2025-2026学年八年级数学上册期末重难点检测卷（培优卷）（考试范围：人教版13~18章 八年级上册全部内容）解析版

期末重难点检测卷（培优卷）（人教版

（满分120分，考试时间120分钟，共25题）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上；

2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：13~18章（八年级上册人教版新教材全部内容）；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第1卷（选择题）

一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）

1.（25-26八年级上•湖南长沙•期中）下列长度的三条线段能够成三角形的是（）

A.1,2,3B.4,5,8C.4,5,9D.5,6,11

【答案】B

【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和必须大于第三边，两边之差小于第三边，据此

逐项判断即可求解.

【详解】解：A.R+2=3,.•.三条线段不能组成三角形，不合题意；

B.v5-4<8,5+4>8.・.三条线段能组成三角形，符合题意：

CJ・4+5=9,.•.三条线段不能组成三角形，不合题意：

D.-5+6=U,・•.三条线段不能组成三角形，不合题意：

故选:B

2.（25-26八年级上•山东青岛•期中）计算二———的结果为（）

a+2a+2

A.a+2B.a-2C.2-aD.-2-a

【答案】C

【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到

答案：通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式.

5--_1_5-a2-l4-a2

【详解】解：：

aI2aI2aI2ai2

又•；4-a2=（2-a］（2+a）

4-/（2-a）（2+a）

•••-----=-----------=2-a、具中a-2）

a+2。+2

因此，结果为2-。，

故项：C.

3.（25-26八年级.上•福建南平•期中）如图，C。垂直平分"，若力C=5,BD=4,则ZUAC的周长是

【答案】D

【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相

等是解答此题的关键.

先根据线段垂直平分线的性质得出8c=ZC,BD=AD,由此可得出结论.

【详解】解：垂直平分48,AC=5,80=4,

...BC=AC=5,BD=AD=4,

/8C的周长=8C+/C+/8

=2C+4C+80+40=5+5+4+4=18.

故选:D.

4.（25-26八年级上•江西上饶•期中）如图，在四边形48CO中，对角线/JC,8。相交于点

0,AD=BC,AC=BD.若N4CQ=30。，则的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.80°

【答案】A

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证△4CQ丝△BQC（SSS）,得出

N8DC=/HCD=30°,再根据三角形外角的性质求N/4O。的度数.

【详解】解：AD=BC,AC=BD,CD=DC,

A/iCD^A5DC(SSS),

・•.NBDC=/ACD=300,

AAOD=4BDC+ZACD=60°,

故选A.

5.(25-26八年级上•河北石家庄•期中)下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的

内容.

分解因式:2a(x2-\)-2b(x2-1).

解：2a(x2-\)-2b(x2-1)

=2(X2-1)J：

=☆

其中运用到的方法是△和a

下列回答错误的是()

A.*代表(。-方)B.☆代表2(x+l)(x-l)(a-方)

C.△可能代表提公因式法D.□可能代表完全平方公式法

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；首先利用提取公因式法进行因式

分解,然后再用平方差公式法因式分解，即可解答.

【详解】解：2a(x2-l)-2Z)(x2-l)

=2(.v2

=2(x+l)(x-l)(a-6)

・•・*代表(。-力)，故A正确;☆代表2(x+l)(x-l)("〃)，故B正确；

所用方法为提公因式法和平方差公式法，

故△可能代表提公因式法，选项C正确；

□可能代表平方差公式法，而非完全平方公式法，选项D错误，

故选：D

6.(25・26八年级上•全国•期中)如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面

积关系得到的数学公式是()

hu

A.(a+b)2=a2+lab+b2B.(a-b)2=a2-lab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2bz

【答案】C

【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键.

通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案.

【详解】解：•••图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为。的正方形，

・••图1中阴影部分的长方形长为(。+力)、宽为(。一a,则面积为(a+b)(a-b)；

图2中阴影部分的是边长为。的大正方形面积减掉边长为6的小正方形面积，则面积为

由「两个阴影部分面积相等，则得(。+6)(。-6)=/-b~,

故选：C.

