1<log2e<2,所以力⑺K//(log2e)=log,(log2e)-log2e-2<0,

所以在(1,口)上无零点，

(|1A

所以％)=〃/)-―2在其定义域［0,”)上有两个零点.

当〃力=”0时,因为Y+222,所以由f(x)=0,得降2)=0(”>0),解得x=l;

当/(1)=，2时，由4€得|唾2可=，2(工>0)，工=2土或x=2〃，

所以函数g(x)=/(/(r))-/(x)-2共有3个零点，分别为$=也=2-"3=2"，

所以内中3=1.

故选：A.

8.4

【分析】方法1：利用绝对值三角不等式的性质易得；方法2：利用分类讨论去绝对值法即得.

【详解】方法1：由绝对值三角不等式，可得|X+1|+|3-MW(X+1)+(3-X)|=4,

当且仅当(X+1)(3-X)N0,即-1分43时,k+1|+上一3|取得最小值4.

力法2：设/(x)=k十1|十|3—X=卜十1|十打一3|,

当xv-1时，/(X)=-x-l-(x-3)=-2(x-l)>4；

当-1W3时，/(x)=x+l-(x-3)=4；

当x>3时，/(x)=x+l+(x-3)=2x-2>4.

综上，可得«+1|+|3-八|的最小值为4.

故答案为：4.

3一

9.-L-

L2J

【分析】根据零点，分区间讨论去绝对值，即可求解.

【详解】原方程等价于|2x+2|+|2x-3|=5,

33

当xN1时，2x+2+2x-3=5i=

当xW-1时，-2x-2-2x+3=5,得x=-l,

当T<x<|时，2x+2+3—2x=5恒成立，

综上可知，方程的解集为-1,].

「3-1

故答案为：

10.(-2,2)

【分析】根据对称性，将不等式化为/(|X+。|)</(4-卜-。|),问题化为卜+4+H—4<4有解，应用

绝对值的几何意义有2时<4,即可求范围.

【详解】由题意/(4一力+〃力=2,所以/(卜+。|)<2-/(卜-4)=/(4-卜一如，

因为/(X)单调递增,所以|x+d<4-|x-4,

即上+4+上一汁<4有解，而,一+4+,一422同，

所以2同<4,得-2<a<2.

故答案为:(-2,2)

11.(-8,2]

【分析】设/(1)=/+办+人令/⑴=_〃3)=/(5),求出/(X)的最大值，进而确定加取值，再就

确定的范围说明对任意〃力wR符合题意.

【详解】]SLf(x)=x2+ax+b,

一方面，令/'(1)=一/(3)=/(5),即1+。+〃=一9一3。一〃=25+5。+人，解得“=-6,〃=7,

此时/(%)=.——61+7=。-3>2,"(x)l在上的最大值为2,因此〃?《2；

另一方面，当〃区2时，考虑/⑴=1+。+8，f(3)=9+3a+b,/⑸=25+5〃+〃，

则8H/(I)-2/(3)+/(5)凶/(I)|+21/(3)|+|/(5)|,

于是"⑴1,1”3)1,1/(5)|中至少有一个不小于2,符合题意，

所以实数初的取值范围是(-8,2].

故答案为:(-8,2]

【分析】作出函数f(IX)的图象,当re(0,4)时，方程川x|)=，的解分别为31、再、

$(内<毛<玉<兀)，根据题意可知，〃、b、C,对应的数为不、工2、匕或工2、工3、几，不妨取“、/八

。为对应的七、七、匕，可得出〃=F,进而得出6〃-2=23-2，令y一1=〃，则2"=22-“，构造函数

2u

g(lt)=2--2u,结合函数的些调性求出〃的值，可得出力、。的值，即可得解.

6x-2,x<I

【详解】函数/(1)=I”，

函数/(可)的图象是保留函数”力在［。，不动上的图象，并去除函数“X)在(YO,0)上的图象,

再将函数/(可在［0,xo)上的图象关于)'轴翻折，可得到函数/(H)的图象，

作出函数/(附的图象如下图所示：

-2J

当fw(0,4)时，方程/(k|)=，的解分别为七、々、匕、儿(4<%<$<七)，

由/(|。|)=/(性|)=/(M)，得〃、b、C为4、占、七、%中的三个数，

而2/?="+C,且W-$=七一七，则〃、b、。对应的数为4、为、毛或戈2、13、%，

根据对称性，不妨取4、b、C为对应的/、%3、％，

由工3=一再，得6=-*又a+c=2b,则c=3b,

而6.一2=2”。，因此劭一2=2小，令初一1=〃，贝1」2〃=22-"，

函数gQ)=22T-2u为减函数,且g⑴=0,

则方程2〃=2?-"的解为〃=1,即38—1=1,解得》=：2,«=-21,所以力-〃=14.

