2026年中考数学总复习专项演练：二次函数的应用（优练）

专题20二次函数的应用

一、选择题（共8小题）

1.（2022•罗湖区校级三模）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，

书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销.经调研，如果调整书籍的售价，

每降价2元，每星期可多卖出40本.设每件商品降价x元后，每星期售出此

畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（）

A.y=（30-x）（200+40x）B.y=（30-x）（200+20x）

C.y=（30-x）（200-40x）D.y=（30-x）（200-20x）

2.（2020•昌图县校级一模）把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若

平均每次降价的百分率是x,则y与x的函数关系式为（）

A.尸320（X-i）B.y=320（1-x）

C.尸160（1-x2）D.y=160（1-x）2

3.（2020•玉田县一模）如图1,是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的

运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动

员垫球时（图中点力）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为

0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点8）越过球网（女子排球赛中球网

上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5

米，则排球运动路线的函数表达式为（）

y高度/米

...B

2.24、

'、

同―大地面）

图2

8514285

cD++

/-♦=---

275I5-V2

4.（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有

墙（墙足够长），并在如图所示位置留2〃?宽的门，已知计划中的建筑材料可

建围墙（不包括门）的总长度为50m.设饲养室长为x/w,占地面积为川?2,

则y关于x的函数表达式是（）

A.y=-x2+50xB.y=-^r+24x

D.尸-#+26x

5.（2025•天津二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：〃?）与水

平距离x（单位：〃?）之间的关系式为：y=-=产有下列结论:

①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6〃7；

②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3加；

③铅球落地时的水平距离为10〃?.

其中，正确结论的个数是（）

y/m

JO

6.（2025•滨海新区一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的

录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为gm,实心球飞行高度y（单

位:〃7）与水平距离x（单位:加）之间的关系式为y=--^x2+|x+|（0<x<8）,

•LUOO

得出以下结论：

①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8〃?：

②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1/72；

③此次训练实心球离地面最大高为2.25m.

其中正确结论的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

7.（2025•洪洞县一模）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12机时，桥洞顶

部离水面4小.已知桥洞的拱形是抛物线，如果以顶点。为坐标原点，水平方

向为x轴建立平而直角坐标系，则抛物线的表达式为（）

A.y=-1x2B.y=-\x2C.

8.（2024•南开区一模；如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端。离水面2加时，

水面43的宽度为4用.有下列结论:①当水面宽度为5加时，水面下降了1.125/n：

②当水面下降1加时，水面宽度为2亦m：

③当水面下降时，水面宽度增加了（4鱼-4）m.

其中，正确的是（）

二、填空题（共8小题）

9.（2025•汶上县一模）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点尸处）的高度OP

7

是二根，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时.，水平距离是5m,

4

高度是4〃7.若实心球落地点为则OM=m.

10.（2025•新宾县校级模拟）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱

门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱

门的跨度0N=12m,拱高PE=4〃7.其中，点N在x轴上，PE10N,0E=

EN,要在拱门中设置矩形框架48C。，当力8=3加时，矩形框架48CO的周

11.（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（x-3）2+2.5

运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，丁是铅球离地面的高度.若铅球

抛出时离地面的高度OA为1.6m，贝IJ铅球掷出的水平距离OB为m.

12.（2025•大洼区校级三模）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞

行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线y=

13.（2025•敦化市一模）某圆形喷水池中心。有一雕塑。/,从/点向四周喷水，

喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，建立直角坐标系，点4在y轴上，

x轴上的点C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达

式为歹=一彳。-5）2+6,则两个水柱的最高点M,N之间的距离为

m.

14.（2025•松原模拟）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过

鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处.如图，人站在离水面高度h

=15〃的位置。儿当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置力。为直线、=-号》+忙

此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线y=W（x-n）2,若点。到歹轴的距离为

度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度〃（单位：米）与时间/（单

位：秒）的函数关系为：〃=-5»+10九根据上述规律，该物体落回地面所需

要的时间/为秒.

