第二十章 勾股定理 全章同步练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理

20.1勾股定理及其应用

课时1勾股定理

基础巩固练

知识点1勾股定理的认识

1.在△ABC中,若NABC=90。厕下列正确的是()

A.BC=AB+ACB.

C.AB^AC^+BC1D.A^AB^BC1

2.现用4个全等的直角三角形拼成如图的'，赵爽弦图”.在RIAABC中,/ACB=90。,若AC=b,BC=a,AB=c.请你

用这个图形解决下列问题：

(1)试说明:a2+b2=c2;

(2)如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2,求(勺值.

2题图

知识点2利用勾股定理进行计算

3.若RtAABC中一条直角边和斜边的长分别为8和10,则另一条直角边的长是()

A.3B.9C.6D.36

4.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10,则四个正

方形A,B,C,D的面积之和为()

A.24

B.56

C.121

D.I00

5.如图.在RSABC中,/A=9(r\BC=2,则的值为_4题图

c

6.在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使

用的名为“矩尺明勺测量工具.如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺''的一条较短的

直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多I尺，则"矩尺''的较长的直角边的长是一尺.

7.在△ABC中,NC=9（）o,NA,/B/C的对边长分别为a,b.c.

⑴已知b=2,c=3,求a的值;

（2）已知a：c=3:5,b=32,求a,c的值.

能力提升练

1.如图.直线1上有三个正方形m,n,q.若m.q的面积分别为5和11,则n的面积为（）

1题图2题图

A.4B.6C.16D.55

2.如图.在△ABC中,/ACB=9(r,CDJLAB,垂足为D.若AC=6.BC=8,则CD的长为()

A.2.4B.2.5C.4.8D.5

3.若实数m,n满足匚〃?-6口+石元=0,且ni,n恰好是RtAABC的两条边长，则第三条边长为（）

A.IOB.2日

C.10或2HD.以上都不对

4.（2025成都期末）如图在△ABC中,AB=5,AC=8,NC=30。以点A为圆心,AB的长为半径作弧交BC于点D,连

接AD；再分别以点B和点D为圆心，大于;BD的长为半径作弧，两弧交于点P,射线AP交BC于点E,则BD的

长是_.

A

4题图

5.如图，分别以直角三角形三边(三边长分别为a,b,c)为直径作半圆,设图中两个•月形”图案(图中阴影部分)

的面积分别为次,S2,直角三角形的面积为S3.

(1清判断工段,S3的关系,并证明：

(2)若a=3,b=4,求阴影部分的面积.

6.核心素养］【合作探究】如图①，在△ABC中,AC=I3,BC=I4,AB=15.过点A作ADJ_BC交BC于点D,求BD

的长.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.

(1股BD=x用含x的代数式表示CD,则CD=—;

(2请根据勾股定理，利用AD作为叶乔梁"建立方程，并求出x的值；

【类比应用】如图②，在△ABC中,AB=15,BC=4.AC=13*AABC的面积.

6题图①6题图②

课时2勾股定理的应用

基础巩固练

知识点勾股定理的应用

1.如图，杲公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管埋处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB=4

0m,BC=30m,则走这条近路AC可以少走路()

C.40mD.50m

2.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中NACB=9（）o,AC=1.2m,BC=0.9mJMAB

的长为()

A.l.2mB.1.5mC.1.8mD.I5m

3.一个门框的尺寸如图，下列长x宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（）

A.2.6X2.5

C.2.8x2.3

m

3题图

4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC的长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把

鱼竿AC转动至I」AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC的长为8m则BB的长为（）

A.lmB.2mC.3mD.4m

5.如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为—m.

6.如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D,主梁上两根拉索AB,AC的长度分别为13m和20m,主梁

7.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动.如图，当

张角为/BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘点A与点C之间的距离AC为24cm.若

小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为/DAF时(点D为点B的对应点),顶部边缘点D离桌面的高度

为DE,此时底部边缘点A与点E之间的距离AE为15cm,则此时电脑顶部边缘上升的高度为—cm.

7题图

8.在综合与实践活动中，为了测量学校旗杆的高度，小明设计了一个方案：如图，将升旗的绳子拉直，末端刚

好接触地面，测得此时绳子末端离旗杆底端的距离为2m,然后将绳子拉直移动到距离旗杆8m处，测得此时绳子

末端离地面的高度为2m,求旗杆的高度.

