实战演练06 立体几何中的平行问题（新高考卷）学生版

实战演练06立体几何中的平行问题

考点归纳

①利用中位线证线面平行

②利用平行四边形证线面平行

③利用线段成比例证线面平行

④利用线面平行的性质定理证线面平

行

⑤利用面面平行证线面平行

⑥四点共面问题

必备知识速记

一、直线与平面平行

1.定义：直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/〃a

假如一条直线和一个1//a

平面平行，经过这条/u/

线〃面二线〃线直线的平面和这个平

面相交，那么这条直

线就和交线平行

二、平面与平面平行

1.定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和夕，岩ad，则口〃夕

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理假如•个平面内有两条相

线〃面二>交的直线都平行于另一个a"B、b///3^>a///3

面〃面平面，那么这两个平面平行//

（简记为“线面平行=面

面平行

线，面=假如两个平面同垂直于一/JLa]八

\na"B

面〃面条直线，那么这两个立面平lLp\

行/1/

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

假如两个平面平行，那么

面/；面=>

在一个平面中的全部直a/IB}八

线/湎/"/}=>〃//£

线都平行于另外一个平aua

面//

假如两个平行平面同时

和第三个平面相交，那么ZZalip

性质定理他们的交线平行（简记为ya!lb.

“面面平行=>线面平£2on，=b

行”）

假如两个平面中有一个

面/;面=垂直于一条直线，那么另alip八

线面一个平面也垂直于这条ILa

直线£3

名校模拟探源

①利用中位线证线面平行

解题技法

（1）可以拿一把直尺放在心位置（与尸8平齐），如图一；

（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移动，直到直尺第一次落在平面AC£内停止，如图二;

（3）此时刚好经过点后（这里娴熟后可以直接凭数感直接找到点E）,此时直尺所在的位置

就是我们要找的平行线，直尺与AC相交于点尸，连接如图三；

（4）此时相、石尸长度有长有短，连接2从瓦'并延长刚好交于一点。，刚好构成A型模型（E

为包＞中点，则产也为加中点，若石为等分点，则尸也为加对应等分点），PB//EF,如图四.

一、解答题

1.（24-25高二•上海•课堂例题）如图，点E不在平面A8c。上，4BCD是正方形，尸为BE的修正处中点.求

证：〃平面ACF.

2.（23-24而一下•江苏连云港•期中）如图，在三棱柱48C-A4G中，M为的中点,设平面z\BM与

底面48C的交线为/.

（1）证明:ACJ平面A3M；

3.（2025•河北•二模）如图，在四棱锥P—A3CZ）中，底面A8CD是菱形且NA8C=120。，△小。是边长为

2&的等边三角形，E,F,G分别为PC,BC,A。的中点，AC与AG交于点”.

（1）证明：PH//平面DEF；

②利用平行四边形证线面平行

解题技法

（1）可以拿一把直尺放在/位置，如图一；

（2）然后把直尺平行往平面根3方向移动，直到直尺第一次落在平面上钻内停止，如图二；

（3）此时刚好经过点3（这里娴熟后可以直接凭数感直接找到点3）,此时直尺所在的位置

就是我们要找的平行线，直尺与小相交于点O,连接80,如图三；

（4）此时厂长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连

接。£,刚好构成平行四边形8正O型模型（E为PQ中点，O也为以中点，OE为三角形R1D中

位线），OB//EF,如图四.

AA

一、解答题

1.（23-24高三上•广东湛江•阶段冻习）如图，在直三棱柱A3C-A8G中，AC1BC,E为A4）的中点，F

为8C的中点.

（1）证明：EF〃平面A8G；

2.（23・24高三下•辽宁•阶段练习）如图，在四棱锥P-A38中，平面R4O_L平面A3cO,△PAO是等边

三角形，底面/WC。是直角梯形，A3工BC,ABUCD,CD=2AB=2BC=4.

