福建漳州市2025-2026学年九年级上学期期末阶段教学联合诊断数学试题（试卷+解析）

漳州市2025-2026学年上学期初中期末阶段教学联合诊断

九年级数学

（考试时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂.

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

2

A.2x4-1=0B.x2-1=0C.2x+y=\D.x2+-=-l

x

2.如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点尸、点。分别是①号②号汽球的扎口，

位似中心为点。，位似比是1:2,则?（一2,1）的对应点Q的坐标是（）

A.（-2,4）B.（4,-2）C.（T2）D.（2,-4）

3.同周率瓦是无限不循环小数.目前，超级计算机已计算出"的小数部分超过31.4万亿位.有学者发

现，随着兀小数部分位数的增加，0〜9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.从江的小数部分随机

取出一个数字，估计数字是9的概率为（）

11

A.—B.-D.

1093

4.在菱形A8CD中，对角线AC与30交于点O,则3C的值可以是（）

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

—若OE=双，则的的长为（

OC47

A.9B.10C.11D.12

6.如图①.天窗打开后.天窗山缘人C与窗框48夹角为23"它的示意图如图②所示.若AC长为。

米，则窗角C到窗框A8的距离CO的大小为（）

—

图①图②

A.」一米B.——米C.acos230米D.asin230米

cos23°sin23°

k

7.已知反比例函数'二一的图象如图所示,则二次函数y=2依2一1+公的图象大致为（）.

X

yk

nr

yJkyJkKA

CAD/|\>

/b\x7o\\x

8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起,已知N4AC=60。，则阴影部分的面积是（）

1/

c.迪D,673

A.yB.373

2

9.梧榨俗称“吊杆”“称杆”（如图1）,是我国占代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠

杆原理的取水机械.桔棕示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，A3是杠杆，

46=6米，04:03=2:1.当点人位于最高点时，ZAOM=120°.此时，点人到地面的距离为

D.7米

10.已知A（，〃-2,yJ,5（/77,>2）»。（，〃+1，M）三点在反比例函数》二一3一的图象上，则下列判断

X

正确的是（）

A.当机<一1时，ov%vv2VxB.当一1vmv0时，为<0vX<%

C.当0<机<2时，为<必<°<）1D.当加>2时，y3<y2<Ji<0

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置.

11.如果两个相似多边形面积比是1:4,那么这两个相似多边形的相似比是______.

12.在一个不透明的口袋里装有〃个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅

拌均匀后，任意摸出•个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25,那么

可以估算出〃的值为.

13.写一个二次函数，要求：开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点.符合条件的二次函数解析式

为：；

14.一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为K,如果该车购买之后的第二年年末折旧后

的价值为14.45万元，那么可以列出关于x的方程是_______.（列出方程即可，无需求解）

6k

15.如图，点A在反比例函yi=—的图象上，点8在反比例函,2=—的图象上，且轴，若aAOB

xx

16.定义：仃2+"+4=0是一元二次方程以2+加+0=0的例方程.则下列四个结论:

①如果x=2是Y+2x+c=0的倒方程的解，则C二一之；

4

②如果acvO,那么这两个方程都有两个不相等的实数根：

③如果一元二次方程4―2x+c=0无解，则它的倒方程也无解;

④如果一元二次方程^^+反丫+。=。有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其

中正确的有（填正确的序号）.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答

题卡的相应位置解答.

17.计算：sin300+3tan600-cos245°

18.如图，在VABC中，。在AB边上，连接CO，AC=4,4。=2，BD=6,求证:

/^ACD^Z^ABC.

19.三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C.已知小〃混合后溶液会变为红

色,4、。混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色.从4、B、C三种溶液中随机选择两种在烧

杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率.

^3^3

‘-二_…'V_一’二二.匚

----1----1----1

ABC

20.如图，在RIA4BC中，N4CB=90。，AC=4,BC=3,正方形DEC77的三个顶点。，E,F分别落在边

AB,AC,BC±.

（1）用尺规作出正方形OECF；

（2）求正方形。KCT的边长.

21.如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点。并将其吊起来.在中点。的左侧挂一个物

体，在中点。的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧

秤的示数）'（单位：N）是x（弹簧秤与中点O的距离）（单位：cm）的反比例函数，当x=15时，y=\6.

Ox

才

（1）求）'关于式的函数表达式.

（2）移动弹簧秤位置，若木杆仍处尸水平状态，求弹簧秤的示数）'的最小值.

