解析几何中的非对称计算-2026高考数学一轮常考题

91.解析几何中的非对称结构与应用

一.基本原理

在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似"二变1为定值的情形，通过直

（必+2区

线代换可得：%-沪=烂+对再=竽+，,但此时式子并不能完全整理为韦达定

（必+用

Z）x2+6o）x2+bx2

理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”.或者在处理斜率比值的时候:

必一

kPA_X]_x2y\-tx2_kx}x2+(m-t)x2

L必一tx}y2-tx}kx}x2-\-(m-。芭

还有诸如线段的比例关系会得到，毛=疝2或者凹=不，2的结构.（凌点数学）

我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到X+%和

之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法.

这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：

（1）利用关系式义+!=±+%=（*+'）-2,将问题转化韦达定理求解.

Xx2%X1•x2

（2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

具体办法之一为联立方程后得到韦达定理」*+/=，（/）=加⑴（司+左）=〃（/）为0代入

X/2=g。）

之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析

二.典例分析

例L（2023年新高考2卷）已知双曲线。的中心为坐标原点，左焦点为（-2行,0）,离心率

为石.

（1）求。的方程；

（2）记。的左、右顶点分别为4,4,过点（-4,0）的直线与c的左支交于〃,N两点，M

在第二象限，直线.“4与N外交于点尸.证明:点尸在定直线上.

解析：（i）设双曲线方程为£-E=ig〉o/>o）,由焦点坐标可知c=2石,

a~b'

则由e=-=百可得a=2,b=Jc2—a?=4，双曲线方程为—=1•

a416

（2）（方法1）消x留V

由（1）可得4（-2,0）,4（2,0）,设M（X1jJ,N（X2,为），显然直线的斜率不为0,所以设直

线的方程为'=四，-4,且与上—21=］联立可得

22416

(4m2-\］y2-32wv+48=0,且△=64(4〃/+3)>0,则%+为=「裂］，必必=~7~T~~,

''4m-14nr-1

直线必4的方程为尸告（工+2）,直线N4的方程为广号卜-2）,联立直线与直

X|+2X2-Z

X+2=)，2(&+2)=3(〃3一2)=〃史乃-2仇+巴加2%

线板2的方程可得:

x-2y.(x,-2)必例8-6)my.y2-6yt

m•4-2・牛+2队

4"厂一14〃广-1______4"-I由"|=一:可得x=—l,即与=-1,

48m/3x-23

卅3-6丸w^-6-V1

4W2-11

据此可得点夕在定直线x=-1上运动.

（方法2）消歹留X

记过点（-4,0）的直线为/.当/与X轴垂直时，易知点

M(-4,4&),N(-4,-4此,P(-1,-2V3).

当直线/与x轴不垂直时,设点必(项，y),N(%,%)/(%/o),直线/:)，=%(x+4).将

y=k(x+4)代人二-二=1,得

416

2

A>0.

(4-公-8二工—06+16/)=o.依题意,得\X]x2>0,

X]+x2<0,

8k2-16(1+2

占+'2=屋不'中2二4一公

4

设r,r2=〃阳+&)+，，即2网_十〃—"(I'")即为々=一2(3+々)-4①.

4—r4_k22

直线必4的方程为尸（x+2）,直线N4的方程为＞，=上^（'-2）,联立直线"4与直

X,+2x2-z

线幅2的方程可得：”二切,2-=fl

%+2.（再+2）（x2+4）（xl+2）

—

即xn—百2二X.X-)—大2x.+奇4X7—>8将①代入式得Mxn—r2*—3(3点x,xT?+8"),即一1，

据此可得点P在定直线x=-\上运动.

Y2v2

例2.已知点尸为椭圆匕二十匕=1的右焦点，48分别为其左、右顶点，过尸作直线

43

/与椭圆交于N两点（不与48重合），记直线4M与的斜率分别为占次2,证明2

为定值.

吃匚1

解析：方法1.先联43，消x得(4+3/)/+6少一9=0,易知△>(),则

x=ty+\

6t

必十〜时3

；.仍必=］（必+为），代入目标信息得，

■=-巾一

3/、13

L八，y,V；（必+%）一必k彳1

T-=0|2r1=Y-----------稍作整理，即可得＞二^——5-=-,为定值，得

人2糙为+3%|（J…）+3%&V+.