16.（2025•山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔4府到4.8财

的高山环境下，其叶片长度d（〃步?）与海拔h（km）满足关系式：4=8层-

72A+182,若d=20m〃7,则硬叶柳生长的海拔〃为km.

三、解答题（共5小题）

17.（2026•碑林区校级模拟）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门,

现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度

OM=\Om,拱高所=4机，点"在x轴上，EF上OM,OF=FM,要在拱门中

设置高为3m（川5=3〃?）的矩形框架48CQ,点4、。在抛物线上，边BC在

0M上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求矩形框架4BCQ的周长.

18.（2026•邵阳模拟）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进

价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000

元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时,

口J售出180盒；每盒传价提高1兀时，少售出10盒.

（1）求这两种粽子的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（52人70）,y表示该商家销售猪肉粽的利润（单

位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.

19.（2026•沁阳市模拟）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会

经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物

线，滑行的飞行路径可看作是一条线段.如图所示，以地平线为x轴，起抛

点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线尸-东/+x+q

和直线其中，当纸飞机飞行的水平距离为8〃?时，自动进入滑行

阶段.

（1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为38〃.

①直接写出。，机的值；

②小明的前方有一堵2.7〃?高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可

以顺利飞过围栏?

（2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16〃?，直接写出。的最大

20.（2025•海州区一模）如图，利用总长为48根的篱笆和一面墙（墙的最大可用

长度为为m）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃,设花圃48边长为加,

BC边长为

（1）求y与'的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）如果要围成面积为80,后的花圃，求的长度；

（3）如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？

k------------10m-----------►!

AD

B1----------------------------C

21.（2025•青岛）小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中，小磊从点。正上

方1.8米的力点将球击出.

信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，。为原点，3在y轴上，球的运

动路线可以看作是二次函数+法+1.8（〃，b为常数）图象的一部分，其

中j（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2,3.2）,

（4,4.2）.

信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间Z（秒）（00於1.6）之间近似满足

次函数关系，部分数据如下:

f（秒）00.40.6♦・♦

X（米）046・・・

（1）求y与x的函数关系式；

（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？

（3）当，为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是

二次函数y=-0.02d+px+m（p,，〃为常数）图象的一部分，其中y（米）是

球的高度，x（米）是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标x为2,

纵坐标y大于等于L8时人的取值范围为（直接写出结果）.

米

y/

4..2

工

L.2小明击球点

.8

0247米

参考答案

一、选择题(共8小题)

题号12345678

答案BDADCBAD

一、选择题(共8小题)

1.【答案】B

【分析】根据降价/元，则售价为(30-x)元，销售量为(200+20%)本，由

题意可得等量关系：总销售额为〉=销量x售价，根据等量关系列出函数解析

式即可.

【解答】解：设每本降价x元，则售价为(30・x)元，销售量为(200+20X)

木，

根据题意得，)=(30-X)(200+20.X),

故选：B.

2.【答案】D

【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1-*),第二次

降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160(1・x)(1・x),由此

即可得到函数关系式.

【解答】解：第一次降价后的价格是160(1-x),

第二次降价为160(1-x)x(1-x)=160(1-x)2

则y与工的函数关系式为y=160(1-A-)2.

故选；D.

3.【答案】A

【分析】方法一：根据题意结合函数的图象，得出图中4、8、。的坐标，再

利用待定系数法求四函数关系式即可；

方法二：根据四个选项中关系式系数的特点，结合抛物线位置，确定。、b的

符号和c的值，就可以直接得出答案.

【解答】解：方法一：

0.26+2.24=2.5=5（米）

根据题意和所建立的坐标系可知，AB（0,C（-,0）,

222

设排球运动路线的函数关系式为公+c,将力、B、。的坐标代入得：

25a-5/J+c=1

C=I，

（竽Q++c=0

解得，。=一些，人=一指，c=5，

二排球运动路线的函数关系式为产-黑2-船+协

故选:A.

方法二：排球运动路线的函数关系式为〉=加-反+C,由图象可知，4/<0,4、

力同号，即力<0,c=|,故选：A.

