2024-2025学年广东深圳某中学九年级（上）第一次月考数学试题及答案

2025届初三年级第一次月考数学试卷

一、选择题（共8小题，每题3分）

可以近似看作一个直三棱柱,则其主视图是（）

C.D.

2.若一元二次方程（4一1）/+3%+左2一1=0的一个根为0,则左的值为（）

A.%=0B.k=\C.k=~\D.a=1或％=-1

>?—2

3.已知反比例函数旷=的图象位于第一、三象限，则〃的取值可以是（)

X

A.-2B.1C.2D.3

4.AJ8C中，N力，N8都是锐角，且sinJ=正，COS8=L,则△力8c的形状是（）

22

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.锐角三角形或钝角三角

形

5.如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对

角线是否相等，以确保图形是矩形.其中的道理是（）

A.有三个角是直角的四边形是矩形B,对角线相等的平行四边形是矩形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形

k

6.函数），=一（女工0）与函数歹二5一〃在同一坐标系中的图像可能是（）

寸寸

第1页/共7页

7.如图口ABCD,F为BC中点，廷长AD至E,使QE：/。=1：3,连结EF交DC于点G,则凡小6上复因

=（）

A2：3B.3：2C.9：4D.4：9

*

8.如图，在矩形/8C。中，AB=3,BC=5,把矩形4BCD绕点C旋转,得到矩形CEPG且点8的

对应点后恰好落在力。上，连接6G交CE于点H.则8〃的长为（）

A.—B.—C.2x/3D.713

52

二,填空题（共5小题，每题3分）

9.已知：tan（6/-30°）=1,则锐角的度数为.

10.若关于x的一元二次方程h2-4工-2=0有两个实数根，则〃的取值范围是

11.如图，正方形力3co的边长为3cm,以直线力B为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面

积是

12.如图，在平面直角坐标系他，中，点Ai都在反比例函数），=*＞。）的图象上，延长“眩N轴于

第2页/共7页

点C,过点A作40_LN轴于点。，连接8。并延长，交X轴于点石，连接CE.若＜B=2BC,ACDE的

面积是4,则〃的值为.

13.如图，将等边A4?。沿4c翻折得△力OC,连接交4c于点。.AB=66,点E为边AD上一点,

连接CE,将线段EC绕点C顺时针旋转NBCD的角度后得到对应的线段CF(即ZECF=ZBCD),EC交

=—＞则DF长为

3

三,解答题(共6小题)

14.计算和解方程:

十16一2卜(2

(1)2cos300+[5,

(2)(x+8)2=3(x+8)

15.如图，V4BC1中，N4CB=90。，点D为4B边中点,过。点作48的垂线交3c于点处在直线OE

上截取DF,使。E=七。，连接AE、AF.BF.

(1)求证：四边形尸是菱形；

3

(2)若cos/EBF=-,BF=5,连接C。，求CO的长.

第3页/共7页

16.如图，已知力(-4,〃)，5(2,-4)是一次函数y二履十匕的图象和反比例函数y二丝的图象的两个交点.

X

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线48与x轴的交点C的坐标及40B的面积；

(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的工的取值范围.

17.贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”.某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两

种测量方案.

课

实物图测量公馆桥的高度

题

方案一方案二

测

量飞,_______

示工

意

图

无人机位于水面上方62米的N

方无人机位于水面上方62米

处，测得桥面正中心力的俯角为

案的尸处，测得力的俯角为

45。，将无人机水平向左移动91

说45°,。的俯角为37。(力，

米到达"处，测得点4的俯角

明C在桥面上).

为37。.

(1)根据以上数据判断，方案不能求公馆桥的高度：

334

(2)利用以上可行方案求公馆桥的高度(参考数据tan37。六一，sin37°«-,cos37°«-).

455

18.某商场购进A8两种纪念品，已知纪念品4的单价为30元，比纪念品8的单价高10元.其中纪念

品/的售价为45元，纪念品8的售价为35元.

第4页/共7页

（1）经统计，6月份纪念品/的月售量为100件.7月份，商场决定采用对纪念品/降价促销的方式回馈

顾客，经试验，发现该款纪念品每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念品降价多少元时，月销

售利润达1980元？

（2）若商场计划购买纪念品月、8共400件，且纪念品力的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用

不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？

19.【项目式学习】

项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

像规律.

项目素材：

素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

素材二：设物距为〃，像距为V和焦距/,小明在研究的过程中发现了物距〃、像距v和焦距/之间在成实像

111

时存在着关系：一+一二7.

