解析已知P(a,b)、Q(c,d)两点求与之相关性的10个问题的详细求解步骤A9

已知P(9,12)、Q(15,1)，求解以下有关问题。(1)求线段PQ中点坐标P1。(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:3。(4)计算PQ两点的距离。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(11,9)时的双曲线方程。(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(13,9)时的双曲线方程。(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。(1)求线段PQ中点坐标P1。解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，根据题意，有：x0=eq\f(9+15,2)=eq\f(24,2)=12;y0=eq\f(12+1,2)=eq\f(13,2).即中点P1的坐标为P1(12,eq\f(13,2)).(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。解：介绍两种方法来求P2点坐标。思路一：两点间距离公式法。设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：|PP2|=eq\r((9-x2)2+(12-y2)2);|P2Q|=eq\r((15-x2)2+(1-y2)2).32[(9-x2)2+(12-y2)2]=22[(15-x2)2+(1-y2)2]729-162x2+9x22+1296-216y2+9y22=900-120x2+4x22+4-8y2+4y22-5x22-5y22+42x2+208y2-1121=0.又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：eq\f(y2-12,x2-9)=eq\f(1-12,15-9),即：y2-12=-eq\f(11(x2-9),6),y2=-eq\f(11(x2-9),6)+12,代入距离关系式方程有：-5x22-5（eq\f(11(x2-9),6)+12)2-42x2-208(eq\f(11(x2-9),6)+12)+1121=0,化简得：-5x22+42x2+171=0,即：(5x-57)(-157x-471)=0,由于9<x2<15,求出x2=eq\f(57,5)，进一步代入求出y2=eq\f(38,5).思路二：定比分点法。因为eq\f(PP2,p2Q)=eq\f(2,3)，所以定比分点λ1=eq\f(2,3).则所求P2的横坐标x2=eq\f(9+15λ1,1+λ1),同理，坐标轴y2=eq\f(12+λ1,1+λ1)。即可求出x2=eq\f(57,5)，y2=eq\f(38,5)。所以所求点的坐标P2(eq\f(57,5)，eq\f(38,5)).(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)。解：用定比分点法求解。因为eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)，所以定比分点λ2=-eq\f(4,3);则所求P3的横坐标x3=eq\f(9+15λ2,1+λ2);同理，坐标轴y3=eq\f(12+λ2,1+λ2)，即可求出x3=33，y3=-32。所以所求点的坐标P2(33,-32).(4)计算P、Q两点的距离。解：根据两点间距离公式有：d=|PQ|=eq\r((9-15)2+(12-1)2);=eq\r(36+121)=eq\r(157).即P、Q两点的距离为eq\r(157)。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。解：由P(9,12)、Q(15,1)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：k1=eq\f(1-12,15-9)=-eq\f(11,6).则P,Q的直线方程L1的方程为：y-1=-eq\f(11,6)(x-15)。由题意知，直线L2的斜率k2为：k2=eq\f(6,11).即可求出所求的直线L2的方程为：y-eq\f(13,2)=eq\f(6,11)(x-12)。(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有2c=|PQ|=eq\r(157)，即c=eq\f(1,2)eq\r(157)，此时c2=eq\f(157,4);又因为离心率e=eq\f(1,3)=eq\f(c,a)，则:a=eq\f(3,2)eq\r(157)，此时a2=eq\f(1413,4)，此时b2=a2-c2=eq\f(1413,4)-eq\f(157,4)=314,故此时椭圆方程为：eq\f((x-12)2,eq\f(1413,4))+eq\f((y-eq\f(13,2))2,314)=1。(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=eq\r(157)，此时a=eq\f(1,2)eq\r(157)，进一步得a2=eq\f(157,4).由离心率e=eq\f(2,5)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(1,5)eq\r(157)，此时c2=eq\f(157,25);由b2=a2-c2=eq\f(157,4)-eq\f(157,25)=eq\f(3297,100)，故此时椭圆方程为：eq\f((x-12)2,eq\f(157,4))+eq\f((y-eq\f(13,2))2,eq\f(3297,100))=1。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(11,9)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有2c=|PQ|=eq\r(157)，即c=eq\f(1,2)eq\r(157)，此时c2=eq\f(157,4);由离心率e=eq\f(11,9)=eq\f(c,a),则：a=eq\f(9,22)eq\r(157)，此时a2=eq\f(12717,484);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=eq\f(157,4)-eq\f(12717,484)=eq\f(1570,121),故此时双曲线的方程为：eq\f((x-12)2,eq\f(12717,484))-eq\f((y-eq\f(13,2))2,eq\f(1570,121))=1.(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(13,9)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=eq\r(157)，此时a=eq\f(1,2)eq\r(157)，进一步得a2=eq\f(157,4).由离心率e=eq\f(13,9)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(13,18)eq\r(157)，此时c2=eq\f(26533,324);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=eq\f(26533,324)-eq\f(157,4)=eq\f(3454,81)，故此时双曲线方程为：eq\f((x-12)2,eq\f(157,4))-eq\f((y-