4.【答案】D

【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案.

【解答】解：设饲养室长为xm,占地面积为）"层,

=x

则y关于x的函数表达式是：y*~（50+2-x）=-1X2+26X.

故选：D.

5.【答案】C

【分析】当x=0时求出〉的值即可判断①；把函数解析式化为顶点式即可判

断②；令y=0,解方程求出x的值可以判断③.

【解答】解：,¥=_#修+率

，当工=0时，y=1^1.6,故①错误，不符合题意；

51

+

-(X

312

.••当工=4时，少有最大值3,

・•・铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3〃?，故②正确,

符合题意；

当尸0时，=0,

解得xi=10，X2=-2（舍去），

.•.铅球落地时的水平距离为10机，故③正确，符合题意.

故选：C.

6.【答案】B

【分析】依据题意，分别令歹=0、y=2.1求出x可以判断①②，再由片

238

-+-X+-

55AT（X-3）2+2.5,进而可以判断③.

【解答】解：由题意,,•,令尸一命，封4=0，

•••X=-2或x=8.

・•・此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8相，故①正确.

又令片-#+凯痔=2.1,

:.x=1或r=5.

,此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1/72,故②正

确.

又•・•>=一上/+]+?=一靠（X-3）2+2.5,

•LUD。U

・•・此次训练实心球离地面最大高为25%故③错误.

综上，正确的有2个.

故选:B.

7.【答案】A

【分析】根据题意可得：点4的坐标为（6,-4）,顶点。的坐标为（0,D）,

然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答.

【解答】解：由题意得：点8的坐标为（6,-4）,顶点。的坐标为（0,0）,

・••设抛物线的表达式为歹=加，

把8（6,-4）代入>=々二2中得：・4=36g

解得：a=-i,

:・y=-#，

故选：A.

8.【答案】D

【分析】以线段所在的直线为X轴，以4月的垂直平分线为y轴建立平面

直角坐标系.设出二次函数解析式，把点C、8的坐标代入后可得二次函数解

析式.

①水面宽度为5加，根据二次函数的对称性可得x=2.5,代入二次函数解析式

可得〉的值，求出）的绝对值即为水面下降的高度；

②水面下降l〃z,取y=-1,求得入•的两个值，让较大的数减去较小的数即可

求得水面的宽度；

③水面下降2〃?，取y=-2,求得x的两个值，让较大的数减去较小的数即可

求得水面的宽度，减去原来水面的宽度即为水面增加的宽度；

求得以上数据后即可判断正确的选项有几个.

【解答】解：以线段43所在的直线为x轴，以43的垂直平分线为），轴建立

平面直角坐标系.

由题意得：点C的坐标为（0,2）,点B的坐标为（2,0）.

设抛物线解析式为：^=加+〃.

.（k=2

14a+k=O'

1

解得：Q=

k=2

••・抛物线解析式为：y=-#+2.

①当水面宽度为5〃?时，x=2.5.

.•.尸x竽+2=-1.125.

v|-1.125|=1.125,

;当水面宽度为5〃?时，水面下降了1.125/〃.

故①正确，符合题意；

②当水面下降时，y=-1.

二-：f+2=-1.

解得：x=±V6.

.■.水面宽度为：V6—（—V6）=2V6（〃i）.

故②正确，符合题意；

③当水面下降2m时，y=-2.

*,•—=-2.

解得：x=±2V2.

•••水面宽度为：2企-(-2V2)=4V2(加).

.•.水面宽度增加了(4V2-4)m.

故③正确，符合题意；

二正确的有3个.