UVJ

【项H任务】根据项目素材解决问题：

任务一：小明先取物距〃=1.5/,然后画出光路图（如图①），其中48为物体，。为凸透镜.MN的光心,

入射光线4c〃光轴，折射光线CH经过焦点C',为46所成的像.

M

iffo-f

N

图②

AB

（1）根据光路图①可知，当”=1.5/'时,7F-

第5页/共7页

(2)当〃=2/时，请仿照图①的力法，在图②中画光路图;

任务二：凸透镜的焦距为6cm,蜡烛48是4cm,离透镜中心。的距离是xcm,(x>6)时，蜡烛

的戊像AB'的高声m,请你利用所学的知识求出》与x的关系式；

任务三：根据任务二的关系式得出表：

物距x/cm81()121416

像高Wcm1264m2.4

(1)m=；

(2)当蜡烛的成像4b的高不小于2cm时，请在坐标系中画出它的图象；

20.已知，在正方形45C。中，点E、尸分别在边CD和4D上，连接4£、交于点G,AF=DE.

(1)如图1,求证：N4G”=90。；

(2)如图2,若点石为C。的中点，连接CG,求tan/GCO的值

(3)如图3,在矩形45CQ,45=6,AD=8,点E、尸分别在边CD和4。上，连接力£、8尸交

于点G,若4/=3,AE1.BF.连接BD交力E于点H,点M是BD上的一点，过点M作MN〃4上

交直线CD于点N,①若GM上BD,则线段A7/V的长为；②若GM平分NBGE,则线段MN

的长为__________________

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2025届初三年级第一次月考数学试卷

一、选择题（共8小题，每题3分）

1.如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治,可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（）

正面

A.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查三视图，根据观察得到三视图即可得到答案.

【详解】解：主视图是

故选：D.

2.若一元二次方程（4一1）/+3%+%2_]=0的一个根为o,则左的值为（）

A.k—0B.k-\C.k--\D.左一1或〃-一1

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别

注意一元二次方程的二次项系数不得为零.把x=0代入方程（上一1）/+3工+42-1=0,解得〃的值.注

意：二次项系数不为零.

【详解】解：把x=0代入一元二次方程（％-1）/+3工+攵2-1=0,

得/_1=（）,

解得〃=-1或1；

又〃一1。0,

即上工1;

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所以〃=一1.

故选：C

3.已知反比例函数>=—的图象位于第一、三象限，则〃的取值可以是（）

x

A.-2B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】由反比例函数的性质得，;-2〉0,解得〃〉2,即可做出判断.

【详解】解：•••反比例函数y二2的图象位于第一、三象限，

x

・•・〃-2>0,

>2,

〃的取值可以是3,

故选：D

【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键.

4.ZVI4C中，ZJ,N4都是锐角，且siM=①，cos4=！，则的形状是（）

22

A直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.锐角三角形或钝角三角

*

形

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出NA,NB的度数，进而得出答案.

【详解】Vsin4=,cosB=—»

22

AZ/1=45°,ZB=60°,

AZC=75°,

。的形状是锐角三角形.

故选C.

【点睛】此题主要考杳了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

5.如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对

角线是否相等，以确保图形是矩形.其中的道理是（）

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A.有三个角是直角的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键.根据平行四边形的判定定理，两组对边

分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平

行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等；

【详解】解：如图，

•・•两组对边的长度分别相等，AD=BC,AB=DC,

・•・四边形ABCD为平行四边形，

又•:测量它们的两条对角线相等，AC=BD,

・•・平行四边形为矩形.

故选择B.

6.函数^二々％工0）与函数y=-攵在同一坐标系中的图像可能是（）

X

【答案】A

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【解析】

【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数^=云-左可知，直线经过点（1,0）,

故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，女的符号，从而选出答案.

【详解】解：•.•函数少=履-攵的图像经过点（1,0）,

选项B、选项D不符合题意；

由A、C选项可知：左＞0,

k

・••反比例函数y=_（k工0）的图像在第一、三象限,

X

故选项A符合题意，选项C不符合题意；

故选：A.

7.如图。ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使。£：4。=1：3,连结EF交DC于点G,则S&DEG：S^CFG

=()

A.2：3B.3：2C.9：4D.4：9

【答案】D

【解析】

【分析】先设出DE=x,进而得出4O=3x,再用平行四边形的性质得出8C=3x,进而求出CF,最后

用相似三角形的性质即可得出结论.