能力提升练

I.如图，长为12cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B,然后把中点C向上拉升8cm至点D,则橡

皮筋被拉长了()

A.5cmB.6cmC.8cmD.lOcm

D

♦:、

■♦iI、■

/i、一桌面

ACB

I题图刃7c

2.（2025•宜宾期末）如图.在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已知AD=6m,

AB=4m,该木块的较长边与AD平行,横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木,HVJ

ADD

块到达C处需要走的最短路程是（）2题图

A.8mB.lOm

D.2V34w

3如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A

的距离为300m,与公路上的另一停靠站B的距离为400m,且CA1CB,为了安全起见，爆破点C周围半径250

m范围内不得进入.问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?

专题2勾股定理与方程思想-------单、双勾股列方程

方法指导：

当有以下两种情形时，可利用勾股定理构造方程模型解答.

（1座勾股列方程：在同一个直角三角形中，已知一边长，又知另外两边长之间的关系时，根据关系列方程.

（2）双勾股列方程：当两个直角三角形具有公共边或者相等的边时，需要使用两次勾股定理构建方程.

1.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动.如图，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋

干的绳索AB的长度，他发现秋千静止时，秋干踏板离地面的垂直高度BC=lm,将踏板往前推送，使秋干绳索到

达点D的位置，测得推送的水平距离为6m,即DE=6m,此时秋千造板离地面的垂直高度DF=3m,则秋千的绳索

AB的长为—m.（绳索一直处于绷直状态）

A

c

1题图

2.如图，某通信公司计划在A,B两地间的E处修建一座5G信号塔，这样C,D两个村庄到E处的距离恰好

相等.已知ADJ_AR于点A,BC±AB于点B,AB-250m,AD-150m,BC-I（X）rn,jj<5G信号塔E应建在离A地多远的地

方.

课时3利用勾股定理作图、计算

基础巩固综

知识点I勾股定理与数轴、坐标系

1.（2025.绵阳游仙区月考）如图，以数轴的单位长度为边长画正方形，以表示1的点为圆心，正方形对角线长为

半径画弧，与数轴交于点A,则点A表示的数为（）

A.V2B.\+v2C.2+V2D.3-V2

2.如图,在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线1IOA,在1上取点R,使AR=2以点O为图心，OR为半径

作弧，弧与数轴交点为C,则点C表示的数是()

C.-710D.-3

2题图3题图

3.如图，在平面直角坐标系中，以点0为圆心，以0P为半径作弧，交x轴的负半轴于点A,点A的坐标为（

（-岳，0）点P的纵坐标为-1,则点P的坐标为—.

知识点2勾股定理与网格

4.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱.如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方

形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（）

A.IB.3

C.V5D.V70

5.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1,以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D,则

ED的长为

6.如图，正方形网格中的每个小E方形的边长都是1,每个顶点叫作格点.

（1在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2施图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2,V5,并求这个三角形的面积.

6题图①6题图②

知识点3勾股定理与图形的计算

7.将一副直角二角尺和一把宽度为2cm的直尺按如图所示的方式摆放，先把45。和60。角的顶点及它们的直角

边重合，再将重合的直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两把三角尺的斜边分别交直尺上

沿于点A,B，则AB的长是()

7题图

A.2-V3B.2V3-2

C.2D.2V3

能力提升练

1.（2025.成都金牛区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6,4）,以点O为圆心，OA的长为半径

画弧，交x轴的正半轴于点B,则点B的横坐标介于()

A5和6之间

B.7和8之间

C.10和C之间

E8和9之间

1题图

2.如图在RlAABC中2ABC=9（HBC=1.将AB边与数轴重合，点A,B表示的数分别为-1,2.以点A为圆心.以

AC为半径作弧，交数轴于点D,则点D表示的数为（）

2题图

A.3B.VH)

c.7io-1D.-710-1

3如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2,AC二BC=BD=1若以点

A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为

D

3题图

4.如图,R2OAB的直角边OA=2,AB=I,OA在数轴上，在OB上截取BC=BA以0为圆心,0C长为半径画弧，

交边OA于点P,则点P对应的实数是一.

（DffiAABC中,AB,BC,AC三边的长分别为ggg,求这个三角形的面积.元元同学在解答这道题时，如

图①，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）,再在网格中画出格点△人80即4ABC三个顶点都在

小正方形的顶点处），这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，则4ABC的面积是一；

【思维柘展】

（2席们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC三边的长分别为V226,岳,，请利用图②的正方形

网格（每个小正方形的边长均为I）画出相应的△ABC,并求出它的面积.