7.(25-26八年级上•山东济南•期中)欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两

人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖

得15个铜板.“乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得7个铜板.”问两人各有

多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程()

7（100-x）lx15（100-x）

A15x

AB=

100-xX100-xX

75xX

——D-100-x

•100-xX7（100-x）

【答案】A

【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等昂:美系，设甲农妇有x个鸡蛋,

1s7

则乙农妇有(100-力个鸡蛋，甲单价为肃一，乙单价为二，根据卖得钱数相同即可得方程.

1Ov-XX

【详解】解：设甲农妇有X个鸡蛋，则乙农妇有(100-X)个鸡蛋，

根据题意得'),

100-xx

故选:A.

8.(25-26八年级上•湖北武汉•期中)我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式M，发现了(。+/叶(“为非负数)展

开式的各项系数的规律.例如：（a+b）°=l,它只有一项，系数为1；（。+科=。+3它有两项，系数分别

为I、1；（a+b）2=/+2ab+〃，它有三项，系数分别为1、2.1；（a+Z?）3=a3+3^b+3ab2+Z?3,它

有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，5+6>心展开式中各项系数之和是（）

A.22023B.22024C.22°»D.22026

【答案】C

【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出（《+力”展开式中各项系数之和为2"是解题的关

键.

根据题意，依次求出（。+。）“展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题.

【详解】解：由题知，

伍+外展开式中各项系数之和为2；

5+6）2展开式中各项系数之和为4；

m+6）3展开式中各项系数之和为8；

•••f

所以（a+b）n展开式中各项系数之和为2".

当"二2025时，

（。-6）285展开式中各项系数之和是22025.

故选：C.

9.（25-26八年级上•湖北武汉•期中）在探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项

目式学习中，创新小组将两块平面镜力从4c竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为

a（0'<a<90。），在同一平面内，用一束激光射到平面镜48上，分别经过平面镜片&8C两次反射后，入射

光线〃?与反射光线〃形成的夹角为尸，如图所示，根据光的反射原理可知N1=N2,/3=/4,则/与。的

数量关系为（）

A.a+〃=90。B.a+P=120。C.0+2/7=150。D.2a+夕=180。

【答案】D

【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键.

根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可.

【详解】解：,••N1=N2,Z5=180°-Zl-Z2,

,•.Z5=180°-2Z2,

同理：N6=180；2N3,

N5+N6=360°-2(Z2+Z3),

•.•N5+N6=180°—6，/2+/3=180。一a,

/.180°-/7=360°-2(180°-a),

即180。-/=2a,

.-.180°=2rz+/7,

故选:D.

10.(25-26八年级上•广东广州•期中)如图,MBC与"®C关于直线/对称,连接4H交对称轴/于点

M,若乙1=50。，ZC=30°,则下列说法不正确的是()

A.三角形力4c与三角形48'。'的周长相等

B.=且力彳_L/

C.连接88',CC,则44,BB',CC三条线段不仅平行而且相等

D.N8=100°

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理.根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连

线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出N6的度数，最后逐一分析选项即可.

【详解】解：A项：•••△48C与"®U关于直线/对称,

••.△ABCmAA'B'C,

由全等三角形的对应边相等可知，△力8C的三边与的三边分别相等，

它们的周长也相等，故A正确，不符合题意；

B项：与“FC关于直线/对称,彳与♦是一对对应点,

•••对称轴/是线段AAf的垂直平分线，

即=且44'1/,故B正确，不符合题意；

C项:连接88'，CC',与“0C关「直线/对称，

AAr,BB"CC三条线段都垂直于对称轴/,

在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行，

••・AA1//BB'//CC,

又•.•对称轴/是对•应点所连线段的垂直平分线，

AAf,BB',CC'三条线段被对称轴/垂直平分，但44,BB'，CC'三条线段不相等,故C错误,符合题

意；

D项：•・・△/4C与关于直线/对称，

.­.ZC=ZC=30o,

在。中，4=50。，ZC=30°,根据三角形内角和定理，Z5=180°-Z^-ZC=100°,故D正确，不

符合题意.

故选:C.

第II卷（非选择题）

二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）

11.（25-26八年级上•江西赣州•期中）如图，在△力8c中，点。在4C的延长线上，々=50。,

ZACD=\\5°,则//=.