【详解】解:设DE=x,

•；DE:AD=1:3,

AD=3x，

•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD//BC,BC=AD=3x,

•・•点F是BC的中点，

13

：.CF=-BC=-x,

22

VADHBC,

第4页/共28页

・•・^DEGFCFG，

4

9

故选D.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题

的关键.

8.如图，在矩形力8CO中，AB=3,BC=5,把矩形48CZ）绕点C旋转，得到矩形CEPG且点8的

对应点?恰好落在力。上，连接3G交CE于点H.则8”的长为（）

185V2rr-

A.—B.—C.2V3D.V13

52

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

作BLLEC于L点,则4CLB=90°,同时由旋转得到DE=V^C2-CD2=4，NHLB=/HCG=90°,

先证明ALBC二△OCE,得到£8=CG=3,再证明三AG”。，得到，瓶==2,

2

进而利用勾股定理得到BH的长度.

【详解】解：作。于乙点，则NCL8=90。，

;四边形Z3CZ）为矩形，AB=3,8c=5,

：・CD=AB=3,AD=BC=5,ND=NBCD=9。。,BC\\AD,

・"CLB=ND,ZBCL=ZCED,

由旋转可知，CE=BC=5,CG=CD=3,NECG=/BCD=90。,

:・DE7EC?-CD?=4,NHLB=NHCG=90°,

在ALBC与.DCE中,NCLB=/D,ZBCL=ZCED,CE=BC,

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・•・ALBCW2CE,

：・LC=DE=4,LB=CD=3.

.**LB=CG=3，

在ABHL与dGHC中,/HLB二/HCG=90。,ZBHL=ZGHC,LB=CG，

・•・ABHL岂4HC,

：.HL=HC=-LC=2,

故选：D.

二,填空题（共5小题，每题3分）

9.已知：tan（67-3O°）=l,则锐角N。的度数为.

【答案】75°

【解析】

【分析】由tan45。=1可知。-30。=45。，据此解题.

【详解】解：•••tanS-300）=l,tan45o=1

；.a-30o=45°

.•/=45。+30。=75。

故答案为：75。.

【点睛】本题考查特殊角的正切值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

10.若关于x的一元二次方程依2一41-2=0有两个实数根，则女的取值范围是.

【答案】42—2且

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程尔+&+。=0（。。0）的根与八二62一4"

有如下关系：①4,。，方程有诙个不相等的实数根，②△=（）,方程有两个相等的实数根，③△＜（）,方

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程没有实数根.由一元一次力程根的判别式列出△=(-4)2-4Ax(-2)20,求解即可，也考查了一元一次

方程的定义.

【详解】解：:关于x的一元二次方程依2一4工-2=0有两个实数根，

.•.A=(-4)2-4^X(-2)>0,

解得：k>-2,

•/4工0,

二.k的取值范围是左之一2且女工0,

故答案为：女之一2且〃工0.

11.如图，正方形48CQ的边长为3cm,以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面

【答’案】18cm2

【解析】

【分析】本题考查了三视图的知识以及平面图形旋转后的立体图形，左视图是从物体的左面看得到的视图，

考查了学生细心观察能力和计算能力，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在

左视图中.熟知三视图的知识和具备良好的空间想象能力是解题的关键.

【详解】正方形ABC。的边长为3cm,以直线力3为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱

体，该圆柱体的左视图为矩形：

矩形的两边长分别为3cm和6cm,

故矩形的面积为18cm2.

故答案为：18cm?.

12.如图，在平面直角坐标系NQM中，点A,8都在反比例函数j，=±(x>0)的图象上，延长力8交V轴于

X

点C,过点A作4。_LN轴于点。，连接BC并延长，交X轴于点E,连接CE.若4B=2BC,ACDE的

面积是4,则A的值为.

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【解析】

【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识；过点8作8/一/。于点G

(k、(k\kk

连接4E,设点力的坐标为。,一，点"的坐标为"工，则——，证明

4Bjp

“BFs"CD,贝U八=，得到a=3b,根据=12,进一步列式即可求出A的值.