5题图①5题图②

20.2勾股定理的逆定理及其应用

课时1勾股定理的逆定理

基础巩固练

知识点I勾股定理的逆定理

1.下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是()

A.l.5,2,3B.2,3,4

C.1,1,V2D.5,13,14

2.在△ABC中,48=历,80v5/C=v5,则()

A.ZA=90°B.ZB=90°

C.ZC=90°D.ZA=ZB

3.如图.在△ABC中.D为BC边上的一点若AB=13,AD=12,AC=I5,BD=5.则CD的长为—.

A

3题图

4.已知一个三角形的三边长分别为V2cm.V6cm.2cm.则这个三角形的面积为—cm<

5.如图，在△ABC中,AB=AC,BC长为10,D是AC上的一点,BD=8,CD=6.

⑴求证:BD_LAC;

⑵求线段AB的长.

5题图

6.如图.已知AC±BC,CA=BD=CB=2,AD=V32,请问△ABD是直角三角形吗?请说出你的理由.

B

D

C

知识点勾股数

7.勾股数，又名毕氏二元数，则下列各组数能构成勾股数的是)

B.V3,V4,V5

412

C.5,15,20D.9,40,41

8.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的，,罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化

了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②

5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为—.

能力提升练

1.观察下列各组数:①712,15;②8[5,17;③7,24,25;④12,15,20,其中能作为直角三角形三边长的有（）

A.I组B.2组C.3组D.4组

2.在△ABC中,三边长分别为a,b,c.且b+c=2a0-3=：«,则4ABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

3若^ABC的三边长a,b,c满足/-儿]（。-〃）（。2+/）狈必ABC是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

4.如图.已知NA=9（）O,AC=AB=4,CD=2,BD=6W（JNACD=—.

A1）

F

4BB...........、n

4题图5题图

5.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E,F均在格点（每个小正方形的顶点都是格

点）上，连接AE,AF,则NEAF的度数是_.

6.如图，分别以△ABC的三边为边向夕M乍正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，以正方形边长的一

半为半径作圆，记三个圆的面积分别为St,S2,S3，若S|+S2=S3.则△ABC的形状为—三角形.

6题图

7.如图.在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,AE=3.BE=5.AC=4.求证:△ABC是直角

三角形.

7题图

8.（2025彳惠阳广汉市月考）如图,已知△ABC是等边三角形，AP=6,BP=2,CP=1.求NAPC的度数

A

BC

8题图

20.2.2勾股定理及其逆定理的综合应用

基础巩固练

知识点1勾股定理的逆定理的应用

1五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是

()

2.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和B

C的长，再测量点A和点C间的距离,由此可推断NB是否为直角，这样做的依据是（）

A.勾股定理

B.勾股定理的逆定理

C.三角形内角和定理

D.直角三角形的两说角互余2题图

3.一根电线杆高12m,为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5m处之间加一根拉线.拉线工人

发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分i,则电线杆与地面—.（填“垂直”或,、不垂直”）

4.如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船的速度是20nmile/h,货船的速度是15nmile/h,货船

沿南偏东80。方向航行，2h后，货船到达B处，客船到达C处,此时两船相距50nmile.求客船航行的方向.

北

知识点2勾股定理及具逆定理的综合应用

5.如图.在△ABC中.若AB=10,BC=6,AC=8,贝!JAC边上的中线BD的长为

4题图

A.5B.4C.2713D.2viu

A

CBBD

5题图6题图

6.如图，DZ?JC=90〃8=2近〃C=2夜,8O=12,OC=4V^J1!JNDBA=______.

7.如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC±CD,现测得AB=CD=6dm,BC=3dm,AD

=9dm.<其中AB与BD之间由T*固A定为90。的零件连接（即NABD=90。）,则该车__（填“符合”或“襁合'）安全标准.

7题图

8.如图，每个小正方形的边K都为1,点A,BCD都在格点上.

（1球四边形ABCD的周长；

（2）ZABC是直角吗?请说明理由.

D

■r1ill

:]\\:i

:・・/T…r…LL亍7c

•/ti■,•/•

\\\\\/\\

/IIX•f•/，1■

1■X、•Ie■・■//4•••

1广*・空才•十9•十1・v•

•0、•/,0—1A--J•

B

8题图

能力提升练

1.一根30m长的绳子，折成三段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7m,比较长边短Im,则

它是()

A.钝角二角形B.直角二角形

C.锐角三角形D.无法判断

2如图，在四边形ABCD41.ZB=90°,AB=2,BC=CD=LAD=遥则四边形的面积为

2题图3题图①3题图②

3.手工课上，小明做了T如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示已知AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,且

NBAD=90。.若连接BDJIJZBDC的度数为一.

