江西省抚州市2024-2025学年高二下学期学生学业质量监测数学试题卷

江西省抚州市2024-2025学年高二下学期学生学业质量监测数学试题

卷

说明：（1）本试题卷共4页，4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟；

（2）答案须写在答题卡相应的位置上，不得在本试题卷上作答，否则不给分；

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1

S(t)(t1)

1.若质点A运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系是t，那么该质

点在t3s时的瞬时速度和从t1s到t3s这两秒内的平均速度分别为（）

11111111

A.,B.,C.,D.,

93399339

【答案】A

【解析】

S

【分析】先求出导函数St即可求瞬时速度，再由求出平均速度即可得解.

t

11

【详解】由题得St，所以该质点在t3s时的瞬时速度为S3，

t29

1

1

该质点从到这两秒内的平均速度为SS3S11

t1st3s3.

t3123

故选：A

2.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的试验数据如下表：

天数x/天34567

繁殖个数y/千个m344.56

由此计算得回归直线方程为y0.85x0.25，但因工作人员的疏忽不慎将表中的试验数据m丢失，则m的

值为（）

A.1.5B.2C.2.3D.2.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用点x,y在直线y0.85x0.25上解得m的值.

34567

【详解】x5，因为点x,y在直线y0.85x0.25上，所以y0.8550.254，

5

m344.56

即4，解得m2.5，

5

故选：D.

aa

2216

3.在等比数列an中，a3,a15是方程2x11x80的两根，则的值为（）

a9

A.-4B.-2或2C.-2D.2

【答案】C

【解析】

118

【分析】设公比为q，由韦达定理得aa0，aa4，并判断a,a同为负数，根据等

31523152153

比数列的性质得到a2a164,a92，从而得到答案.

【详解】an为等比数列，设公比为q，

118

由韦达定理得aa0，aa4，

31523152

又12，故符号相同，同为负数，

a15a3qa15,a3a15,a3

6，

a9a3q0

因为为等比数列，所以，，

ana3a15a2a164a9a3a152

a2a164

故2.

a92

故选：C

4.近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区

等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件A“甲和乙至少有一个人前往大

觉山”，事件B“甲和乙选择不同的景点”，则P(B∣A)（）

111098

A.B.C.D.

1211109

【答案】B

【解析】

【分析】先利用对立事件的概率公式求出事件A发生的概率，再分两种情况求出事件AB发生的概率，利用

条件概率公式求解即可.

【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为n6636种，

“甲和乙至少有一个人前往大觉山”的对立事件是“甲和乙都不前往大觉山”，

甲不选大觉山有5种选法，乙不选大觉山也有5种选法，

所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为5525种，

2511

则PA1，

3636

“甲和乙至少有一个人前往大觉山且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况：

（1）甲去大觉山，乙不去，

甲去大觉山有1种选法，乙从除大觉山外的5个景点选有5种选法，

共155种情况；

（2）乙去大觉山，甲不去，

乙去大觉山有1种选法，甲从除大觉山外的5个景点选有5种选法，

共155种情况，

5510

所以PAB，

3636

PAB10

所以PB|A.

PA11

故选：B.

5.已知随机变量X的分布列如表：若E(X)4，则DX（）

X235

Pab2ba

14

A.B.C.1D.2

93

【答案】B

【解析】

【分析】利用离散型随机变量的期望计算公式以及分布列中概率之和为1建立方程组，可解得a,b的值，

再利用方差公式计算即可.

1

a

2a3b52ba49

【详解】因为E(X)4，则有，解得.

ab2ba11

b

3

22214

所以DXa24b342ba543a3b1.

33

故选：B.

1

6.若函数h(x)lnxax2x在1,3上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（）

2

11

A.,B.,C.(,0]D.(,0)

44

【答案】D

【解析】

ax2x1

【分析】对函数h(x)求导得h(x).由函数h(x)在1,3上存在单调递增区间可知h(x)0在

x

1x1x1x

上有解，分离参数后可得在上有解，故设，，求

1,3a21,3a2.gx2x1,3

xxmaxx

导研究其在1,3上的单调性求出函数最大值即可求解.

2

121axx1

【详解】∵h(x)lnxaxx，∴h(x)ax1.

2xx

ax2x1

∵函数h(x)在1,3上存在单调递增区间，∴h(x)0在1,3上有解，即0在1,3上有解，

x

1x1x

∴2在上有解，即在上有解，∴

axx101,3a21,3a2.

xxmax

1xx221xxx2

设gx，x1,3.则gx，

x2x4x3

令gx0得2x3；令gx0得1x2，

1x

∴gx在1,2上单调递减，在2,3上单调递增.

x2

1

又g10，g3，∴gxg10，∴a0，

9max

即实数a的取值范围为(,0).