故答案为：々4

13.V17

【分析】首先根据对称的性质求出机的值，然后将/(/(H)的解析式表示出来，进而可求出曲线的长

度.

【详解】•・•函数/(x)图像关于直线x=g对称，

：・q=:,即〃?=1，所以/(x)=l—|2x-l|,x«0』，

4X,XG10,-)

4

2x,xe0,-^j2-4.r,xe[i,i)

所以/%)=•1，那么>=/(f(x))=,

13

2-2x,xe—J4x-2,xe[-,-l

2

3

4-4A；xe(-,H

4

画出图象如图所示,

所以曲线段y=/(/(x))的长度为|OA|+|A8|+忸C|+|cq=4y+(；J=布.

故答案为：Vl-7.

14.(一一叭(3,a)

【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可.

【详解】卜+3|表示x到-3的距禽，|。一闻二卜一4表示x到。的距於i，它们的和为x至IJ-3和.)至ija的距

离之和，

根据三角不等式，当工位于-3和。之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为卜-(-3)|=|〃+3],

所以不等式k+3|+|a-,v|>6对一切实数x恒成立等价于若最小值|〃+3|>6,则原式对所有T恒成立,

所以。+3>6或。+3<-6,解得a>3或av-9.

故答案为：(―oo,-9)(3,+8).

15.(0,1)52收)

【分析】分离变量，转化成)，=犯与y=〃?的交点问题，作出y=犯的图像，即可得到答案.

XX

【详解】易知X=O为g(%)的零点,当XW0时，令x(x)=/("-g=0,得犯=〃?，

X

|x+l|,x<

令力(切=与

可得到MM=*,作出的图像，

---,x>1

X

如卜图，依题意，只需y=，〃与y="(x)有两个交点即可.

由图可得加£(0,1)D(2,+8).

故答案为:(0,1)52+8)

(2)(^o,-4](J[-2,-KO)

【分析】(I)依题意可得卜+1卜2k-2|<]，再利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集,

即可得解；

(2)利用绝对值三角不等式求出/*+3)+/@-幻的最小值，即可得到,+3|之1,从而解得.

【详解】(I)由./•(%)-2/(工-3)〈“得卜+1卜2,一2|<》,

x<-\-l<x<2x>2

所以原不等式等价于或，或，

-x-l+2x-4<xx+\+2x-4<xx+\-2x+4<x

35

解得xW-1或一1vx<7或,

22

所以不等式的解集为卜8m)u(m，+8)

(2)因为/(x+3)+/(x-a)=x4-4|+|x-f/+l|>|(x+4)-(x-tz+l)|=p/+3|,

当且仅当(x+4)(x—a+l)W0时等号成立，

所以/(x+3)+/(X-〃)的最小值为M+3|,

因为/*+3)+/(%-。)21恒成立，

所以卜+3|21,所以a+3?1或Q+34—I,解得〃之一2或

所以实数。的取值范围(FT][-2,+OO).

17.(1)[-1,1]；(2)(2,+oc).

【分析】(1)利用零点分区间法去掉绝对值符号，然后解不等式组即可得解;

(2)利用零点分区间法去掉绝对值符号，然后对〃分a=2两种情况进行讨论，即可得到实数,的取

值范围.

3x,x>1,

【详解】解：⑴a=l时，/(x)=|2x+l|+|x-1|=.x+2,-1,

-3x,x<—,

2

1_x<一；，

[r>1-----<-v<

则不等式/(x)K3可化为《-'或2或j2

1"-J[x+2<3-3x<3,

解得—IKxWl,即不等式/(同43的解集为

(a+2)x,xN—,

(2)当时，/(x)=|2x+l|+|ar-l|=>(2-£/)x+2,--^<x<—,

-(a+2)x,x<——.

当a=2时，2-a=0,/(x)在卜叱-耳上单调递减，在一5巧)上恒为2,在—,+°°上单调递增,

/(x)的最小值为2,此时不存在xeR,使得4%)<%1=2,不满足题意；

当。>2时，2-a<0,/'(X)在'双目上单调递减，在，+8)上单调递增，/(%)的最小值为

/f-1=—+1,令2+1<3+1,得〃>2.

\a)aa2

综上，实数。的取值范围是(2,+").

【点睛】方法点睛：绝对值不等式的常见解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法“求解，体现了分类讨论的思想：

③通过构造函数，利用函数的组象求解，体现了函数与方程的思想.

18.(1)卜8，-gU(0,-KO).(2)最小值为12.

【解析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值，再