证.

若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数,

3

9(6/、义=——

设必)2=丸(必+必)+4=-77^=;[12t，

tD，\•，，J八

〃二0

二%%=式必+%)，完毕，实质上，利用上述待定系数法我们可以进一步解决歹二区+加

的情形.

(3、(3、(3、

方法2.显然先考虑直线/斜率不存在时的情形，此时历I,-,NL-7，或M1,--

I2JI2)I2)

(1313K1

T2＞对应为-”2=5或「一天一于此时均有亡针为定值・

当直线/斜率存在时，不妨就正设直线/：y=k(x-\)t联立43

y=k(x-\)

8%2

马+/二百？

消y得(3+4k2)x2-8k2y+4伏2-3)=0,易知△>0,贝卜

4(左2—3)

2=-

解得2,

设……)+…祟45+也

〃=-4

即演X2=5(再+工2)-4.

5/、，、13

则人内―=53+'2)-4-2."/+n、/+*,

=",得证.

h演々一事+〃2—2|(西+马)―4—须+2'2—2|X1+|X2-6

例2.(2018年重庆预赛)设椭圆。的左、右顶点为4B(a,0),过右焦点尸(1,0)作非水

L

平直线/与椭圆。交于尸.。两点,记直线4P,BQ的斜率分别为k},葭，试证:1为定值,并

k2

求此定值(用。的函数表示).

X2y2

证明：设/：1二夕+1,代入椭圆方程j+口一二1得

a2a2-l

((a2-I)/2+a2)y2+2(a2-l)(y-(a2-I)2=0,

4

设尸（“）,%⑼，则必+必=-（=）二2,丑m二

两式相除得"三二一7r,如%=土JJ+%）.

乂为“-I'2

由题意知《=」^二—匕一,匕二1^二—上一

玉+Q伊I+。+1“x2-aty2-a+\

从而Q+1)二薪>一帅然+%)/2—〃…必+乂

(42—24+])乂+(々2—1)必

*2*42

(a-l)yt+(a+2a+l)y2

a~-2a+\_a-\_a~-1所以4=伫L

因为

a2-1a4-1a2+2a+1

k24+1

可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构，所谓蝴蝶定理，指的

22

是：力、8分别为椭圆=1（。>6）的左、右顶点，7亿0）为x轴上一定点，过M

crh-

直线交椭圆于C。两点，连接力C8。，那么产=—.

例4.已知椭圆。：士■+与=1（〃>〃〉0）的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点相同，椭圆C

crb~

的离心率为—.

2

（1）求椭圆C方程；

（2）若直线/：y=h+2交椭圆C于2、。两点，/交丁轴于点R.

（i）求三角形。。。面积的最大值（其中O为坐标原点）；

（ii）若而二2而，求实数九的取值范围.

解析：（1）由e=£=!，可得。=2c,故〃=/_C2=3C2,设椭圆0：二+二=1.

a24c~3c~

又抛物线V=4x的焦点（1,0）,即c=l,・,•椭圆。:工+仁=1.

43

（2）⑴当且仅当/=?（/>0）,"25.当时,等号成立，此时面积最大为瓦

5

(ii)RP=(xiiyi-2),RQ=(x2,y2-2),Ro=2R。=/==2=」，

」+_1=±+2=国+工)2,Z+-+2=

2x2$x1x22

,,,4-164k264/；,1

■a,76kx.-X,=---------=>2+2+—=-------丁=-------\k~>—

又*2=23+4K23+4*/+4(4

k

z=>A+2+-!-G(4J6)=>A4--G(2,14)^>Ae(7-4>Aj)u(l,7+4^-).

AA

下面我们将会看到，在很多定直线问题中也会出现非对称韦达定理的结构.

例5.己知椭圆C:£+5=l（a>b>0）的离心率为2点A,8分别为C的上下顶点，点

（Tb'5

。（0,1）为48的四等分点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点。的直线/与C交十异于A,〃的E,F两点,且直线力上，BF交十点M,证

明：点M在定直线上.