（1）若E为棱PD的中点，求证：4E〃平面P8C：

3.（2025•四川遂宁•模拟猜测）如图，在多面体A8CDE/中，四边形ABC。为菱形，AE=2BF,BF//AE,

BFLAD,且平面ACE_L平面ABC£>.

E

F

D

BC

（1）在DE上确定一点M,使得RW〃平面A4CO；

③利用线段成比例证线面平行

一、解答题

I.（23-24高一下•陕西渭南•期末）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面4BCD为等腰梯形，AD//BC,

r）A

AB=BC=CD=—=2,N为AC与BD的交点,M为PC上一点，且PM=2MC.

⑴求证：PA//平面DMB；

2.（23-24高一下.福建龙岩•期中）如图1,在平面四边形小中，PAA.AB,CD//AI3,

CO=2A8=2叨=24）=4.七是线段PC上靠近P端的三等分点，尸是线段C。的中点，。石八尸尸=加.将

△POC沿CO折成四楂锥P—A8C。，连接由，PB,BD,如图2.

3.（23-24高一下•广东深圳•期中）如图所示正四校锥5-八88,SA=SB=SC=SD=2,AB=应,尸为

侧棱S。上的点，且SP=3PD,求:

⑴若M为SA的中点，求证：SC，/平面3M。；

④利用线面平行的性质定理证线面平行

解题技法

假如一条直线和•个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线

平夕亍

一、解答题

1.（2025•广东•三模）如图，边长为4的两个正三角形ABC,BC。所在平面相互垂直，E,尸分别为BC,

的中点，点G在棱AO上，AG=2GD,直线A8与平面EFG相交于点〃.

（1）证明：BD//GH；

2.（24-25高三上•山西大同•期末）如图，四棱锥P-A3CZ）中，底面48C。为矩形，必，底面48c。，且

M,N分别为棱AB,PC的中点，平面CMN与平面PAD交于直线/.

⑴求证：MN〃I；

3.（2025・新疆・二模）在圆柱。日中，A8是圆。的一条直径，C。是圆柱。。1的母线，其中点C与A,8不

重合，M,N是线段3。的两个三等分点，BM=MN=ND,.45=2,CD=3.

（1）若平面COM和平面C4N的交线为/,证明：/〃平面4班）；

⑤利用面面平行证线面平行

解题技法

已知平面a〃平面力，则平面夕里的任意直线均与平面夕平行

一、解答题

1.（2025•辽宁•模拟猜测）如图，已知多面体A8COEr的底面A8CO为正方形，四边形8DE尸是平行四边

形，AB1CF,BC=2,G是CF的中点.

⑴证明：DG//平面4所：

2.（2025・陕西安康.模拟猜测）加图，在直三楂柱ABC-AMG中，DE.尸分别为棱3C.aA,CG的中点.

(1)证明：A/〃平面AQ£；

3.(2025•福建福州•模拟猜测)如图，以正方形A8C。的边A8所在直线为旋转轴，其余三边旋转120。形成

的面围成一个几何体A力F-8CE.设尸是CE上的一点，G,力分别为线段”，£厂的中点.

(1)证明：GH〃平面BCE；

4.(24-25高三上•广东•开学考试)如图1,直角梯形人8c。中，AB=^CD=2,AD=ZAD1CD,AB//CD,

将直角梯形A8C。绕A。旋转一匿得到如图2的圆台，所为圆台的母线，且CF=4,M是8c的中点.

图1

(1)在线段C/上是否存在•点N,使MN〃平面AQ7)?说明理由;

5.（2025・陕西商洛•模拟猜测）在四棱锥P-A8C。中，PC平面AHCLX^ABC=/BCD=90,AB=3CD,

点加在线段P8上，且PB=3PM

（I）求证：CM〃平面PA/）；

⑥四点共面问题

一、解答题

1.（2025・四川凉山•三模）如图，在正四棱柱中，AB=2,AA=4,点旦分别在

棱AA，BB、,CC,,DD」.,A£=l,BF=DH=2,CG=3.

（1）证明：点〃在平面E尸GW：

2.（2025•江西南昌•三模）如图1,四边形A8C。为菱形，