【答案】65。/65度

【分析】本题考查三角形外角和定理，熟练掌握三角形外角和定理是解题的关键.

根据NIC。是△力4c的外角，48的度数等于//与的度数和，据此求出/力的度数即可.

【详解】解：根据题意得，4CD是ZUSC的外角，

则4=N4CD-N8=U50-50°=65。,

故答案为：65°.

12.（25-26八年级上•湖南长沙•期中）有若干张边长如图所示的长力形卡片，如果要拼一个长为（2。+3勿,

宽为（。+6）的矩形，则需要3类卡片共张

2。+36

a\I_|I口口..a+b

aba

【答案】10

【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键.多项式与多项

式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.先计算长为

（2a+3b）,宽为（2。+3与的矩形面积为2a2+5"+3〃，根据三张卡片的面积分别是,判断出各种

卡片的张数即可.

【详解】解：一个长为（2。+3与，宽为（…）的矩形，那么其面积为（2。+36）（〃+a=2〃2+5曲+3",

三张卡片的面积分别是,

那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张，

故答案为：10.

13.（25-26八年级」:江西南昌•期中）剪纸艺术是最古老的中国美间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中

的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点上的坐标为

(见i),关于y轴对称的点尸(2,〃)，则〃?+〃的值为

X

【答案】-1

【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于y轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不

变，据此即可求解.

【详解】解:由题意得：胆=-2,〃=1,

m+n=-1，

故答案为：-1

14.(24-25八年级上•重庆巫山・期中)如图有三种类型卡片力、B、C,现用力型卡片3张，8型卡片A张,

C型卡片4张一起拼成一个长方形.当左=时，这个长方形的周长最长为.

【答案】13或786/+10Z)

【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答.

【详解】解：当左=3x4+1x1=13时，3a2+\3ab+4b2=(3a+b)(a+4b),周长为:

2[(3a+/?)+(a+4〃)]=8a+10/?；

当£=3xl+lx4=7时，+74/>+4//=(3〃+46)(“+/)),周长为：2[(3白+4力)+(4+人)]=8〃+10力：

当£=3x2+1x2=8114,342+8a〃+4Z?=(3a+2b)(a+2Z>),周长为：2[(3a+2b)+(a+2b)]=S+86：

即上=13或7时，这个长方形的周长最长为8a+10Z).

故答案为：13或7；8a+106.

15.(25-26八年级上•广东广州•期中)定义：若两个分式的和为〃(〃为正整数)，则称这两个分式互为“〃

阶分式例如：上3Y\+一3・=3Jt+3=3,所以分式三3v与、3互为“3阶分式”.

x+1x+\x+1x+\x+1

Q

(1)分式一v与____互为“4阶分式”；

2x+l

（2）若分式二与F二互为“1阶分式“，则。=_____-

4+1a~

4

【答案】-—-3

2x+l

【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“〃阶分式''的定义是解此题的关键.

QYQV*

（1）根据"阶分式''的定义，分式的“4阶分式”为4-通过分式减法计算即可；

2x4-12x4-1

（2）根据“I阶分式”的定义，分式一J与一二的和为1,列出方程求解注意分母不为零.

a+\a-1

【详解】解：（1）设另一个分式为6,

皿0484（2x+l）-8x8x+4—8x4

则：8=4---------=----------------=--------------=--------,

2x+l2x+\2x+\2x+\

8r4

故分式—与~~7互为2阶分式”：

2x+l2x+l

（2）由定义得：—^―+—7=1,

。+1a~-\

去分母可得：a（a-l）+2=（a+l）（a-I）,

解得：。二3,

当。=3时，”2_1=8工0,满足题意

二4二3.

16.（25-26八年级上•山东青岛•期中）如图，已知AABCmADEF,点B,E,C,尸在同一条直线上，AC

交DE于点G.若四边形48£6的面积为9,则四边形。GW（即阴影部分）的面积为

【答案】9

【分析】本题主要考查全等三角形的性质，即全等三角形的面积相等，以及图形面积的转化.解题的关键

在于理解全等•.角形面积相等这一性质，并能发现四边形与四边形。GC产的面积都可以通过全等••角

形面积与AGEC面积的差来表示，从而建立起它们之间的等量关系.因为三角形全等，所以这两个三角形的

面积相等.观察图形可知，△48C的面积减去AG/C的面积就是四边形月8EG的面积，SE/的面积减去

△GEC的面积就是四边形。GW（阴影部分）的面积，由此可通过面积的等量关系求出阴影部分面积.