22.阅读材料：已知实数〃?、〃满足（加+2/+2/+1）=63,试求>+2/的值.

解：设m2+2/=t，则原方程变（/-DG+1）=63,

整理得产一1=63，即r=64,

/.z=±8,:.nf+2n2=±8，

,**nr+2n2>0»*,*nv+2n2=8.

上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

（1）已知％、y（2x2+/+3）（2x24-/-3）=27,求6/|3丁的值；

（2）已知”、〜满足（/一加）（。2一6+2）=3,求（〃+切（4一切的值.

23.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售

量F（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.

销售单价力元・-・1214161820・・・

销售量"盒・・.5652484440・・.

（1）求），与x的函数表达式；

（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

（3）若超市决定每俏售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为，〃元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖

果口销售获得的最大利润为392元，求机的值.

24.综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动.

【动手操作】

如图1,将平行四边形纸片ABC。沿过顶点A的直线折叠，使得点。落在3c边上的点G处，折痕交

CD于点E,再沿着过点G的直线折叠，使得点8落在AG边上的点“处，折痕交48于点尸.将纸片展

平，画出对应点G,”及折痕4E,FG、连接FH，AG,EG.

【初步探究】

(1)确定AG和AE的位置关系及线段"和Of的数量关系.

求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现/G〃4E，证明过程如下：

由折叠性质，可知==4FGH=4FGB='4BGA.

22

又由平行四边形的性质，可知94〃BC,

：.ZDAG=ZBGA.

G)

：.FG//EA.

奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找"'和OE的数量关系时，方法不

—•

先测量AF和OE的长度，猜想其关系为②.

方法一：证明八4月/二△GCE，得到A/=G£,再由GE=Z)£可证.

方法二：过点G作A3的平行线交AE于点N,构造平行四边形APGN,然后证

GN=GE可得结论.

补充上述过程中横线上的内容：①：②.

【类比探究】

(2)如图2,将平行四边形纸片A3CD特殊化为矩形纸片人8c。，重复上述操作.请判断和AE的

位置关系及"'和。E的数量关系是否发生变化，并说明理由.

【拓展运用】

(3)如图3,在矩形ABCO中，AB=4,按上述操作折叠并展开后，过点G作GM〃CD交AE于点

M，连接4W.当/”MG=90。时，求力E的长.

25.定义：已知二次函数y=+bx+c,则称二次函数y=。(工一/)2+Z?(x-1)+c是二次函数

y=o?+饭+。的伴随二次函数，，是伴随值.

定义理解

(1)下列二次函数中，是二次函数y=V+x+2的伴随二次函数的是()

A.y=(x-l)~+x+3B.y=(x+l)-+x+l

C.y=(x-2)2+xD.y=(x+2)2+x+2

深入探究

(2)已知二次函数x=Y-2工-3的图象如图所示，其伴随二次函数是%=——6x+5.

①伴随值为；

②在同•平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；

③当机+2时•，记二次函数月与为图象为W，若W的最高点的纵坐标为12,求W的最低点的

漳州市2025-2026学年上学期初中期末阶段教学联合诊断

九年级数学

（考试时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂.

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

2

A.2x4-1=0B.x2-1=0C.2x+y=\D.x2+-=-l

x

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项.

【详解】解：A.2x+l=0是一元一次方程，不符合定义，故不符合题意；

B.d-1=（）只含未知数x,且最高次数为2,是整式方程，符合定义，故符合题意；

C.2x+y=l是二元一次方程，不符合定义，故不符合题意；

2

D./+-=_l是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故不符合题意；

x

故选:B.

2.如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点尸、点Q分别是①号②号汽球的扎口，

位似中心为点。，位似比是1:2,则P（—2,1）的对应点。的坐标是（）

A.（—2,4）B.（4,-2）C.（―4,2|D.（2,—4）

【答案】C

【解析】

【分析【本题考查了两个图形的位似知识.位似中心为点。，位似比是1:2,则P点的两个坐标分别乘2,

即得。的坐标.

【详解】解：•・•两个汽球恰好是位似图形，且原点。为位似中心，其位似比为1:2,点夕（-2』），

:.2（＜2）.

故选：C.

3.圆周率兀是无限不循环小数.目前，超级计算机已计算出"的小数部分超过31.4万亿位.有学者发

现，随着兀小数部分位数的增加，0〜9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.从乃的小数部分随机

取出一个数字，估计数字是9的概率为（

1

D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆

动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定

的近似值就是这个事件的概率是解题的关键.

