2026年高考数学终极冲刺：培优专题01 三角函数与解三角形6大重难题型（大题专练）（原卷版）

24/24培优专题01三角函数与解三角形6大重难题型💎💎题型01三角函数化简及图象、性质问题命题方向一三角函数概念及三角恒等变换命题方向二三角函数的性质命题方向三三角函数的图象变换💎题型02三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用命题方向一三角形的中线命题方向二三角形的角平分线命题方向三三角形的高线💎题型03解三角形中的求边、求角、求面积问题命题方向一利用正、余弦定理解三角形的边与角命题方向二与三角形的面积相关解三角形问题💎题型04三角形中的最值、范围问题命题方向一解三角形中涉及角度的最值（范围）命题方向二解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）命题方向三解三角形中涉及周长的最值（范围）命题方向四解三角形中涉及面积的最值、范围💎题型05几何图形中的解三角形💎题型06解三角形融合交汇问题命题方向一三角函数与复数的创新融合命题方向二三角函数与数列的创新融合命题方向三解三角形与平面向量融合命题方向四解三角形与三角函数融合题型01三角函数化简及图象、性质问题抓关键·破难点三角函数化简及图象、性质问题主要考查恒等变形和三角函数性质，解题时要熟练掌握三角恒等变换公式，主要解题步骤：第一步：通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，第二步：再通过辅助角公式“化一”，化为第三步：辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).第四步：最后利用三角函数图象和性质，求解计算.一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.刷经典·通方法🎯命题方向一三角函数概念及三角恒等变换1.（2026·浙江强基联盟·联考）设点沿的圆周按逆时针方向旋转角后到点．（1）当时，求的值；（2）若，求的取值范围．2．（2025·河北保定模拟）已知函数．（1）求函数的对称中心及对称轴方程；（2）当时，求函数的最大值和最小值．3．（2025·广东广州·一模）已知函数，其中．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若时，的最小值为4，求的值．🎯命题方向二三角函数的性质4.（2026·广东广州市天河区适应性训练·二模）已知函数的周期为，且.（1）求函数的解析式；（2）比较与的大小.5．（2025·辽宁鞍山·模拟）已知函数．若函数的相邻两条对称轴间的距离为．(1)求的值，并求函数在的值域；(2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值．🎯命题方向三三角函数的图象变换6.（2026·重庆第八中学3月适应性测试）已知函数的最小正周期为．（1）若，，求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域．7．（2026·安徽皖江阶段测试）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值.（1）求的值及的取值范围；（2）若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值.8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．题型02三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用抓关键·破难点一、中线问题如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.=1\*GB3①倍长中线：如图，构造全等三角形，再用余弦定理即可；②向量法：,平方即可；③余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即；注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.二、角平分线问题△ABC中，AD平分∠BAC.①角平分线定理：证法1（等面积法），得注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.证法2（正弦定理）如图，，,而，整理得②等面积法三、垂线问题①等面积法：②③刷经典·通方法🎯命题方向一三角形的中线1.（2026·江苏南通2月检测）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则.（1）若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长；（2）请证明题干中的定理；（3）如图中，若，D为BC中点，，，，求的值.2．（2026·山东济钢高级中学3月检测）在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，为边的中点，，求.3．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，．（1）求；（2）设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求．4．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）若，求；（2）当BC边上的中线最小时，求的面积.🎯命题方向二三角形的角平分线5．（2026·四川宜宾普通高中第二次诊断性测试）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足．（1））求A；（2）设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度．6.（2026·宁夏青铜峡一模）在中，内角的对边分别是，且．（1）求的大小；（2）若，为的角平分线，且，求的面积．7．（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．（1）求的长；（2）求的面积．8．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值．🎯命题方向三三角形的高线9.（2026·山东青岛一模调研）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．（1）求角A；（2）若BC边上的高，求．10．（2025·广东模拟）记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）设，求边上的高.11．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求边上的高的长.12．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边分别为，已知，（1）求（2）设，求边上的高.题型03解三角形中的求边、求角、求面积问题抓关键·破难点一、利用正、余弦定理解三角形边与角利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的互化，解题的思路是：第一步：选定理（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；第二步：巧转化化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.第三步：得结论利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。二、常用三角形的面积公式（1）；（2）；（3）（为三角形内切圆半径）；（4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。