2026中考数学核心知识速记手册

初中数学必备公式

0幕的运算C3三角函数

l.d-a”=aS，n都是正整数).1.特殊锐角的三角函数值

2.am+a"=a"*r(aN0,m,〃都是正整数，并且角A

30°45°60°

n).锐角三角嬴、

3.(aD”=L(,〃，〃都是正整数).

273

sinA42

4.(a6)"=a"6"(n为正整数).~222

1

5.信)是正整数).cosA在42

22~2

73

@整式的乘法tanA173

3

1.(a+b)(a—b')=a2—b2；

2.斜坡的坡度（坡比）：

!

2.(a±6)2=a'±2a61b.i=鬻器=9.如图，设坡角为

@算术平方根性质的应用

a,a>0,a，则/=tana=~.

l./aT=\a|=-0,a=0,

（D多边形

~a,aVO.

1.内角和为（〃-2）X180°,外角和为360°；这个n边

2.（&）2=a（a）0）.形共有必尹条对角线.

@二次根式的乘除法

2.正多边形中每个内角的度数为（〃—2）X180。

\./a,4b=>/ab(a)O,b'O)；

n

中心角=外角=哼".

(a>0,6>0).

Jb、"

@一元二次方程国面积公式及圆中的相关计算

1.面积公式

一般形式:+6z+c=0(aW0).

（DS正三角形=§X边长。

1.求根公式：工=二二皿。27ao.

（2）S菱形=底乂高=Jx对角线的积.

2根.的判别式:△=62一4斤.

3.根与系数的关系：不+12=—2用,”2=；2.圆中的相关计算

⑴弧长/=嚼

国函数lov〃。为弧所对的圆心角度数,

⑵s=处必R为半径，/为弧长.

1.一次函数：3=红+。（36是常数/X0）.（2）、“形360

2二.次函数

⑶圆锥面积:如图,=Jx

一般式+&r+c（a,6,c是常数,a#0）.

顶点式：j=a（x一刀/+A（a7t0）.底面周长X母线长="〃，并

交点式:y=a（z—为）（]—①2）（aW。）.且2河=瑞（底面圆的周长=/.

b4ac-b2

对称轴:《=一五，y©大（小岫=—五—•侧面展开扇形的弧长），

S表底囱=芯"+”厂2=Kr（Z+r）.

3.反比例函数的三种形式》=SQ+S

0统计与概率

y=I，y=kxx,xy=B1.样本平均数：工=[（11+#2+—+]”）.

AOX

々（4#0,NR0）.

2.样本方差：/=:[（#]—£）2+（凡—£>+…+

比例系数女的几何意义:如图，

PCr,y）2

点在双曲线上，（xB-X）].

则有S期.收MPB=IzyI=I-，3.样本标准差：s=JP\

事件A包含的基本事件的个数，〃

S^AOB=S^APB=~2EyI="怩，4.概率:P(A)=

基本寿件的总数n

模块一数与式

SCO实数(含二次根式)

一、知的勾

正数和负数

用正、负数表示具有相反

正数和负数

意义的量平方根

整戏和分教

平方根的性质

用正、负数表示误差范围二平方根

开平方

算术平方根

有理数

有理数的分类有理数和无理数立方根

无理数L立方根立方根的性质

开立方

认识数轴、画数轴

数轴与有理数、无理数

-数轴一无理数

的关系

实数及分类

利用数轴比较有理数的r-实数

实数与数轴上点的关系

大小

比较实数的大小

实数

绝对值

近似数

相反数-近似数

近似数的精确度

多重符号化简绝对值与相反数

绝对值的性质

比较有理数的大小」

-二次根式的概念

二次根式有意义的条件

有理数的加法二次根式的性质

有理数的减法二次根式的乘法法则

有理数的乘法二次根式二次根式的除法法则

倒数最简二次根式

有理数的运算

有理数的除法同类二次根式

有理数乘方的意义二次根式的加减

有理数乘方的运算二次根式的混合运算

科学记数法，

二、核心知识

1.相反数:实数a的相反数是一a.特别地,0的相反数是0.

a

2绝对值，即为作负性.

“(u<0)•

3.倒数:非零实数a的倒数是.特别地,±1的倒数是其本身.

a

<1►

4.科学记数法

表示形式ax10。

a的确定1<al<10

1.当原数的绝对值210时，。是正整数，。等于原数的整数位数减1；

n的确定2.当0<原数的绝对值<1时,n是负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非

零数字前0的个数(包括小数点前的0)

5.比较两个实数大小的常用方法

⑴比较被开方数:如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比

较两个实数的大小.