从欠的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有I种结果，利用概率

公式求解即可.

【详解】解：•・•随着〃小数部分位数的增加，0〜9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，

・•・从"的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，

•P=—

一々数字是9）10,

故选：A.

4.在菱形A8CO中，对角线AC与8。交于点。，则04:08:8。的值可以是（）

A.1：1：2B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

【答案】D

【解析】

【分析】根据菱形的性质，判断。4、OB.bC能构成直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小

边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】解：菱形A8CD中，对角线AC与8D交于点0,

由4C与8。垂直，04、。8、8C能构成直角三角形，

A、/2?,则Q4、OB、3C不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；

B.12+22^32,则04、OB、5c不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；

C、22+32^42,则。4、OB、次？不能构成直角二角形，故该选项不符合题意；

D、32+42=52,则04、OB.3c能构成直角三角形，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形

三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

0D330

5.如图，已知。后〃8C,—二二，若OE=一,则的的长为（）

OC47

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

ODnr型

根据平行线分线段成比例定理可得,即3T,进而可求出OB,然后根据=即

OCOB-=—L-

4OB

可求出8E的长.

【详解】解：:DE//BC,

.ODOE

OC~~OBf

30

即：3二亍,

4~~OB

.••。人竺，

7

二.BE=OB+OE=—+—=]0,

77

故选:B.

6.如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框45夹角为23°，它的示意图如图②所示.若AC长为。

米，则窗角C到窗框48的距离CO的大小为（）

C.acos230米D.asin230米

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用.熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题

得关键，在Rt^ACD中，由三角函数关系即可得解.

【详解】解：在RtdACD中，

CD•八

・----=smZ.A,

AC

CD=/4。应11^4=々5足230米，

故选：D.

k

7.已知反比例函数y二一的图象如图所示，则二次函数y=2心2—工+攵2的图象大致为（）.

x

【答案】D

【解析】

【分析】先由反比例函数的图象确定攵的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可.

【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以出<0,

・・・2M0,・•・抛物线y=2心：2一人+22的开口向下，

对称轴为：直线工=一二=」-<0,所以抛物线y=2米2一X+公的对称轴在,,轴的左侧，

4k4k

抛物线），=2自2—X+/与y轴的交点为（0,H），在），轴的正半轴上；

观察各选项，只有D符合.

故选D.

【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性

质是关键.

8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知NABC=6O。，则阴影部分的面积是（）

AD

B77C

9Qn

A.-B.373C.qD.6A/3

22

【答案】D

【解析】

【分析】首先过点力作的_LA£＞于点£BFLCD于点、F，由题意可得四边形488是平行四边形，继

而求得48=的长，判定四边形A8CO是菱形，则可求得答案.

【详解】过点B作座_LAE＞于点E,BFLCD于点F,

根据题意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

・•・四边形A8CD是平行四边形，

VZABC=ZAZX7=60%

・•・ZABE=ZCBF=30°,

，AB=2AE，BC=2CF,

•・•府=4炉+册，BE=3,

:.AB=2。

同理：BC=26，

:・AB=BC,

・•・四边形ABCD是菱形，

,4。=2百，

•*,S签形ABCD=A。xBE=65/3.

故选:D.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的

性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线.

9.桔棒俗称“吊杆”“称杆”（如图I）,是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠

杆原理的取水机械.桔棒示意图如图2所示，QM是垂直于水平地面的支撑杆，米，48是杠杆，

A8=6米，04:08=2:1.当点A位于最高点时，ZAOM=120°.此时，点A到地面的距离为

()

图1

A.（26+3）米

【答案】B

【解析】

【分析】过。作所，过A作AG_L£F于G,求出40石=30。，进而求出

AG=AOxs\n300=2,即可求解.

【详解】过。作砂_LOM,过A作AG_L砂于G,

・・・。4=4米，

VZAOM=120°,NEOW=90°,

・•・Z4QE=30。，

在RtZ\AOG中，

AG=AOxsin300=2（米），

点A位于最高点时到地面的距离为2+3=5（米）,

答：点A到地面的距离为5米；

故选:B.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关犍是根据题目条件，构造直角三角形.

10.已知A（m-2,yJ,。（m+1,弘）三点在反比例函数）'=一匕位的图象上，则下列判断

x

正确的是（）

A.当m<一1时，B.当一时，y3<0<<y2

C.当0<〃?<2时，<y2<0<D.当〃？>2时，为<必<）1<。

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数>=一些土的图象上有4（〃2-2,）1）,8（〃[,必），。（加+1,%）三点，比较三

点的横坐标的大小，结合性质和小的符号分类解答即可.