ACAD

【详解】解：过点B作BF上4D于点F,连接4E，设点力的坐标为£，点8的坐标为，则

AD=。，AF=a-b,BF=---,

ba

VAB=2BC,

AB2

•・・,4。_1＞轴于点。,

・•・CD//BF,

/.AABFS44CD»

・AB_AF_BF

••万一万一五'

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AB_a-b_2

ACa3

a=3b,

kk2k332kk

：.AF=a-b=2b,BF=------=—CD=-BF_x__—_

ba3b223h~b

•:△。。£的面积是4,

EOxCD=2S.CDF=8

b

又VD。4*

18bk4

S&EOC=~XEOxOD—X—X——

2k3b3

,:/BDF=4DE0/BFD=NDOE

：,4BFDS4DOE

2k

.也=竺=甚=2

•'DEDOA

3b

,**ACDE的面积是4,

**,84BCD=2sMDE=8，则S&BCE=口

:.S△zAl£B/OF=2ABCE-24,

：.-ADBF+-ADOD=24,

22

幺+4•幺=24,

3b,23b

311

即一“一一k十—k=24,

222

解得％=16,

故答案为：16

13.如图，将等边△/BC沿力。翻折得△力。C,连接3。交/C于点0.48=6百，点£为边上一点,

连接CE,将线段EC绕点。顺时针旋转N4CO的角度后得到对应的线段C尸（即NEC『=N3CO）,EC交

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EP二，，则。厂长为

8。于点连接。尸，若

~PC3

【答案】2历

【解析】

【分析】连接8E,作5"J_/。交。/的延长线于〃，通过翻折性质先得到四边形46C。为菱形，再证

得ABEC⑶DFC,得到DF=BE,再证得ADEPSABCP,求出DE,再通过含30度的直角三角形性质

及勾股定理得到BH,再通过勾股定理得到BE即可求解.

【详解】解：连接8E,作交04的延长线于，，

•・•将等边A48C沿力C翻折得"DC,

/.AB=AD=BC=CD=66,

・•・四边形4BCQ为菱形，NABC=60。，

・•・4DAB=/BCD=120°,AD\\BC,

•・•将线段EC绕点C顺时针旋转/BCD的角度后得到对应的线段。入

：・4ECF=/BCD=120°,CE=CF,

・•・乙BCE=4DCF,

在△BEC与4DFC中,BC=CD,ZBCE=ZDCF,CE=CF,

・•・ABEC沿&DFC,

,DF=BE,

VAD||BC,

；・4EDP=4CBP,NDEP=NBCP，

.*•GEPs^BCP»

DEPE1

:.-----=------=—，

BCPC3

:.DE=2也，

，4E=AD-ED=45

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•・•ZDAB=ZBCD=\200,

・•・/B4H=6。。,

又•:BH1AH,

・•・乙4BH=30。,

：.AH=-AB=3y/3,

2

,BH=JAB?-AH?=9，

EH=AH+AE=76，

・•・DF=BE=>]EH2+BH2=2后•

故答案为：2府.

【点睛】本题考查了全等三角形证明与性质，相似三角形证明与性质，勾股定理，菱形的基本性质，翻折

问题等知识点，综合程度较高，能够正确画出辅助线是解题关键.

三,解答题(共6小题)

14.计算和解方程：

(2)(x+8)2=3(x+8)

【答案】(1)4；(2)X.=-8,X2=-5

【解析】

【分析】本题考查特殊的三角函数值，实数的运算，以及一元二次方程的解法，熟练掌握基本运算法则是

解题关键.

(1)先化简特殊三角函数值，负指数次累，零次塞和绝对值，再通过实数运算法则运算即可；

(2)先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

第11页/共28页

解：原式=2x曰+(—2)+2—6+1+3,

=方-2+2-万+1+3，

=4,

【小问2详解】

解：(X+8)2-3(X+8)=0,

(x+8)(x+8-3)=0,

(x+8乂x+5)=0,

x\=-8,工2=—5•

15.如图，V力3c中，N力C3=90。，点。为48边中点，过。点作48的垂线交BC于点石，在直线。石

上截取。/，使QF=ED,连接4七、AF.BF.

(1)求证：四边形力E8尸是菱形；

3

(2)若COS/EBF=M，BF=5,连接CQ,求CO的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵2后

【解析】

【分析】(1)根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形月£8户是菱形；

3

(2)过点尸作尸GJ_8C于点G,得矩形力/GC，根据cos/E8/二不，BF=5,可得8G=3,

FG=AC=4,根据勾股定理求出力6的K,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的•当可得。。的

长.