故选：D.

7.甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为1~6.两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为

偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一

方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为X，则P(X4)（）

11571

A.B.C.D.

64326416

【答案】A

【解析】

【分析】分别计算甲胜和乙胜的概率，再对具体每局的情况分类讨论即可.

【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率

2331

p，

1662

若甲胜，则结果有(2,1)，(3,2)，(4,1)，(4,3)，(5,2)，(5,4)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，9种，

911

所以甲胜的概率为p，同理乙胜的概率也为，

26644

4

11

局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；

216

若平局2次，则最后1次不能是平局，

2

另外次甲全胜或乙全胜，概率为21113，

2C32

42232

若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，

3

概率为1111，

C22

4464

13111

所以PX4．

16326464

故选：A.

11

8.已知定义在,e上的函数f(x)满足f(x)f，且当x[1,e]时，f(x)xlnx，若函数

ex

3

yf(x)xa有三个零点，则实数a的取值范围是（）

2

e1e

A.1,B.1ln2,1

222

ee

C.1ln2,1D.1,ln21

22

【答案】C

【解析】

1

【分析】由题意求出分段函数在,e上的解析式，将函数的零点转化为两函数图像的交点，当x[1,e]

e

1131

时，问题转化为axlnx，当x,1时，问题转化为axlnx，利用导数研究函数

2e2x

1311

g(x)xlnx(x[1,e])与函数h(x)xlnxx,1的单调性从而作出图像，综合确定当

22xe

直线ya与两函数图像有三个交点时a的取值范围.

1111

【详解】当x,1时，[1,e]，故fxflnx，

exxx

33

函数yf(x)xa有三个零点，等价于f(x)与yxa的图像有三个交点，

22

31

当x[1,e]时，f(x)xlnx，方程为xlnxxa，即axlnx，

22

111x2

令g(x)=x-lnx，gx，

22x2x

当x[1,2)时，g(x)0，g(x)单调递减；

当x(2,e]时，g(x)0，g(x)单调递增，

11e

因为g22ln21ln2，g1，ge1，

222

1

所以当x[1,e]时，g(x)Î[1-ln2,]；

2

111331

当x,1时，fxlnx，方程为lnxxa，即axlnx，

exx22x

31311

令h(x)=x+lnx-，hx0，

2x2xx2

1

所以h(x)在,1上单调递增，

e

3113

因为h1101，h1e<0，

22e2e

131

所以当x,1时，h(x)Î(-1-e,).

e2e2

3e

若f(x)与yxa的图像有三个交点，则a1ln2,1.

22

故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.

9.定义在[1,3]上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.函数f(x)在[1,1]上单调递减B.函数f(x)的单调递减区间为0,3

C.函数f(x)在x0处取得极大值D.函数f(x)在x2处取得极大值

【答案】BC

【解析】

【分析】利用导函数的图象，根据导函数值的正负判断函数的单调性，从而得出极值点，逐项判断即可.

【详解】由导函数f(x)的图象可知，

当x1,0时，f(x)0，fx单调递增；当x0,3时，f(x)0，fx单调递减.故A错误B

正确；

所以，函数f(x)在x0处取得极大值，x2不是极大值点，故C正确D错误.

故选：BC.

10.下列命题中，不正确的命题是（）

A.若相关系数r的值越大，则两个变量的线性相关性越强

B.若随机事件A，B满足：P(A∣B)P(A)1，则A，B相互独立

C.已知随机变量X的方差为D(X)，则D(2X1)4D(X)1

D.若X~B(9,0.8)，则当事件Xk发生的概率最大时X7

【答案】ACD

【解析】

P(AB)

【分析】对于A，举反例即可判断；对于B，由题意P(A|B)PA，根据独立乘法公式即可

P(B)

判断；对于C，根据方差的性质即可判断；对于D，由二项分布的概率公式列不等式组即可判断.

【详解】对于A，设r10r21，但是r2对应的两个变量的线性相关性更强，故A不正确；

对于B，由PABPA1，因为PAPA1，故得P(A|B)PA,

P(AB)

则P(A|B)PA可得，P(AB)PAP(B)，即A，B相互独立，故B正确；

P(B)

对于C，随机变量X的方差为D(X)，则D(2X1)4D(X)，故C不正确；

9kkk

对于，若，则当事件发生的概率为k44k4，

DX~B(9,0.8)XkPXkC91C9

5559

设当事件Xk发生的概率最大，

9!4k9!4k1

99

PXkPXk1k!9k!5k1!8k!5

则，即，

PXkPXk19!4k9!4k1

99

k!9k!5k1!10k!5

k149k

即，解得7k8，则当事件Xk发生的概率最大时X7或X8，故D不正确.