4.如图，在4x4的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则下列结论：①止2逐;

②/BAC=90。;③4ABC的面积为10;④点A到直线BC的距离是2.其中正确的是_.（请填写序号）

5.如图，在四边形ABCD中.力。=2诿。=2,/8=30。,过点A作AE_LBC,垂足为E.AE=1.且E

是BC的中点求/BCD的度数

D4题图

B

5题图

6.如图，MN为某国领海线，其方向为南北方向，MN以西为该国领海，以东为公海.上午9时50分，该国反

走私艇A发现正东方有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向该国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的该

国反走私艇B密切注意.此时反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A,B两艇的距离是5海里,反走私艇B

和走私挺C的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，则最早会在什么时候进入该国领海?

北

西十东

南

专题3利用勾股定理探究两点间距离公式

学习探究

探究平面直角坐标系中两点间的距离，设

(1)如图①，当Pl,P2纵坐标相同时,p\P2=口肛-冷口;当PlR横坐标相同时，尸1尸2=口%一72口，

(2)如图②□『1(＞小2-1口/20匚斤力口，由勾股定理，得%&=]('2F)2+32—%);

1.如图在平面直角坐标系中.A(4O),C(1,0),以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B,则点

B的坐标为()

A.(0,3)B.(3.0)C.(2,0)D.(0,2)

2.在平面直角坐标系中，点P(-4,3),则点P到原点的距离为()

A.3B.-5C.5D.4

3.在平面直角坐标系中点A(-2,-l),B(-5,3),则AB的长为()

A.V13B.5C.4D.3

4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2),B(5,4),则AB的长为

4

3

2

1

5.已知一个三角形各顶点坐标为A(-l,4),B(-3,1),C(1/).请判定此三角形的形状，并说明理庄.

6.如图，已知A(3,0),B(0,4).在x轴上找一点C,使^ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标.

6题图

专题4利用勾股定理解决折叠问题

△AB'F^ACDF,

折痕过图形的两个顶点AF=CF.

在RsCDF中,尸=。尸

AE=CE=AF.

D'F二DF二BE.在RSABE中，

折痕不过图形的AWBE^AE2在RtAAD'F中,AD，2+D

顶点尸=力尸

解迤思路：

⑴解决折叠问题的关键是抓住对称性；

⑵求线段长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想分析和解决

问题.

实战演练

1.如图，有一块直角三角形纸片，ZACB=90）AC=6,BC=8,将斜边AB翻折、使点A落在直角边BC延长线上的

点D处，折痕为BE,则CD的长为()

2题图

2.如图，在△ABC中,NC=901AC=6,BC=8,点D,E分别在AC,BC边上，且DE〃AB；I§AABC沿DE折叠，使点C

落在斜边AB上的点F处，则AF的长是（）

A.3.6B.4C.4.8D.6.4

3把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E,F两点均在BD上）,折痕分

别为BH,DG.若AB=6cm,BC=8cm，则线段FG的长为

3题图4题图

4.如图.把长方形ABCD沿直线BD向上折叠.使点C落在点C的位置上、BC'交AD于点E.若AB=3,BC=6,则

DE的长为—.

5.如图，在RSABC中,/C=9(r,AC=12,BC=10,D是BC的中点、E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠后得到

△CDE.连接AC.当bAEC是直角三角形时CE的长为

5题图

6.如图,在长方形ABCD中，E是AD的中点，将^ABE沿直线BE折会后得到△GRE,延长BG交CD于点F,

连接EF.

⑴求证:DF=GF;

(2)若AB=6.BC2=96.求DF的长.

6题图

专题5利用勾股定理解决最值或最短路径问题

类型1平面图形上的最短路径问题

模型展示

模型图例基本策略

A

\....「0确定动点P所在的直线；利用对称性，将同侧的

模型一A,B两点转化为异侧两点A',B,则最短路径即为线段

A'B；常构造直角三角形(RSCBA)利用勾股定理求解

1

利用•垂线段最短”确定最短路径；构造直角三角

模型二

形，利用勾股定理求解

3___________

31

1.如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E,P分别是线段AC,AD上的一个动点，已知AB=2,AD=

6则PE+PC的最小值是.

2.如图,高速公路MN的同一侧有A,B两个城镇，它们到高速公路的距离分别为AA，=2km,BB，=4kmmAB=

8km.现要在高速公路上的A',B之间建一个出口P,使A,B两个城镇到出口P的距离之和最小，求AP+PB的最

小值.

