一次函数的应用问题（8大题型）原卷版-八年级数学上学期北师大版

专题08一次函数的应用问题

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题型1一次函数的应用之分配方案问题题型5一次函数与三角形的面积问题（重点）

题型2一次函数的应用之最大利润问题题型6一次函数中折叠的综合问题（常考点）

即型3一次函数的应用之行程问题（重点）题型7一次函数中的新定义型综合问题（难点）

题型4一次函数的应用之几何问题题型8一次函数中分段函数探究问题（难点）

［题型通关•靶向提分1

题型——次函数的应用之分配方案问题（共3小题）

I.C24-25八年级上•河南郑州•期中）学校今年“十一”期间要组团去北京旅游.与旅行社联系时，甲旅行

社提出每人次收300元旅行费，不优惠.乙旅行社提出每人次收35（）元旅行费，但有3人可享受免费待

遇，若不超过3人则正常按人次收费.

⑴分别写出甲、乙两旅行社的收费）卜与旅行人数”之间函数关系式；

⑵如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？

⑶如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？

2.（24-25八年级上•陕西西安•期中）书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、

结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容.某校为准备举行现场书法

大卷，要在某超市购买•批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购

买毛笔600支，购买宣纸x张（x>600）,该超市给出以下两种优惠方案.

方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；

方案少毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折.

设方案A的总费用为X元，方案B的总费用为为元.

（1）请分别求出M，%与“之间的函数关系式.

（2）若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由.

3.（24-25八年级上•河南郑州•期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一.古朴典雅，款式

多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受.李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店

的标价都是每个10元.两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为X（个），甲商店所需费用为y

元，且y=7x+IOO；乙商店所需费用为为元.

甲商店乙商店

购买一张会员卡，

不购买会员卡，

享受会员价，

每个灯彩可按标价的九折

每个灯彩可按标价的七折

卖.

卖；

（1）甲商店一张会员卡的价格为元；

⑵求内的函数表达式；

（3）若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由.

题型二一次函数的应用之最大利润问题（共3小题）

4.（24-25八年级下•吉林长春•期中）某文具店准备购进A、B两种型号的文具一共10（）件，两种文具的进

价利售价情况如下表：

型号价格A型号文具8型号文具

进价（元/件）915

售价（元/件）1322

（1）求该文具店将这两种文具全部售完后，获得利润w（元）与购进人型号文具数量x（件）之间的函数关

系式.（注：利润=售价一进价）

（2）若这两种文具全部售完后恰好获利580元，求购进4型号文具的数量.

（3）根据市场需求，若购进的A型号文具数量不少于8型号文具数量的;，则两种文具全部售完后，可获最

大利润为元.

5.（24-25八年级上•宁夏银川•期中）某经销商销售一种燃气加热器.如图，射线。4反映了该加热器的销

售收入X（元）与销售量工（台）的关系；射线8C反映了该加热器的销包成本%（元）与销售量工

（台）之间的关系，其中％之0,艰据图象解答下列问题:

（1）射线04对应的函数表达式为：射线3。对•应的函数表达式为；

（2）图象中射线OA与射线BC的交点P的坐标为，点/，坐标表示的实际意义是；

（3）若该经销商10月份销售此加热器35台，则10月份获利多少元？

6.（23-24八年级下.重庆沙坪坝.开学考试）2018年11月5FI中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸

易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参

展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司

引进了A、6两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，4型器材

每台50万美元.

甲（万美元/台）乙（万美元/台）

A型医疗器材0.71

8型医疗器材0.80.9

⑴求出该公司引进了A、3两种型号的医疗器材各多少台.

（2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运

费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（5KXK15）,求总运费为），（万美元）关于x的函数关系

式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元.

题型三一次函数的应用之行程问题（共3小题）

7.（25-26八年级上•全国•期中）京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长约1300km,两列高铁先后

从北京南站开往上海虹桥站，先出发的甲列车的速度为260km/h,后出发的乙列车的速度为325km/h,

行驶一段路程后，乙列车突然发生故障，需要在沿途的车站就近停靠检修，检修完成后继续行驶，已知甲

列车比乙列车早出发半个小时（全程均按匀速行驶），两列高铁和北京南站之间的距离）'（单位：km）

与甲列车行驶的时间大(单位：h)之间的关系如图所示.

⑴乙列车出发多久后追上甲列车?

(2)若乙列车检修耗时54min,且保持原速度前往上海虹桥站，求甲列车比乙列车早多久到达上海虹桥站;

(3)在(2)的条件下，当甲列车到达上海虹桥站时，求乙列车与上海虹桥站之间的距离.

8.(24-25八年级下♦江西宜春•期中)李明和姐姐同时从家出发掩自行车去绿博园，李明先以250m/min

的速度骑行了•段时间，休息了5分钟后再以cmi/min的速度到达绿博园，姐姐则始终以同•速度骑行,

两人骑行的路程y(m)与时间x(min)的关系如图所示.请结合图象，解答下列问题:

⑶若姐姐的速度是180m/min,求姐弟两人第二次相遇时离家的距离;

9.(24-25八年级下•吉林长春•期中)在--条笔直的公路上有4、B、C三地，C地在A、B两地之间.甲

车从人地出发匀速驶往A地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达4地因故停留I(h)后按原路原

速驶往8地，结果乙车比甲车早1(〃)到达B地，甲、乙两车各自距8地的路程y(km)与甲车行驶时间

Mh)之间的函数图象如图所示.

km/h.