【小问1详解】

证明：•・•点。为力3边中点，

/.AD=BD,

*/DF=ED,

第12页/共28页

・•・四边形AEBF是平行四边形，

,/EFLAB,

・•・四边形/仍尸是菱形：

【小问2详解】

解：如图，连接CQ,过点/作FG_L8C于点G,

VZJCZ?=90°,

・•・4CB=NCGF=90。,

•・•四边形4月3厂是菱形，

AAF//BE，

・•・/FAC=180°-/ACB=90°,

・•・四边形力/GC是矩形，

3_

*/cosZ.EBF——,BF=5,

5

3

・•・BG=BFcos/EBF=5x士=3,

5

,AC=FG£BF?-BG2=5/52-32=4,

•・•四边形4房尸是菱形，

:・CG=AF=BF=5,

・•・BC=CG+8G=5+3=8,

：・AB=ylAC2+BC2=A/42+82=46，

VZJC^=90°,。是43的中点，

:・CD=、AB=2逐,

2

・・・。。的长为2石.

第13页/共28页

【点睛】本题考查菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角

形.解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

16.如图，已知4(-4,〃)，4(2,-4)是一次函数)，=h+b的图象和反比例函数)，=竺的图象的两个交点.

JC

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线48与x轴的交点C的坐标及“0B的面积；

(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围.

Q

【答案】(1)反比例函数解析式为：y=—-，一次函数的解析式为：y=-x-2.

x

(2)点。的坐标为：(-2,0),△408的面积为6；

(3)-4<x<0或%>2.

【解析】

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键.

(1)先通过8点得到反比例函数解析式，再求出A点坐标，再通过4B两点坐标得到一次函数解析式；

(2)令一次函数的函数值等于0,求出x的值即可知道与x轴的交点坐标，再把的面积拆成△ZOC

的面积与ACOB的面积之和即可求解；

(3)直接通过函数图象即可得到.

【小问1详解】

解：4(2,-4)在反比例函数y='的图象上，

-X

:.=2x(-4)=-8,

Q

・••反比例函数解析式为：y=—,

X

Q

把代入y=—,

X

得T〃=—8,解得〃=2,

则,4点坐标为(-4,2).

第14页/共28页

把.4(-4,2),6(2,-4)分别代入>二日十匕，

-4k+h=2k=-\

得〜L），解得

2%+方=-4人=一2'

・•・一次函数的解析式为>二一工一2：

【小问2详解】

Vy=-x-2,

・•・当一工一2=()时，x=-2,

.••点C的坐标为:(-2,0),

・•・△力08的面积="OC的面积+△COB的面积,

=—x2x2+—x2x4=6.

22

【小问3详解】

由图象可知，当-4<x<0或x>2时，一次函数的值小于反比例函数的值.

17.贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”.某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两

种测量方案.

课

实物图测量公馆桥的高度

题

方案一方案二

测

量

飞,__________

示A/X3704乎N

意

1

图—S

无人机位于水面上方62米的N

Os方无人机位于水面上方米

62

处，测得桥面正中心力的俯角为

案的尸处，测得力的俯角为

45。，将无人机水平向左移动91

说45°,C的俯角为37。(4

米到达〃处，测得点4的俯角

明C在桥面上).

为37。.

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(1)根据以上数据判断，方案不能求公馆桥的高度；

334

(2)利用以上可行方案求公馆桥的高度(参考数据tan37。才一，sin37°«-,cos37°«-).

455

【答案】(1)一(2)23米

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解.

(1)方案一中延长A4交P所在水平线于点。，过点C作CELPD于点、E,设45=x,则

62-x62-x

PD=AD=CE=62—X,得出尸E=------,根据尸。=尸七一。七，得出x=--------DE,由于OE

tan37°tan37°

的值不知，故无法求解•，即可得出结论；

(2)利用方案二求公馆桥的高度，延长84交"N于点C,设MC=x米，则CN=(91—x)米，则

3

^C=MC-tan37°=-x,AC=CN,列出方程求出x的值，即可解答.

4

【小问1详解】

解：方案一：

延长庆i交P所在水平线于点D,过点C作C£_LPD于点E,

根据题意可得：CD=62,ZAPD=45°,ZCPE=37°,

・•・AD=PD,

易得四边形力OEC为矩形，则QE=/C,/O=CE,

设,48=x,则0O=/O=CE=62—x,

：.PE=tJ=j,

tan37°tan37°

•:PD=PE—DE，

Ax=62~x-DE,

tan37°

由干。上的值不知，故无法求解，

・•・方案・不能求公馆桥的高度，

故答案为：一；

【小问2详解】

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解；利用方案二求公馆桥的高度

延长4力交于点C,如图

由题意得力C_LMV

设〃。=1米，则CN=（91-x）米

AC

在RtA/lGW中tanZ.AMC=----

MC

：..4C=A/Ctan37°=-x

4

在RtZ\4CN中，VZANC=45°,

/.AC=CN

3

-x=91-x

4

解得：x=52

・・・,4。=39米，43=6。-4。=23米

答：公馆桥的高度为23米.