本鹿考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：根据反比例函数），=一上庄的图象上有A（〃?-2，x）,3（〃[,必），C（w+L%）三点，

x

且1+八1>0，

故一（1+公）<（）,

故在每一个象限内，1y随x的增大而增大，

由2=0,加=0,〃?+1=0,

解得〃？=2,m=0,rn=-1

当，〃<一1时，则〃7—2<0,，〃<0,〃7+1<0,且加一2v〃zvm+l<0

故0<必<%<为，

故A选项不符合题意；

当一IvmvO时，贝ijm一2<0,〃!<0,0〈根+1<1,且加一2vl

故.匕<°<）%<%，

故B选项符合题意；

当0<〃7<2时，贝卜管一2<0,1v〃z+l<3,且"2—2〈0〈"?<皿+1

故丫2<必<°<y，

故c选项不符合题意；

当机>2时，则"z-2>0,〃z+l>3,且2一2<加〈6+1,

故>'|<)'2</<0，

故D选项不符合题意；

故选：B.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡的相应位置.

11.如果两个相似多边形的面积比是1:4,那么这两个相似多边形的相似比是________.

【答案】1:2

【解析】

【分析】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方解答即可.

【详解】解：•・•两个相似多边形的面积比是I：4,

・•.这两个相似多边形的相似比1：2,

故答案为1：2.

【点睛】本题考查相似多边形的性质.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相

似比的平方.

12.在一个不透明的口袋里装有〃个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅

拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重更试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25,那么

可以估算出〃的值为.

【答案】24

【解析】

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入

手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可.

【详解】解：］大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25,

・•・任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25,

・•・-=0.25,

n

解得〃二24,

经检验：〃=24是原方程的解，

故答案为:24.

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率.

13.写一个二次函数，要求：开口向下，对称轴），轴，与x轴有两个交点.符合条件的二次函数解析式

为:;

【答案】），二一/+1（答案不唯一）.

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意写出二次项系数为负数，一次项系数为0,常数项大于0的

二次函数解析式，即可求解.

【详解】解：依题意，符合条件的二次函数解析式为），=-/+],

故答案为：y=-x2+l（答案不唯一）.

14.一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为K,如果该车购买之后的第二年年末折旧后

的价值为14.45万元，那么可以列出关于x的方程是.（列出方程即可，无需求解）

【答案】20（=14.45

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价

值为14.45万元”列方程即可.

【详解】解：设每年的年折旧率为1,

根据题意，得20（114.45,

故答案为：20（1-/『二14.45.

6k

15.如图，点人在反比例函yi=—的图象上，点B在反比例函力=—的图象上，且A8〃x轴，若△4OB

/x

【答案】20.

【解析】

【分析】如图，延长曲与y轴交于点河，由反比例函数人的几何意义可得：(网-3=7,再解方程，结

合函数图像的位置可得答案.

【详解】解：如图，延长区4与》轴交于点M,

6k

•••点A在反比例函巩=一的图象上，点B在反比例函”=一的图象上，结合反比例函数%的几何意义可

xx

得：

"OBM=；瓦5四”=；x6=3,

•q—7—q—q

•-'一乙。8M°^OAM»

小|-3=7,

二网二20,

k=±20,

k=20.

故答案为：20.

【点睛】本题考查的是反比例函数的k的几何意义，掌握反比例系数2的几何意义是解题的关键.

16.定义：c?+"+4=0是一元二次方程aF+Z?x+c=0的倒方程.则下列四个结论：

①如果x=2是f+2x+c=0的倒方程的解，则c=一之；

4

②如果比＜0,那么这两个方程都有两个不相等的实数根；

③如果一元二次方程⑪？—2x+c=0无解，则它的倒方程也无解；

④如果一元二次方程依2+力工+。=()有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其

中正确的有(填正确的序号).

【答案】

①②③

【解析】

【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性:

①通过代入求解：

②利用判别式即可；

③通过判别式得到QC>1,代入倒方程判别式可得；

④举反例说明不成立.

【详解】解：结论①，原方程X2+2X+C=O的倒方程为cV+2x+l=0，

将x=2代入得4c+4+l=0,

解得c=-2,

4

故①正确；

结论②，当ac<0时，

判别式△=从一4々?>0，

」•两个方程均有两个不相等的实数根，

故②正确：

结论③，

•.•原方程无解，

「.4-4ac<0,

即ac>1,

倒方程判别式4-4ac<0,

「•倒方程无解，

故③正确：

结论④，

举反例说明，当c=()时，原方程为办2+陵=0，

若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：△=〃>(),

即。。0,

;原方程ax2+h.v+r=0的倒方程为ex2+hx4-r/=0.r=0,〃¥0.