(2)数轴比较法:根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形

脆.

(3)法则比较法:根据“正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数，绝对值大的反

而小”进行比较.

(4)作差比较法:当a—b>0时,a>b;当a—b=0时,a=b;当a一b<0时,a<b.

(5)作商比较法：已知a,b为正数，若jI,则a>b;若;-1,则24;若;1,贝I」

a<b.

⑹倒数比较法:已知a,b为正数，若「则a<b.

UU

⑺平方比较法:已知a,b为正数,若a?>b2,则a>b.

6.二次根式的运算及估值

1.加减运算:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并；

二次根式

2.乘法运算：、a.、ib=、(a>0,b>0);

的运算

3.除法运算J”a>0,b>0)

1.先对二次根式平方，如(、7)2=7；

二次根式2.找出与平方后所得数字相邻的两个能开得尽方的整数，如4和9；

的估值3对这两个整数开方如1=29=3・

4确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间如2<7<3

•，、

牢记常见的无理数的近似值：

温馨提示、/5-1

、，2刈.414,、,：区1.732,、亏”2.236,--0.618

2

整式

分式

一、知识结构

代数式单项式相除

r整式的除法

单项式-多项式除以单项式

多项式代数式

平方差公式

接式-

乘法公式

列代数式及代数式的意义完全平方公式

代数式的值因式分解

代数式的值

求代数式的值的步骤公因式

因式分解用提公因式法分解因式

同类项-用公式法分解因式

合并同类项合并同类项

用十字相乘法分解因式

代数式的化简求值

分式的概念

代数式

去括号分式有意义、无意义或等

去括号

添括号于0的条件

分式的基本性质

整式的加减-分式的约分

整式的加减分式

整式加减的应用分式的通分

同分母分式的加减

单项式与单项式相乘1

异分母分式的加减

单项式与多项式相乘整式的乘法

分式的乘除法

多项式与多项式相乘」分式的混合运算

二、核心知识

1.整式的运算

名称运算法则公式

同底数幕

底数不变，指数相加铲.上=/。向/7都是正整数）

的乘法

同底数幕”铲=（awO,m,。都

底数不变，指数相减

的除法是正整数，并且

鬲的乘方底数不变，指数相乘（针）都是正整数）

积的乘方把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘（ab）〃=an夕（。是正整数）

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积，(a+b)(a—b)=a2—b2

等于这两个数的平方差

乘法公式

完全平方公式:两个数的和（或差）的平方，等于

(a±b)2=a2±2ab+b2

它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍

3

2.因式分解

提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)

逆用平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b);

公式法注意:因式分解

逆用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

要分解彻底

分组分解法ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)

十字相乘法产+(a4-b)r+ab=(r+a)(r+b)

3.分式的乘方运算；m是正整数).

4.通过面积法推导平方差公式

图1

如图1所示，阴影部分的面积为a2—b2，如图2所示，阴影部分的面积为(a+b)(a—b),

所以可以得到(a+b)(a—b)=a2-b2.

平方差公式的结构特点:等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相

同,另一项互为相反数;等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同

项与互为相反数的项的平方差.

5.通过面积法推导完仝平方公式

①如图1所示，因为边长为a+b的正方形的面积为(a+b)2,它的面积还可以看成是两

2

个小正方形的面积与两个长方形的面积的和，即a?+2ab+b，所以可以得到(a+b)2=

a2+2ab+b2.

②如图2所示，因为边长为a-b的小正方形的面积为(a—b)2,它的面积还可以看成是

大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即a2—ab—b(a—b)=a2—2ab+b2，所以

可以得到(a—b)2=a2—2ab+b2.

完全平方公式的结构特点:等号左边是两个数的和(或差)的平方，等号右边是一个二次

三项式，即这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.