【详解】•:XABC94DEF

S、4BC=^ADEF

=SqEF~SAGEC

,,6c°AGEC

即，中8£G^I'WGCF=9

故答案为：9.

三、解答题(9小题，共72分)

17.(25-26八年级上•陕西西安・期中)把下列各式分解因式:

(1)-8。乎2+6必)；

(2)x(x-y)2-y(y-x)；

(3)(X2+1)2-4X2；

(4)-m2+6mn-9n2.

【答案】(1)-2加(荷-3历)；

⑵次-y)，-，u+y)

(3)(X+1)2(X-1)2

(4)-(w-3/?)2

【分析】(I)提取公因式法分解艮］可；

(2)提取公因式法分解即可；

(3)利用平方差公式，完全平方公式分解即可；

(4)先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可.

本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键.

【详解】(1)解：-8a3b2+6"%

=-2ab2(4a2-3bc)

(2)解：x(x-y)1-y(y-x)

=(x-y)(x2-xy+y).

(3)解：(7+1)2—4/

=(A2+1)2-(2x)2=+1+2A-)(X2+1-2x)

=(x+l)2(x-l)2.

(4)解:-m2+6mn-9n2

=一(〃/-+=一(〃？一3〃)一.

18.（25-26八年级上•山东聊城•期中）计算:

icfb-

⑴\~2^

67-34+1

a+aa2-1a-1

x2+\x1+x

(3)----+-----

x-2x-22-x

a2-2a+\

a+2

【答案】（1）-逻

9c

⑵。+1

(3"

«匚

【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键.

(1)先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解;

(2)根据分式乘除法运算法则计算即可;

(3)根据分式加减法运算法则计算即可;

(4)先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可.

也23(362cl

【详解】⑴解:

右1

(2)解:

4’+。

〃("3)(t?-l)(a+l)a+1

c(a+l)”3a-\

=a+\.

/,、初—+1x\+x

(3)解：-----------+----

x-2x-22-x

_x2+\xx+1

x-2x-2x-2

x2+\-x-x-\

X2-2X

x-2

「(I)

x-2

(4)解:

a+2)a+2

_a+2、

、a+2a+2；a+2

—_-_a__+_\x__a__+__2_

a+2(a-1)'

-a+\

=w

1

19.(25-26八年级上•江西上饶•期中)观察下列各式:

①(x+2)(x+3)=/+5x+6；

②(x+2)(x-3)=W-x-6：

(3)<x-2)(.r+3)=x2+x-6；

④(x-2)(x-3)=/-5x+6.

请回答卜列问题：

(1)总结公式：(x+tz)(x+/>)=x2+.¥+ah；

(2)已知a,h,m均为整数,且(x+a)(x+b)=x2+mx+5,求〃?的值.

【答案】(1)(。+〃)

(2)次的值为6或-6

【分析】本题主要考查了整式的乘法，

对于(1),根据上述过程解答；

对于(2),根据(I)可得必=5,a+b=m,再根据讨论m8的取值可得答案.

【详解】(1)解：(x+a)(x+h)=x2+(a+h)x+ah：

故答案为：g+%

(2)解：v(x+a)(x+b)=x2+mx+5,

由(1)得：ab=5,a+b=m,

，:a,b,均为整数，

二有以下四种情况：

①。=1,6=5：②。=-1,b=-5；③a=5,/>=1；(4)a=-5»/?=-1,

，a=1,8=5时，力?=a+b=6：

②当。=一1,8=一5时，m=a+b=-6：

③当a=5,8=1时，m=a+b=6；

④当。=-5,6=-1时，〃?=。+6=—6,

综上所述：加的值为6或-6.

20.(25-26八年级上•山东青岛•期中)中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为

世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利.从力

地到3地，路程为180km,某趟动车行驶的平均速度比普通列车快50%,所需时间比普通列车少30min,

求该动车行驶的平均速度.

⑴根据题意填空.