.•.倒方程为法+4=0,是一元一次方程，

只有一个根，

故④错误.

故答案为①②③.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答

题卡的相应位置解答.

17.计算：sin300+3tan600-cos245°

【答案】36

【解析】

【分析】根据特殊角三角函数值即可求解.

【详解】解：原式走］,

212J

=-+3x/3--

22

=36

【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

18.如图，在VA3c中，。在AB边上，连接CO，AC=4,AD=2,BD=6,求证:

/^ACD^Z^ABC.

C

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.由已知求得

空=坐=［，根据相似三角形的判定即得答案.

ABAC2

【详解】证明：・.•4)=2,BD=6,

/.A8=AO+80=2+6=8,

•_A_C___A_D___1

一法一耘—5'

•/Z4=Z4,

.\AACD^/\ABC.

19.三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C.已知4、4混合后溶液会变为红

色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色.从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧

杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率.

3

【解析】

【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可

能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等.利用画

树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可.

【详解】解：树状图如下：

开始

第一瓶ABC

第二瓶BCACAB

列表如下：

瓶

第二纵\ABC

A（B，A）(CA)

B(AB)(CB)

C(AC)(B©

二•共有6种等可能的情况数，其中混合后烧杯中溶液颜色为红色的有（及A）,（C,4）,（4,8）,（AC）,

共4种,

42

・・・户（混合后烧杯中溶液颜色为红色）

63

20.如图，在RSA8C中，NACB=90。，AC=4,BC=3,正方形OEC尸的三个顶点。，E,F分别落在边

AB,AC,8c上.

（1）用尺规作出正方形。ECE

（2）求正方形DEC/的边长.

【答案】（1）见解析；（2）y

【解析】

【分析】（1）根据正方形的性质，先作NACB的平分线，得到点D,再分别过点D作AC和BC的垂线,

得到点E和点F,顺次连接即可；

AFDE

（2）设正方形的边长为x,根据题意证明△AEOS^ACB,得到二二—,求解即可.

ACBC

・••正方形。EC〃就是所求的；

（2）设正方形的边长为心则4£三4一x,

在正方形QEC/中，DE//CF

JNAEANACB,

•・•ZA=ZA

・•・i\AEDs&XCB

.AEDE

**AC

^-xX

・•・------=-

43

12

.*.A=一

7

・•・正方形QECF边长为乜.

7

【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的

方法和相似三角形的应用.

21.如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点。并将其吊起来.在中点。的左侧挂一个物

体，在中点。的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧

秤的示数）'（单位：N）是x（弹簧秤与中点0的距离）（单位：cm）的反比例函数，当犬=15时，

*

（1）求y关于X的函数表达式.

（2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数）'的最小值.

【答案】（1）y关于X的函数解析式为），二型

X

（2）弹簧秤的示数y的最小值为4.8N

【解析】

【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解：

（2）根据反比例函数图形的性质即可求解.

【小问1详解】

解：由题意设），=K，把x=15,），=16代入，得々=15x16=240,

x

・・・y关于工的函数解析式为y二生.

x

【小问2详解】

240

解：由（1）可知，y关于X的函数解析式为），=——，A=240>0,X是弹簧秤与中点。的距离是50cm,

x

如图所示,

'/x>0,

・•・？随x的增大而减小，

240

,把％=50代入。=一，得%m=4.8,

x

・•・弹簧杵的示数的最小值为4.8N.

【点睛】本题主要考杳反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质

是解题的关键.

22.阅读材料：已知实数〃?、〃满足(1+2/-1)(〃，+2/+。=63,试求〃『+2/的值.

解：设〉+2〃2="则原方程变为(—DQ+1)=63,

整理得产一1=63,即*=64,

/.z=±8,nr+2n2=±8，

*.*nr+2n2>0»*,*m2+2/z2=8.

上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)已知小y满足(2/+)尸+3)(2/+3)=27,求6父+3_/的值；

(2)已知。、》满足一用①一6+2)=3,求(〃+A)m-b)的值.

【答案】(1)18(2)-3或1

【解析】

【分析】本题主要考杳换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的

一般步骤是解题的关键.