刷经典·通方法🎯命题方向一利用正、余弦定理解三角形的边与角1.（2026·河北邯郸模拟）在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求：①边长的值；②的值．2.（2026·河北唐山一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，求A.3.（2026·山东烟台诊断性测试）已知的内角的对边分别为，，且的面积为．（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的值．4.（2026·江苏南京市栖霞区名校联盟·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.（1）证明：；（2）若，求内角A的大小.🎯命题方向二与三角形的面积相关解三角形问题5.（2026·海南部分学校联合调研）已知的内角的对边分别为，且为锐角，.（1）求；（2）若，求的面积.6.（2026·山东德州一模）已知为锐角三角形，.（1）求；（2）求；（3）若外接圆的周长为，求的面积.7.（2026·江西赣州摸底考试）在中，角的对边分别为，且.（1）若，求的值.（2）若内切圆的面积为，求的面积.8.（2026·江苏扬州市第一次调研）记的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若的面积为，求；（3）若，当角最大时，求的面积题型04三角形中的最值、范围问题抓关键·破难点一、三角形面积和周长的最值、范围问题（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化周长（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）（3）求周长的模型：（4）基本不等式①②(当且仅当时取“=”号)（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数①和差角公式：，②辅助角公式：（其中）．二、解题思路步骤（1）利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用（2）利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值刷经典·通方法🎯命题方向一解三角形中涉及角度的最值（范围）1.（2026·山东淄博模拟）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）求的取值范围.2.（2026·甘肃省一模）如图，中，角的对边分别为.（1）求；（2）若，求的取值范围.3.（2026·江苏省南京市栖霞区名校联盟一模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且．（1）当，时，求，的值；（2）若角为锐角，求的取值范围．4．（2026·山东青岛·高三上期末测试）已知内角的对边分别为，．（1）证明：；（2）求的最小值．🎯命题方向二解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）5．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．（1）求；（2）记外接圆的面积为，若，求的取值范围．6.（2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合模拟考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A的大小；（2）若为锐角三角形，求取值范围．7.（2026·江苏南京市中华中学模拟预测）内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，，求的面积；（2）若角为钝角，求的取值范围.8.（2026·黑龙江齐齐哈尔一模）在锐角中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）求的最大值.🎯命题方向三解三角形中涉及周长的最值（范围）9．（2026安徽合肥“校集团”·一模)在锐角中，角，，的对边分别为，，，.已知，.（1）若，求的面积；（2）求的周长的取值范围.10．（2025·湖北武汉模拟）已知分别为锐角三个内角的对边，且.（1）求；（2）若；求周长的取值范围.11．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且．（1）若，求A；（2）若是锐角三角形，求周长的取值范围．🎯命题方向四解三角形中涉及面积的最值、范围12．（2025·广西模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求内角的大小；（2）若，求面积的最大值.13．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且.（1）若，求；（2）求△ABC面积的最大值.14．（2026·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且．（1）求；（2）若，，求面积的最大值．15（2026·广东汕头3月调研）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且．（1）若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值；（2）求的取值范围．题型05几何图形中的解三角形抓关键·破难点解三角形问题在高考中一般以三角形等平面多边形为载体，要求学生除了要熟练应用正弦定理、余弦定理，还要对一些平面几何性质有一定的敏感度。对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解。若图形中条件与结论不在一个三角形内：【解题路径1】要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解.【解题路径2】根据图形分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.刷经典·通方法1．（2026·浙江宁波3月联考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值．2.（2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）已知中，是角所对的边，.（1）求角的大小；（2）已知.（i）如图①，在的边上分别取两点，若，求长度的最小值；（ii）如图②，分别在边上，，求面积的最小值.3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且（1）求BO的长；（2）若，求的值．4．（2026·辽宁盘锦高三上期末检测）在四边形中，平分．（1）求；（2）当取最大值时，求．5．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，．（1）求的周长（2）求四边形的面积．6．（2026·河北秦皇岛模拟）如图，在四边形中，，，是等边三角形．（1）若，求的面积；（2）若，求的面积；（3）求的面积的最大值．题型06解三角形融合交汇问题抓关键·破难点一、解三角形与平面向量的综合题（1）通常可将向量关系通过基底分解或坐标运算，转化为边与角的关系，再利用正弦、余弦定理求解；或反过来，用三角形的边、角表示向量，通过向量的模、数量积等工具处理长度、角度与垂直、平行等问题。（2）解题时要根据已知条件选择合适的切入点，注意数形结合，理清向量与三角形元素之间的对应关系，合理运用运算律和公式，逐步推导得出结论。二、三角函数与解三角形的融合问题刷经典·通方法🎯命题方向一三角函数与复数的创新融合1.(2026·山东菏泽一模)已知复数，.（1）当时，求；（2）设，记（表示复数z的虚部）.将图象上