…180180

①小明设为xkm/h,列出尚不完整的方程：-7=0+50%)J；

…180八sn八180

②小华设为，'h,列出尚不完整的方程：—=(l+50%)x-------

(2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程.

【答案】(1)①普通列车的平均速度，②动车的行驶时间，y+o.5

(2)见解析

【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键.

(1)①设普通列车的平均速度为xkm/h,则动车的平均速度为(1+50%)》km/h,根据所需时间比普通列

车少30min,即可列出关于x的公式方程，此题得解.②设动车的行驶时间为Vh,根据动车行驶的平均速

度比普通列车快50%,列出方程即可；

(2)解(1)中列出的方程并检验即可.

―1801801

【详解】(1)解：①小明设普通列车的平均速度为xkm/h,列出的方程为：V=(1+50%)V4-2,

故答案为：普通列车的平均速度，y

[80180

②小华设动车的行驶时间为Vh,列出的方程为：-^7=(1+50%)X-^.

故答案为：动车的行驶时间，y+o.5

1801801

<2)①设普通列车的平均速度为％km/h,列出的方程为：~7=(1750%)X+2,

解得无=120,

经检验x=120是方程的根且符合题意，

120(1+50%)=180,

答；该动车行驶的平均速度180km/h.

180180

②没动车的行驶时间为Vh,列出的方程为：—=(l+50%)x—

解得y=i,

经检验歹=;是方程的根且符合题意，

---180km/h,

y

答：该动车行驶的平均速度180km/h.

21.(25・26八年级上•四川成都•期中)阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的

数学家华罗庚先生曾经说；，，数缺形时少直观、形缺数时难入微工例如，对于一个图形，通过不同的方法计

算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式.

ba

图1图2图3

例如图I得到：S+b『=/+2尤+〃，基于此，请回答下列问题：

【类比】

(1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：：

【应用】

(2)小南同学用图3中的x张边长为。的正方形，y张边长为口、力的长方形，z张边长为人的正方形，拼

出一个面积为(。+3。)(24+〃)的长方形，求3x+y+z的值.

【拓展】

(3)已矢口：(2026-x)2+(.r-2025)2=9,求(2026—x)(x—2025)的值.

【答案】(1)(a+b+c)2=a2+h2+c2+2ab+2ac+2bc(2)16；(3)-4

【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式的

应用：

(1)用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论；

(2)计算多项式乘以多项式，进而求得X、六z的值，代入所求代数式求解即可；

(3)设2026-工=〃，％-2025=3,利用完全平方公式的变形求解即可.

【详解】解：(1)根据图形可得：(q+b+cy=/+〃+c'+2M)+2ac+2bc,

故答案为：(a+6+c)2=q2+〃+c2+2a8+2ac+2bc：

(2)；(a+36)(24+6)=2a?-\-ab-\-6ab+3b~=2a2+7ab+3h2,

.•・可以用图3中的2张边长为。的正方形，7张边长为八人的长方形，3张边长为人的正方形，拼出一个面

积为(4+3b)(2a+b)的长方形，

x—"2,,y=7,N=3,

3j+y+z=3x2+7+3=16；

(3)设2026—x=a①，x-2025=h@,

'-a1+b2=9,

由①+②得：a+b=\；

..(a+b)2-(a2+b2)]-9

•-at)=---------------=---=-4，

22

.-.(2026-x)(x-2025)=-4.

22.（25-26八年级上•广西南宁•期中）（1）现有两条高速公路4、4和两个城镇dB（如图），准备建一个

燃气控制中心站尸，使中心站P到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规

作出中心站P的位置（不用写作图步骤）.

（2）△力BC在平面直角坐标系中的位置如图所示，作出△力8c关于y轴对称的△44G并写出点4、用、G

的坐标.

【答案】⑴画图见解析：（2）画图见解析，4（-二4）、々（-1,2）、C（（-5,l）

【分析】（1）分别作出线段48的垂直平分线和小/2夹角的角平分线，交点就是所求.

（2）确定4SC关于歹轴对称的对称点4、4、G，再顺次连接可得图形，进一步可得其坐标.

【详解】解:（1）如图，分别作出线段48的垂直平分线和小〃夹角的角平分线，两者的交点即为点尸的

位置.