⑵求。的值.

⑶求乙车从4地行驶到B地时)，与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(4)在两车行驶的过程中，当两车距。地的路程相同时，直接写出甲车行驶的时间.

题型四一次函数的应用之几何问鹿(共3小题)

10.(23-24七年级下•贵州六盘水•期中)如图，VA8C的高AD=8cm,8C=Ucm,点E在SD上,连接

AE,设CE的长为*cm),二池五的面积为)，(cnf),解答下列问题：

(2)若CD=6cm,当x为多少时，的面积比VAOE的面积大4cm??

11.(24-25八年级下•重庆江津,期中)如图，在RtZ\A8C中，4C=4,BC=5,动点P从点B出发，沿

折线4-C-A运动，到达点A时停止运动(点P不与&A重合)，设点P的运动路程为x,汨的面积为

y.请解答下列问题：

(1)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围；

(2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出当丁23时工的取值范围(结果保留一位小数，误差范围不超过0.2〉.

12.(24-25八年级下•重庆・期中)如图1,在RtVABC中，2B90?,A8=6,BC=4,点P以每秒1个

单位的速度从点4出发，沿4—BfC运动到点。后停止.连接尸C,设点P的运动时间为

x(0<x<10),的面积为F

图1图2

（1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量的取值范围；

（2）在图2中画出（I）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质；

⑶若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写的取值范围.

题型五一次函数与三角形的面积问题（共3小题）

13.（24-25八年级下・湖南长沙•期中）已知直线《：y=2x和直线4：y=r+6的图象如图所示,

（2）已知直线4和直线6相交于点C,求△AOC的面积.

14.（24・25八年级下•河南信阳・期中）如图，己知点A（〃L2〃Z+2）在正比例函数），=-1上的图像上，过点

A作ABlx轴交于点反

（1）求用的值;

⑵判断A（F,2〃L2）______在函数图像上（填“是”或“否”）；

（3）在x轴上是否存在一点尸，使得.AOP的面积是VA08面积的3?若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

15.（24-25七年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图1,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线44与x

轴负半轴交于点8,与），轴正半轴交于点A,A点坐标（0,2）,三角形A8O的面积是4.

（1）求点B的坐标；

（2）点。是），轴正半轴点A上方一点（点。与点A不重合），C点坐标（0,〃。，连接8C,点E是4轴正半

轴上一点，且OE=2AC,连接AE.

①如图2,若三角形ABE的面积是8,求机的值；

②如图3,点尸是线段80上一点（点?与点3,点。不重合），连接片尸，CF,当四边形AC8/的面积

与三角形AFE的面积相等时，用只含有/〃的代数式表示三角形AC/的面积，并说明理由.

题型六一次函数中折叠的综合问题（共2小题）

4

16.（24-25八年级上•福建三明•期中）如图，直线），=-4式+4与坐标轴相交于A、B两点,将A6O沿过

点A的直线折叠，使点?与x轴上的点C重合，折痕为AO.

（1）求点人、8的坐标：

（2）求折痕人。所在直线的解析式；

（3）若点。为直线A8上的一点，且Sap"。，求点尸的坐标

4

17.（24-25八年级上•山东青岛•期中）如图，在平面直角坐标系X0V中，直线y=§x+4与x轴），轴分别

交于点4,点。在），轴的负半轴上.若将沿直线4。折叠，点8恰好落在x轴负半轴上的点C

⑵求点C和点。的坐标；

（3）在），轴上是否存在一点P,使得52,,〃=:5徵8?若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理

由.

18.（24-25八年级上•海南海口•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线A3与k轴、）'轴分别交于点

A（3,0）,以0.4）,点C在），轴的负半轴.匕若将△C48沿直线AC折叠，点3恰好落在X轴正半轴上的点

（DA8的长为，点。的坐标是____；直线即与直线CD的位置关系是_____；

（2）求点。的坐标；

（3）点例是轴上一动点，若SAMAsujs△g,，求出点仞的坐标；

（4）在第•象限内是否存在点使二尸为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

题型七一次函数中的新定义型综合问题（共2小题）

19.（24-25八年级下•四川成都•期中）在平面直角坐标系也中，直线"y=-2x+6与1轴，），轴分别交

于C,"两点.点｛〃?,〃）是直线4上的动点，定义：直线/丁二g+〃为直线4关于点4（机〃）的关联直

⑴当〃?=1时，直线4的关联直线为；

（2）如图I,在直线y=2x上求点P,使得N8C?=NOBC：

（3）①试证明直线经过定点M,并求出M点的坐标；

②如图2,己知点R（1,O）关于直线4的对称点为。，连接CM、M。，当NCMQ=90。时，求点A的坐标.

20.（23-24八年级上•四川成都・期中）点人点〃和点。为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义:

若PQ=PQ,且NPQP'=90。，则称p为点尸关于点Q的等垂点.

⑴已知点。的坐标为（2,0）

①如图1,若点产为原点，直接写出「关于。的等垂点P'的坐标;

②如图2,〃为y轴上一点，且点尸关于点Q的等垂点产恰好在一次函数y=x+2的图象上，求点〃的坐

标；

⑵如图3,若点。的坐标为。,-2）,，为直线），=2上一点，。关于点Q的等垂点P位于），轴右侧，连接

OP,QP',请问OP+QP是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由.

题型八一次函数中分段函数探究问题（共2小题）

21.（24-25八年级下•福建福州•期中）把一次函数），=履+力（火力为常数，々/