4

模块二方程(组)与不等式(组)

一次方程(组)

分式方程

■元二次方程

一、知识结构

一元一次方程的概念

一元二次方程的概念

根据实际问题列一元

一次方程一元二次

_一兀一次方程一元二次方程的一般形式

方程的解和解方程

方程

解方程―一元二次方程的根

用一元一次方程解决

实际问题的一般步限用直接开平方法解一元二次

方程

二元一次方程的概念-、

二元一次方程的解一元二次方用配方法解一元二次方程

程的解法

二元一次方程组的概念―用公式法解一元二次方程

方程与

二元一次方程组的解

-二元一次方程组'用因式分解法解一元二次方程

用代入消元法解二元一方程(组)

次方程组一元二次方程的根与系数的

用加减消元法解二元一_一元二次方关系

次方程组程的根与系

常见的一些等量关系数的关系一元二次方程的根与系数的

实际问题与二元一次一关系的应用

方程组

用一元二次列一元二次方程解决实际问题

分式方程的概念

方程解决实

分式方程的解法分式方程际问题用一元二次方程解决实际问题

列分式方程解决实际问题的类型

二、核心知识

一兀一次方程及其应用

一般形式:ar2+br+c=O(aWO).

-h+Jb1-1a(*

求根公式r=(d2—4ac>0)

La

A=b2-4g>0。一元二次方程有两个不等的实数根；

根的判别式A=b2-4ac=0多一元二次方程有两个相等的实数根；

A=b2-4㊀^:^:一元一次方程无实数根

若入，,2是关于r的一元二次方程a产+b「+c=O(aWO)的两个根，则八+

根与系数

hc

的关系「2=一°=〃

一元二次方程的实际应用一般会涉及增长(或下降)率问题:设a为原来的量，

实际应用若m为平均增长率,2为增长次数，b为增长后的量很的(1+m)2=b;若m为

平均下降率,2为下降次数,b为下降后的量，则3(1-/77)2=b

5

第比漳不等式（组）

-、知识结构

"普慧｝生活中的不等式一元一次不等式的概念

解一元一次不等式

一元一次不等式的解法

不等式的解不等式与用一元一次不等式

在数轴上表示不等式不等式的解集

不等式组解决问题

的解集一元一次不等式组

不等式的性质1一兀一次不等式组一元一次不等式组的解集

不等式的性质2不等式的性质解一元一次不等式组

不等式的性质3

二、核心知识

1.不等式的性质

不等式的性质1如果a>b,那么a±c>b±c

不等式的性质2如果a>b,c>0,那么ac>bc(或’>：)

不等式的性质3如果a>b,c<0,那么ac<bc(或<)

对称性如果a>b,那么b<a

传递性如果a>b,b>c，那么a>c

2.不等式组的解法及解集表示

解法先分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分

类型(a>b)在数轴上表示口诀解集

(r>a,

I■同大取大r>a

(r>bha

解

集

的(r<a,

类(同小取小r<b

型[r<bha

及

表(r<a,

示(■大小小大取中间b<r<a

(r>bha

(r>a，

------------------►大大小小取不了无解

(r<bh

温馨提示:在数轴上表示解集时，要注意和“〉”在数轴上表示为空心圆圈,””和

““在数轴上表示为实心圆点.

6

模块三函数

平面直角坐标系及函数初步

-、知识结构

行列定位法

经纬定位法

平面上确定物体位置的方法变量与常量

区域定位法

平面直角坐一函数的概念

方格定位法

标系与函数函数的三种常见表示方法

平面直角坐标系

象限的划分与点的坐标特征平面直角坐标系函数的图象

图形变换与点的坐标变化

二、核心知识

1.对称点的坐标特征

(1)关于r轴对称:横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点(a,b)关于r轴对称的点的坐

标是(a,—b);

(2)关于v轴对称:横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点(a,b)关于v轴对称的点的坐

标是(一a,b);

(3)关于坐标原点对称:横、纵坐标互为相反数，即点(a,b)关于原点对称的点的坐标是

(—a,—b).

2.图形变换与坐标特征

已知图形上任意一点A(a,b).

图形变换图示对应点的坐标对应点的坐标特征

向上平移k个单横坐标不变，纵坐

A(a,b+k)

位长度标加k

向卜平移k个单横坐标不变，纵坐

平移ItA2(a,b—k)

位长度AAAA3标减k

变换

向右平移k个单Ax纵坐标不变，横坐

(Q0)2A3(3+k,b)

位长度标加k

向左平移k个单纵坐标不变，横坐

A4(a—k,b)

位长度标减k

横坐标不变，纵坐

关于r轴对弥y4(a,—b)标与原坐标互为

相反数

对称__h.A

变换0、！攵纵坐标不变，横坐

45

关于y轴对称AQ(—a,b)标与原坐标互为

相反数

温馨提示:当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平

行方向的两次平移.