410kk

故选：ACD.

11.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数f(x)有两个不相等的实根c，b，其

中cb.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作曲线yf(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；

xb

n

用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列xn.记anln，且a11,xnc，下

xnc

列说法正确的是（）

ecb

A.x（其中e2.71828）B.数列a是递增数列

1e1n

11

数列的前项和n1n

C.a4D.annSn221

8an

【答案】BD

【解析】

【分析】根据a11可求x1的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在xxn处切线的斜率，进一

步写出在xxn处的切线方程，求出直线与x轴的交点横坐标，得xn1，进一步判断数列an的结构特征，

1

得到数列an是等比数列，可判断选项B和C的真假；利用公式法可求数列an的前n项和，判断D

an

的真假.

xbxb

11ecb

【详解】对于选项A，a1ln1，得e，x1，故A错误.

x1cx1ce1

对于选项B，二次函数f(x)有两个不相等的实根c、b，设fxaxbxc，a0，则

fxa2xbc，fxna2xnbc，在横坐标为xn的点处的切线方程为

yfxna2xnbcxxn，令y0，则

22

axn2xnbcfxnaxnabcxnbc

xn1x，

a2xnbca2xnbc2xnbc

2222

xbxbcb2xbcx2bxbxbxbxb

n1nnnnn，lnn12lnn，即

2222xcxc

xn1cxnbcc2xnbcxn2cxncxncn1n

n1

an12an，数列an是公比为2，首项为1的等比数列，an2，显然数列an是递增数列，故B

正确.

对于选项C，由以上可知a2n1，令，则a8，故C错误

nn44.

1

n1

n1n

11112n2n1n

对于选项D，a2n12n1，得S2212221，

nn1n1212n

an221

2

故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

x

12.曲线fxsinxe1在点x0处的切线方程为______.

【答案】xy10

【解析】

【分析】先对f(x)求导，再求出f(0)，f(0)，最后利用点斜式写出切线方程,化简即可.

【详解】因为fxsinxex1，则fxcosxexsinxex，

所以f0cos0e0sin0e01，又f0sin0e011，

所以所求切线方程为y11x0，即xy10.

故答案为：xy10.

13.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽

样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据xi,yi(i1,2,,10)，其中xiyi分别表示第i个样本的

植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，x,y分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野

生动物的数量的平均值，构造向量，并计算

ax1x,x2x,,x10x,by1y,y2y,,y10y

101010

得，由选择性必修第一册教材中的知识，我们知道

xi30,yi600,xiyi2280,|a|5,|b|100

i1i1i1

n对数据的相关系数rcosa,b，则上述数据xiyi(i1,2,,10)的相关系数r______.

24

【答案】0.96##

25

【解析】

10

【分析】计算出，故

abxiyi10xy480rcosa,b0.96.

i1

101030600

【详解】，故，，

xi30,yi600x3y60

i1i11010

10

abx1x,x2x,,x10xy1y,y2y,,y10yxixyiy

i1

10

，

xiyi10xy228010360480

i1

ab480

rcosa,b0.96.

ab5100

故答案为：0.96

14.斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例

子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在

*

数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a01，a11，an1anan1nN，

Aa1,a2,,a2025.若集合B为集合A的非空子集，则集合B中所有元素之和为奇数的概率为______.

2024

【答案】2

220251

【解析】

【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，E为集合C的子集，集合D中含

有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成EF，结合分步乘法计数原理及古典

概型概率公式即可可解.

【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数，

记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，E为集合C的子集，

集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成EF.

21350

易知，集合E共有2675个，集合F共有C1C3C5C134921349个，

13501350135013502

所以所有元素之和为奇数的集合B共有26752134922024个.

22024

又集合A的非空子集共有220251个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.

220251

22024

故答案为：.