B

A

MAfB，N

2题图

类型2几何体中的最短路径问题

模型展示

几何体中最短路径基本模型如下：

类型图例

圆柱

长方体

阶梯问题

将立体图形展开成平面图形一利用“两点之间，线段最短'确定最短路线一构造直角三角形一

基本思路

利用勾股定理求解

3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm,30cm.10cm,A和B是这个台阶的两个相对的

点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，

至少需爬()

3题图

A.I3cmB.40cm

C.130cmD.169cm

4.如图，圆柱形容器的底面周长是24cm,高为17cm,在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的

上口9卜则距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长是()

A.20cmB.

C.,433。”D.24cm

4题图5题图6题图

5.如图，有一个长、宽各为2dm,高为3dm且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B,那么这

只昆虫爬行的最短路程为（）

A.3dmB.4dinC.5dmD.6dm

6.如图,圆柱形玻璃杯的高为5cm,底面周长为12cm,在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好

在杯外壁与蜂蜜相对的点A处，点A距离杯上沿3cm,则蚂蚁从外壁点A处爬行到内壁点B处的最短路程是一

cm.（杯壁厚度不计）

7.新情境包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图①，创意DIY小组的同学将一个IOcmx3Ocmx4Ocm的长方

体纸箱裁去一部分（粗虚线为裁剪线），得到如图②所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内

壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为_cm.

10cm10cm

7题图①7题图②

8.一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间

可供滑行的部分的截面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=18m,点E在CD上CE=2m.一滑板爱好者从点A滑到

点E,再从点E滑到点B,则他滑行的最短路程是多少?（边缘部分的厚度忽略不计，兀取3）

8题图

9.如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm,8cm,30cm.

（DffiAB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少?

(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少?

9题图

10如图,长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm.

(1)点小到点。2之间的距离是多少？

⑵若一只蚂蚁从长方体的表面点力2爬到点G,，则爬行的最短路程是多少?

10题图

第二十章勾股定理易错疑难集训二

易猎疑难点7没有明确斜边与直角边导致漏解

1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边的长为

2.如图,NCAB=45。,点D在射线AB上，且AD=4.点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长

为一

3.已知直角三角形中两边的长分别为6和8,求第三边的长.

2题图

易借聚难点2由于图形形状或位置不定导致漏解

4.在△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AH=8,则BC的长是()

A.21D.15

C.6D.21或9

5.已知CD是仆ABC的边AB上的高，若CD=VJ,AD=1,AB=2AC,求BC的长.

易借疑难点3易受思维定式的影响而出错

6.判断以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形，其中“=>6Al,c=/.

易错疑难点4与勾股定理有关的规律探究

7.［传统文化］我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数，观察下

面两个表格并解答下列问题.(以下a,b,c为RIAABC的三边，且a<b<c)

表一表二

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

94041123537

⑴表一中a为大于1的奇数，此时b,c的数量关系是—,a,b,c之间除满足/+d=/外还满足的数量关

系是_；

(2)表二中a为大于4的偶数，此时b,c的数量关系是一，a,b,c之间除满足/+外还满足的数量关系

_；

(3俄们还发现，表一中的三边长“3,4,5”与表二中的三边长“6,8,10”成倍数关系；表一中的三边长“5,1

2,13”与表二中的三边长“10,24,26”恰好也成倍数关系……请你直接利用这一规律计算：在RIAABC中.当片

(出《时，斜边c的长为

第二十章勾股定理本章重点训练

重点1勾股定理及其应用

1.在学习勾股定埋时，甲同学用四个相同的直角二角形(直角边长分别为a,b,斜边长为c)构成如图所示的正

方形；乙同学用边长分别为a,b的两个正方形和长为b,宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形.甲、乙两位

同学给出的构图方案中，可以证明勾股定理的是()

A用B.乙

C甲、乙都可以D.甲、乙都不可以

2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阻影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成

一个,赵爽弦图"若AB=I0,AE=8,则正方形EFGH的面积为()

A.4B.8C.12D.16

3.如图,△OAB的顶点O的坐标为(0.0),顶点A,B分别在第一、第四象限，且AB八轴.若AB=6,OA=OB=5,

则点A的坐标是()

A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)

4.如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管A

B上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到点C的距离为15cm,出水口D到点E的距离为17cm,并

且CD_AB,则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为_cm.

5.如图，点B,D在数轴上,OB=3QD=BC=1.NOBC=90。,以点D为圆心，以DC的长为半径作弧交数轴正半轴于

点A,则点A表示的数是一.

D0(0)B'

5题图