7

-次函数

一、知识结构

一次函数、正比例函数的概念

一次函数一次函数与二元一次

确定一次函数的解析式」一次函数与二元方程的关系

一次方程

一次函数的图象一次函数与二元一次

方程组

一次函数的图象与性质一次函数

正比例函数与一次函数图象的

一次函数、一元一次函敷与一元一次

关系方程

一次方程和一元

一次函数的应用用一次函

一次不等式一次函数与一元一次

-次函数图象的应用」成血决问题不等式

二、核心知识

方法待定系数法

1.设:设一次函数的解析式为y=S•匕（内0）;

2.代:找出一次函数图象上的两点4,一月），BS,y2），将坐标分别代入一次

（yi=kri+b,

一般步骤函数的解析式得到方程组（

（y2=k「2+b•

3.解:解方程组可得k,b的值；

4.写:将k,b的值代入旷=公+8中即可

3.一次函数图象的平移

平移前的函数解析式平移方式（m>0）平移后的函数解析式总结

向左平移m个单位长度y=k{r+rh)+b左加右减

y=kr+b向右平移m个单位长度y=k(r—m)+b自谑

y=kr-t-/?十m

(R0)向上平移m个单位长度上加下减

向下平移m个单位长度y=kr+b—m常数项

8

QQ®反比例函数

一、知喃勾

反比例函数的概念'

反比例函数解析式的确定-反比例函数

列反比例函数的解析式

反比例函数用反比例函数解决问题

反比例函数的图象及画法

反比例函数的图象和性质-反比例函数的图象和性质J

反比例函数中比例系数”的

几何意义

二、核心知识

：（为常数）

反比例函数y=k,kHO

k的符号k>0k<Q

y

图象2]

X0厂

所在象限一、zz二四

在每一个象限内，y随r的增大而在每一个象限内，y随，的增大而

增减性

减小增大

1.关于直线片土，成轴对称，关于原点o成中心对称；

图象特征—_

2.图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相父，即rWO,yWO

9

@0Q@二次函数的图象与性质

00@S二次函数的实际应用

®Q@8二次函数与几何图形综合题

一、知识结构

二次函数的概念二次函数解析式的三种

二次函数用待定系数法形式

实际问题中的二次函数及桶繇要数「量变法求二次函

自变量的取值范围

数的解析式

画函数y=a.F(aX0)的图象

二次函数与一元二次方

二次函数片，(4,0)的图象「程的关系

和性质

二次二次函数与一利用二次函数的图象求

二次函数yuaF+cSHO)的图象

元二次方程

函数一元二次方程的近似根

和性质二次函数的图象

二次函数y=a(x-A)2+〃(aW0)的和性质二次函数与不等式的关系

图象和性质

建立二次函数模型求生

二次函数y=or2+〃x+c(a#0)用二次函数活中的最值问题

的图象和性质

解决问题建立二次函数模型解决

二次函数图象的平移规律生活中的抛物线型问题

二、核。'知识

1.二次函数的图象和性质

二次函数y=ar2+br+c（a,b,c是常数，a。。）

a的符号a>0a<Q

勺T

41/x

图象

IT7^V

开口方向向上向下

bb

对称轴r=~2ar=-2a

1bb%tbb、

顶点坐标Iu4lu<

\—2a'/（—Id/

当r<一/时)随厂的增大而减小；当r<一'时,y随，的增大而增大；

增减性

当》一现，y随，的增大而增大b

当r>一口寸,y随r的增大而减小

乙a乙a

巧'一'时，v取最小值，y最小值=h

当r=—2时，y取最大值，y最大值=

最值.,，

4ac—。4ac—tf

:“4a

10

2.二次函数图象与a,b,c的关系

a>Q开口向上

a

a<0开口向下

b=Q对称轴为y轴

b同号对称轴在y轴左侧

异号对称轴在y轴右侧

c=0过原点

cc>0与y轴交于正半轴

c<0与y轴交于负半轴

b2—4ac=0与，轴有唯一的交点（顶点）

tf—4ac接—4ac>Q与，轴有两个交点

b2—4ac<0与，轴无交点

3.二次函数图象的平移

平移前的函数解析式平移方式（m>0）平移后的函数解析式总结

y=a(r—h+m)2+k

向左平移m个单位长度左加右减

y=a(r—h)2+k向右平移m个单位长度y=a(r—h—m)2+k自谨

。。)y=a(r—h)2+k+m

(a向上平移m个单位长