(1)设2/+),2=，则原方程可变为。+3)(，-3)=27,解方程即可得到结论；

(2)设/一/=小则原方程可变为«/+2)=3,列方程即可得到结论.

【小问1详解】

解：设2/+）/=.，

则原方程可变为（/+3）（/-3）=27,

解得：1=±6,

Q2x2+y2>0,

/.2x2+y2=6,

/.6x2+3y2=18.

【小问2详解】

解：设。2一〃2=小

则原方程可变为W+2）=3,

即,+2，-3=0，

解得:乙二一3,〃=1,

a2-b2=-3或1，

:+b）（a-b）=a2-b2=-3或1.

23.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，口销售

量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.

销售单价X/元••・1214161820••・

销售量W盒・・・5652484440・・・

（1）求），与x的函数表达式；

（2）糖果销售单价定为多少元时，所获口销售利润最大，最大利润是多少？

（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为/〃元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖

果日销售获得的最大利润为392元，求〃?的值.

【答案】（1）y=-2x+S0

（2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

（3）2

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)设日销售利润为卬元，根据利润=单件利润x销售量求出w关于.1的函数表达式，然后利用二次函数的

性质求解即可；

(3)设口销售利润为卬元，根据利润二单件利润x销售量-〃?x销售量求出卬关于％的函数表达式，然后利用

二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：设y与x的函数表达式为丁二丘+〃，

f12^+/?=56

把工=12,y=56；x=20,)=40代入，得〈

20^4-/7=40

k=-2

解得

/?=80

・•・)：与x的函数表达式为y=-2工+；

【小问2详解】

解：设日销售利润为w元，

根据题意，得卬=(x-10)-y

=(x-10)(-2x+80)

=-2X2+100X-8(X)

=-2(无-25『+450,

・••当x=25时，卬有最大值为450,

・•・糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是45()元；

【小问3详解】

解：设日销售利涧为卬元，

根据题意,得卬=(x—10—

=(x-10-/n)(-2x+80)

=-2x2+(100+2〃*800-80m,

1004-2m50+mfSO+ZJ/Y/50+〃?、

・•・当x=_:二^~时，卬有最大值为一2(个一J+(13)+2加)(工一J-8()0—8()加，

•・•糖果日销售获得的最大利润为392元，

・•・一2+（100+-800-80机=392,

化简得病一606+1]6=0

解得班=2,吗=58

当机=58时，x=--=54,

2a

则每盒的利润为：54—10-58<0,舍去，

Am的值为2.

24.综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动.

【动手操作】

如图1,将平行四边形纸片A8CD沿过顶点4的直线折叠，使得点。落在8C边上的点G处，折痕交

CZ）于点£再沿着过点G的直线折叠，使得点8落在4G边上的点”处，折痕交AB于点F.将纸片展

平，画出对应点G,H及折痕AE，FG,连接AG,EG.

【初步探究】

（1）确定AG和4E的位置关系及线段AF和力石的数量关系.

求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现RG〃A£,证明过程如下：

由折叠的性质，可知ND4E=NG4E=，NOAG,ZFGH=ZFGB=-ZBGA.

22

又由平行四边形的性质，可知2M〃3C,

・•・4DAG=/BGA.

:,①，

AFG/7E4.

奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找A歹和的数量关系时，方法不

—••

先测量■和OE•的长度，猜想其关系为②.

方法一：证明△4///g△GCE，得到Ab=GE,再rtlGE=OE可证.

方法二：过点G作AB平行线交AE于点M构造平行四边形4F、GN,然后证

GN=GE可得结论.

补充上述过程中横线上的内容：①；②.

【类比探究】

（2）如图2,将平行四边形纸片A3CD特殊化为矩形纸片44CD,重复上述操作.请判断AG和AE的

位置关系及4'和。E的数量关系是否发生变化，并说明理由.

【拓展运用】

（3）如图3,在矩形ABCO中，AA=4,按上述操作折叠并展开后，过点G作GM〃CD交AE于点

M，连接当///MG=90。时，求。E的长.

图3

【答案】（1）①NE4G=Nra4：②AFnOE

（2）不发生变化，理由见解析

（3）。石的长为26—2

【解析】

【分析】（1）根据推论过程结合等量代换补充完整即可得到①，由方法一思路证明可得到②，即可解题;

（2）类似于初步探究的证明过程，即可证明FG和A石的位置关系及质和。E1的数量关系不发生变化;

（3）利用平行的性质得到NE43=/”GM,AD//HM^进而得到N