9.【答案】?35

【分析】设抛物线为歹=。(x-5)2+4,把点(0,3,代入即可求出解析式；

当歹=0时，求得工的值，即为实心球被推出的水平距离

【解答】解：以点。为坐标原点，射线OM方向为x轴正半轴，射线OP方

向为》轴正半轴，建立平面直角坐标系，

根据题意可设抛物线解析式为：歹=。G-5)芬4,

把点(。，3代入得：25a+4=%

解得：a=

••・抛物线解析式为：y=-蔡(％-5¥+4；

当y=0时，—(X—5)2+4=0,

解得，%1=-5(舍去)，％2=,，

35

故答案为：

10.【答案】18加

【分析】依据题意，设抛物线的函数表达式为y=〃(,.6)2+4,把0(0,0)

代入＞=。(工-6)2+4,求出解析式后再令y=3,求出x,从而可以判断得解.

【解答】解：由题意得，抛物线的顶点P(6,4),

.•.可设抛物线的函数表达式为(x-6)2+4,

把把(0,0)代入得：0=a(0-6)2+4,

.，•y=-i(x-6)2+4.

•9

令产-/(x-6)2+4=3,

.,.x=3或x=9,

•••8C=9・3=6(〃?)，

矩形框架［3C。的周长=2(AB+BC)=2(3+6)=18(机).

故答案为：18/〃.

11.【答案】8

【分析】由题得/(0,1.6),代入y=a(x-3)2+2.5,得出抛物线的解析式

为丫=一得(*一3)2+2.5,令尸0,求解即可,

【解答】解：由题意，04=1.6〃?，

得4(0,1.6),

将4(0,1.6)代入尸a(x-3)2+2.5,

得：1.6=a(0-3)2+2.5,

解得：。=-白，

•.9=一花(》一3)2+2.5,

令尸0，得一卷。一3产+2.5=0,

解得：xi=8,xi=-2,

，0B为8w,

故答案为：8.

12.【答案】8.

【分析】根据实心球落地时，高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时，求

x的值即可.

【解答】解：由题意可知，将尸0代入，得：-白（x-3）2+2.5=0,

解得：xi=8,X2=~2（舍去），

小朱本次投掷实心球的成绩为8米，

故答案为：8.

13.【答案】10

【分析】根据已知易得：N点的坐标为（5,6）和用点的坐标为（-5,6）,

然后进行计算即可解答.

【解答】解：由二次函数＞=-2（、・5）2+6的图象可知，

当x=5时，y=6,

故N点的坐标为（5,6）；

・••从/点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，

•••/点的坐标为（-5,6）,

.♦.A/N之间的距离=5-（-5）=5+5=10（w）.

故答案为：10.

14.【答案】10.

【分析】根据题意，得力（0,1.5）,代入解析式y=—+确定6=1.5,

得到解析式y=—%+看根据y=—卜（—4）+3=）得到。（-4,5代入解析

1*4*4乙乙

式丫=-九）2得到〃1=-10,〃2=2（舍去），解答即可.

【解答】解：根据题意，得/（0,1.5）,代入解析式y=-a+忙

解得〃=1.5,

故y=+|»

当x=-4时,

339

y=-4x(-4)+2=2f

故点C(—4,3),

把C(-4,?)代入解析式y=-九B

解得川=-10,“2=2(舍去)，

故y=*(%+10产，

当y=0时，

y=i(x+10)2=0,

解得x=10.

故答案为：10.

15.【答案】2.

【分析】根据题意可得：把力=0代入〃=・5尸+10,中得：0=-5尸+103然后

进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：把力=0代入力=-5P+10/中得：

0=-5/2+10/,

解得：力=0(舍去)，及=2,

•••该物体落回地面所需要的时间，为2秒，

故答案为：2.

16.【答案】4.5.

【分析】将d=2O〃7加代入解析式，求得人即可求解.

【解答】解:其叶片长度d(加加与海拔M叱)满足关系式:d=8»-72〃+182,

当d=20〃〃〃时，20=8/22-72A+182.

4.5.

故答案为：4.5.

三、解答题(共5小题)

17.【答案】(1)y=-y=(x-5)2+4；

(2)矩形框架458的周长为16m.

【分析】(1)根据题意可得：点区为(10,0),顶点E为(5,4),然后利用

待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答；

(2)利用(1)的结论进行计算，即可解答.