B.

7

（2）如图，△44G即为所求;

二4（-3,4）、用（-1,2）、C,（-5,l）.

【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，作轴对称图形，平面直角坐标系，

熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法，坐标与轴对称的关系是解题的关键.

23.（25-26八年级上•广东广州•期中）（1）【思维提示】在图1口，四边形力8c。为正方形（正方形四边相

等,四个内角均为直角），点、E、产分别在8C、C。上，且/£4尸=45。，延长。。至G,使得DG=8E,请

求出线段8E,EF,尸。之间的数量关系.小明发现根据条件可证出△力QG,可得到力E=4G,

4花=4MG,又和同学讨论发现，利用S4S又可证出丝"G/,就能解决上述问题.那么所=

⑵【拓展应用】如图2,在四边形"CQ中，Z^+ZD=180°!AB=AD,NB4D=120°,点、E、尸分别

在边8C、C。上，且/£力尸=60。，请你观察（1）中的结果，猜想图2中线段BE,EF,尸。之间的数量关

图1

【答案】(1)DF+BE；(2)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意、正确作出辅助线.

(1)由题意可得49=/。，NB4D=NB=/4DC=90。,推出N8=N4QG=90。，证明△川9度2△力。G,得

至l]N84E=NO/G,AE=AG,结合/£4/=45。得到/£4尸=/G力尸，证明&4E尸且△』(/,得到E/=G产，即

可求解；

(2)延长。。至G,使得QG=8E,证明得至ij4%E=ND4G,AE=AG、结合/£4/=45。

得到NE4尸=NG4b，证明A/MgJG",得到EF=GF,即可求解.

【详解】解：(1).••四边形川火?。为正方形，

/.AB=AD,/BAD=Z5=/ADC=90°,

/.NB=N4DG=900,

在和△力OG中，

AB=AD

<N8=N/lOG=90°,

BE=DG

LABE^ADG^AS),

Z.BAE=Z.DAG»AE=AG,

又；ZEJF=45°,

NBAE+Z.DAF=NBAD-NEAF=90°-45°=45°,

・•.ZDAG+ADAF=Z.GAF=45°,

...NEAF=Z.GAF,

在2EAF和AG4产中，

AE=AG

-ZEAF=Z.GAF,

AF=AF

乙力E尸也△4G/7(SAS),

/.EF=GF,

•••GF=DF+DG=DF+BE,

•••EF=DF+BE,

故答案为：DF+BE；

(2)EF=DF+BE,

证明：如图所示，延长CO至G,使得。G=4E,

ZB+4ADF=180°,Z1ADG+/ADF=180°,

/.N4=ZADG,

在和△4)G中,

AB=AD

<ZB=ZADG,

BE=DG

AJ^^A^DG(SAS),

AAE=AG,NBAE=NDAG,

•••NBAD=120。，^EAF=60°,

£BAE+NDAF=/BAD-/EAF=63°,

・•・ZDAG+^DAF=NGAF=60°,

AEAF=ZGAF=60°,

在和aZG/中，

AE=AG

-Z.EAF=Z.GAF,

AF=AF

^AEF^AGF(SAS),

：.EF=GF,

•••GF=DF+DG=DF+BE,

EF=DF+BE.

图2

24.（25-26八年级上•云南红河・期中）【问题呈现】

小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：

如图①，N1与N2分别为ZUAC的两个外角，求证：Zl+Z2=180°+ZJ.

【推理证明】

A

A

BR--------

。/ri

图①

(i)补全证明过程.

证明：••・N1与N2分别为的两个外角,

二./I=/力+»Z2=/.A+

Zl+Z2=

•••Z3+Z4+Zz4=180°,

?.Z1+Z2=18O°+ZJ.

(2)如图②，在△48。纸片中剪去△力EQ,得到四边形8CZ)E.若N1=130。，则N2-NX的大小为度.

(3)如图③，在△14。中，BP,CP分别为外角NECB的平分线，写出NP与//之间的数量关系,

并说明理由.

【答案】(1)/4,Z3,N<+N4+N4+N3.

⑵50

(3)/尸=90。—(//，理由见解析

【分