18.某商场购进力、8两种纪念品，已知纪念品力的单价为30元，比纪念品8的单价高10元.其中纪念

品,4的售价为45元，纪念品月的售价为35元.

（1）经统计，6月份纪念品力的月售量为100件.7月份，商场决定采用对纪念品力降价促销的方式回馈

顾客，经试验，发现该款纪念品每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念品降价多少元时，月销

售利润达1980元？

（2）若商场计划购买纪念品4、B共40（）件，且纪念品月的数量不少于纪念品4数量的2倍，若总费用

不超过1100（）元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？

【答案】（1）当纪念品4降价4元或6元时，月销售利润达1980元

（2）当购买力纪念品267件，购买5纪念品133件时，总费用最少

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及不等式的应用.

（1）设纪念品A降价x元时，月销售利润达1980元，据此列关于x的一元二次方程，解方程即可得出答

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案；

(2)设购买/纪念品机件，则购买8纪念品(400-〃。件，设总费用为体，根据提接列关于〃?和w的函

数表式式，再由题意列关于加的不等式，得出，〃的取值范围，再根据一次函数的性质得出用的值，进而得

出答案.

【小问1详解】

解：设纪念品A降价x元时，月销售利润达1980元，

由睡意得：(45—30—x)(100+20x)=1980,

解得：z=4,x,=6；

答：当纪念品4降价4元或6元时，月销售利润达1980元.

【小问2详解】

解：设购买/纪念品〃，件，则购买8纪念品(400-〃?)件，设总费用为w,

由题意可得：w=30/n+20(400-//?)=10m+8000,

•・•纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍

/.m>2(400-/n),

•・•总费用不超过11000元,

A10//7+8000<11000,

解律〃?二300,

综上得：2662<〃?《300,

3

*.*w=10〃7+8000，

V10>0

・・・w随着，〃的增大而增大

・•・当加取267时，总费用最少为10670元，

，当购买力纪念品267件，购买8纪念品133件时，总费用最少.

19.【项目式学习】

项目主题：学科融合一用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

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像规律.

项目素材：

素材•：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

素材二：设物距为〃，像距为V和焦距/,小明在研究的过程中发现了物距“、像距V和焦距/之间在成实像

I1I

时存在着关系：一+一=7.

“Vf

【项目任务】根据项目素材解决问题：

任务一：小明先取物距〃=1.5/,然后画出光路图(如图①)，其中为物体，。为凸透镜A/N的光心,

入射光线4C〃光轴，折射光线CH经过焦点C',为48所成的像.

iffo-f

N

图②

AB

(1)根据光路图①可知，当〃=1.5/时,

而

(2)当〃=2/时•，请仿照图①的方法，在图②中画光路图;

任务二：凸透镜的焦距O尸为6cm,蜡烛43是4cm,离透镜中心。的距离是戈cm,(x>6)时，蜡烛

的成像AE的高,请你利用所学的知识求出y与x的关系式；

任务三：根据任务二的关系式得出表：

物距x/cm810121416

像高y/cm1264m2.4

(1)m=_________________

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（2）当蜡烛的成像4®的高不小于2cm时,请在坐标系中画出它的图象;

124

【答案】任务一：（1）-：（2）图见详解：任务二：歹与x的关系式是：y=--；任务三：（1）3；（2）

2x-6

图见详解

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键：

任务一：（1）由题意易得则有当=U=£=£，然后可得必=2,进而问题可

AAAC1.5/3OA

求解；

（2）根据题意可直接进行作图；

任务二：由任务一可知AB'=2a,O8'=6+3。，则工：（6+3。）=4:2。，从而得

12

a二—然后根据y==可得出V与x的关系式；

任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可；

（2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象.

【详解】解：任务一：（1）・・・/c〃光轴，

A^A'CO^A'CA，

.A'OPCf_2

-L5/-3*

.40-

••—2,

0A

VAB//AB>

：・AAB'OS"BO,

.A'OA'B'个

OAAB

tAR

••♦，;

AB2

（2）由题意可得如图所示：

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光轴

任务二：依题意得：四边形力3C0为矩形，。8二xcm,AB=4cm,OC=6cm,

OC-AB=4cm,

'：A'B7/0C,

:.△COC's"，BC,

OCOC2

,即W