解析：（D由题意可知，£=正，因4（。/），B（O,-b）,且。（0.1）为44的四等分点，所

a5

c_\/5

以26=4,所以8=2,又知/=4+°2,所以由5,解得。=石，c=\,

a2=4+c2

故椭圆。的方程为二+E=1.

54

（2）由题意可知，直线/的斜率存在，设直线/方程为），=依+1,七（%,必），〃（占，乃）・

x2/

—+—=110左15

由《54,得(5/+4卜2+10米―15=0所以$=-

5/+4

y=kx+\

所以3（玉+/）=2初七.由（1）可知,4（0,2）,5（0,-2）,

所以心「二上1二2=殳」，所以4E的方程为卜=4二1+2,

卜+3

同理可知BF的方程为V=一匚一x-2,将两直线方程联立方程组可知,

x2

2覆+2/

kxx-1kx2+3_2(lkxxx2+3x1-x2)2[3(耳+与)+3%-x?]

4,故点M在定直线），=4

&.3x)+x,3再+x2

kxx-1履2+3

上.

6

三.习题演练

1.已知4（-LO）,C（1,O）为“8C的两个顶点，Q为』8c的重心，边力。,力4上的两条中线

长度之和为6.

（1）求点P的轨迹。的方程.

（2）已知点7（-3,0）西（-2,0）,尸（2,0）,直线/＞”与曲线。的另一个公共点为。，直线E尸与

FQ交于点M,求证：当点尸变化时，点M恒在一条定直线上.

【详解】（1）因为P为“8c的重心，且边/C,/也上的两条中线长度之和为6,

所以仍用+俨。|=？6=4＞忸q,故由椭圆的定义可知/＞的轨迹c是以8（-l,0）,C（l,0）为焦

点的椭圆（不包括长轴的端点），且。=2,。=1,所以方=百，所以，的轨迹C的方程为

?+?=1（户±2）；

x=my-3

（2）设直线”?的方程为：£=〃少-3,。&,乂）,。（5,当），联立方程］//得：

---1---=1

43

（3W2+4）/-18叩+15=0,贝IJ必+%=O,必力=J,所以2町为==（凶+%），

3/w+43m+43

又直线PE的方程为：y=—%卜+2）=一\（x+2）,

又直线少的方程为：八△（X-2）=4（X-2）,联立方程.-,得.

户占（x-2）.

、〃少2一5

“2（2孙为一厂5“把2叩仍=沁+必）代入上式得：

一必+5凹3

径，_10,14_

_13%一丁刃_§（必一5%）_4,所以当点尸运动时，点”恒在定直线x=-二上.

x————3

一.%+5凹一心+5M3

2.已知椭圆E:£+E=l（。＞人＞0）的离心率为正，且点（拽,—五）在椭圆E•上.

a~b~233

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若过定点HO,2）的直线交椭圆E于不同的两点G、”（点G在点尸、，之间），且满足

而=4而，求7的取值范围.

c_V2

a2a=V2

-\，解得：，

【详解】(1)由题意可知：b=\.二椭圆。的标准方程为：y+/=l.

3+-l=ic=1

/h2

a2=h2+c2

__I__1

(2)①当直线G〃斜率不存在，方程为x=0,贝|JR7=§切，=

y=kx+2

②当直线G“斜率存在时，设直线G"方程为y=h+2,联立/得:

I”=，

（!+公）./+4匕+3=0.由△=16F-12（；+F）>0得：/设G（X1,必），H（x2,y2）t则

-4k-8k36

——TTiF,，+左2-1+2*,又西=2而，(%,乂-2)=以/，必-2),

22

22,则人十

.6+匕）：%+迨+2=21+2-3如32

3（1+W

中2工2X

由于公所以4<4+；+2〈肉，解得：又0<2<1,^<2<1

综上所述：4的取值范围为今,1).

22

3.已知双曲线C:5一彳=1(〃>0/>0)过点力(3,-JI)，且渐近线方程为x±JJy=0.

a'b"

⑴求双曲线C的方程;