【解答】解：(1)由题意得：点加为(10,0),顶点E为(5,4),

设抛物线的函数表达式为G-5)2+4,

把”(10,0)代入y=a(x-5)2+4中得：0=〃(10-5)2+4,

解得：〃=-或，

'•y=-X(x-5)2+4；

(2)当尸3时，3=-冼(x-5)2+4,

乙0

解得：xi=7.5,X2=2.5,

・•.力(2.5,3),D(7,5,3),

%。=7.5-2.5=5(m),

二矩形框架力5CQ的周长=2(AD+AB)=2x(5+3)=16(m),

即矩形框架ABCD的周长为16m.

18.【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元；

(2)y=-10X2+1200X-35000或》=-10(x-60)2+1000,当x=60时，y

取得最大值为1000元.

【分析】(1)设豆沙粽每盒的进价为〃元，则猪肉粽每盒的进价为(〃+20)

元.根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可

列出方程，求解并检验即可；

(2)根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解

答.

【解答】解：(1)设豆沙粽每盒的进价为〃元，

曰50003000

由题意得：——=——，

n+20n

解得：〃=30,

经检验：〃=30是原方程的解且符合题意，

••.〃+20=50,

答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（523烂70）,y表示该商家销售猪肉粽的利润（单

位：元），

设猪肉粽每盒售价二元（52人70）,y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位:

元）,则:

y=（x-50）［180-10（x-52）］=-10f+1200x・35000=-10（x-60）2+1000,

v52<x<70,-10<0,

.•.当x=60时，y取得最大值为1000元.

19.【答案】（1）①。=2.2,冽=7.8；②小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可

以顺利飞过围栏；（2）2.4.

【分析】（1）①依据题意，把（8,3.8）分别代入抛物线解析式和直线解析式

可得a和m的值；

②取y=2.7,分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的r的值，比

较后可得所求的数值；

（2）易得直线最远经过点（16,0）,代入一次函数解析式，求得〃的值，进

而取x=8,求得y的值，代入二次函数解析式可得。的最大值.

【解答】解：（1）①由题意，・・♦抛物线经过点（8,3.8）,

-3.8=-^x82+8+a.

•、a=2.2.

,・尸-聂+〃?经过点（8,3.8）,

•,»3.8=—）X8+〃?，

.•・〃=7.8.

②当>=2.7时，2.7二—白『十x+2.2,

•••X2・10x+5=0,

.-.Xi=5+2V5>8（不合题意，舍去），也=5・2逐，

又・・27=-聂+7.8,

•••x=10.2.

v10.2>5-2V5,

・•・小明最多距离闱栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏.

(2)由题意得：产一系加经过点(16,0),

•••0=x16+加，

••.〃?=8,

当x=8时，y=4,

片-e.F+X+Q经过点(8,4),

•,•4=-白x82+8+6r,

%=2.4.

故答案为：2.4.

20.【答案】(1)9.5<x<12；

(2)如果要围成面积为80小的花圃，48长10米；

(3)花圃的最大面积是95〃，.

【分析】(1)依据题意，由花圃AB边长为m?，8C边长为则4x+y=48,

从而y=-4x+48,结合0<加10,即0V-41-48010,进而可得9.5夕VI2,

故可得解；

(2)依据题意，结合(1)可得，x(-4x+48)=80,可得xi=10,超=2,

又9.5夕V12,进而计算可以得解；

(3)依据题意，S=x(-4x+48)=・4/+48工，结合・4V0,对称轴是直线

x=6,从而当9.5力<12时，S随x增大而减小，故当x=9.5时，S最大，S

=9.5、(・4x9.5+48)=95,进而可以得解.

【解答】解：(1)由题意，••・花圃边长为工加，8C边长为)"人

•••4;r^=48,

••沙=-4X+48.

V0<J<10,即0V-4x+4801O,

.-.9,5<r<12；

(2)由题意，结合(1)可得，x(-4x+48)=80,

.••xi=10,X2=2.

•.954V12,

.5=2舍去.

答：如果要围成面积为80〃户的花圃，48