220251

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在某校举行的数学统计建模比赛中，参与比赛的高一学生与高二学生人数之比为2:3，且成绩分布在区

间[40，100]，分数在80分以上（含80分）的同学获奖.按高一、高二年级用分层抽样的方法抽取100人的

成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示：

高一学生高二学生合计

获奖4

不获奖

合计100

（1）求a的值，并填写下面的22列联表；

（2）试判断是否有97.5%的把握认为“获奖与学生的年级有关”？说明你的理由.

n(adbc)2

附表及公式：K2

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

PKk00.150.100.050.0250.0100.0050.001

k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）a0.025，22列联表见解析

（2）否，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1可求a；根据分层抽样结合题意逐步分析求出22

列联表各个值即可；

（2）将22列联表中的数据代入K2公式计算并判断即可.

【小问1详解】

10a1100.010.0150.030.0150.005，解得a0.025，

2

高一学生人数为：10040，所以高二学生人数为1004060，

23

已知高一获奖人数为4人，则高一不获奖人数为36，

由频率分布直方图可知获奖频率为(0.0150.005)100.2，

所以获奖人数为1000.220，

所以高二获奖学生人数为16，不获奖学生人数为44，

补充完整22列联表如下：

高一学生高二学生合计

获奖41620

不获奖364480

合计4060100

【小问2详解】

零假设为H0:获奖与学生的年级无关，

100(4443616)225

K24.1675.024，

208040606

根据小概率值0.025的独立性检验，推断H0成立，

所以没有97.5%的把握认为“获奖与学生的年级有关”.

16.设数列an的前n项和为Sn,a11,a22,an12Sn12Sn,n2,nN.

（1）求an的通项公式；

（2）若bnlog2an1，且cna2nbn，求数列cn的前n项和Tn.

n1

【答案】（1）an2

26n2

（2）4n

99

【解析】

【分析】（）根据题意，得到时，，得到数列为等比数列，即可得到

1n2an12an,n2,nNan

数列的通项公式；

11

（2）由（1）求得bn，得到cn4n，得到T(141242n4n)，令

nn2n2

123n

Mn142434n4，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

【小问1详解】

由数列满足，

anan12Sn12Sn,n2,nN

可得，又

an12Sn2Sn12an,n2,nNa222a1,

=

所以数列an是以1为首项，公比为q2的等比数列，

n1

所以数列an的通项公式为an2.

【小问2详解】

由（）知：n1，可得n，

1an2bnlog2an1log22n

1

所以cab22n1nn4n，

n2nn2

1

则Tccc(141242n4n)，

n12n2

123n

令Mn142434n4，

234n1

则4Mn142434n4，

4(14n)

两式相减，可得3M442434nn4n1n4n1

n14

413n

4n1，

33

43n1143n126n2

所以M4n1，所以T(4n1)4n.

n99n29999

17.已知函数f(x)x3ax2bxa2.

（1）若函数f(x)在x1处取得极值8，求函数f(x)在区间[2,2]上的值域；

f(m)f(n)

（2）是否存在实数a，对任意的m,n[0,)，且mn，有b恒成立？若存在，求出a

mn

的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）10,8

（2）存在，a0

【解析】

【分析】（1）首先对函数求导，根据极值点和极值求出a,b的值，然后根据单调性确定函数在区间2,2上

的值域.

（2）首先将不等式变形，构造新函数gxfxbx，并且使其单调递增，然后通过求导、化简即可求

出a的范围.

【小问1详解】

对函数求导得fx3x22axb，

则有f1312ab0，f11aba28，

解得a3或a2，对应的b3或b7.

2

当a3,b3时，fx3x26x33x10，

此时函数在定义域上单调递增，没有极值，所以不合题意.

当a2,b7时，fx3x24x7x13x7，

77

当fx0时，x或x1；当fx0时，1x.

33

77

所以函数fx在,1，,上单调递增，在1,上单调递减.

33

且f10，所以fx在x1处取得极值，所以a2,b7满足题意.

在区间2,2上，函数fx在2,1上单调递增，在1,2上单调递减.

此时函数的最大值为f18，而f28241442,f282414410.

所以函数fx在区间2,2上的值域为10,8.

【小问2详解】

fmfn

对任意m,n0,，且mn，有b恒成立，

mn

若mn0，则有fmbmfnbn恒成立；nm0，则有fmbmfnbn恒成立；

令gxfxbx，则gx在0,上单调递增，所以gx0恒成立.

2

因为gx3x2ax，所以3x22ax0在0,恒成立，

当x0时，aR，

3x

所以a在0,恒成立，所以a0.

2

fmfn

所以存在实数a，对任意m,n0,，且mn，有b恒成立，此时a0.

mn

a

18.已知数列a满足aa2a，且a2,S54.函数f(x)alnx(aR).

nn2nn119x

（1）求Sn；

（2）若f(x)0恒成立，求a的值；

111

*

（3）设nN，求证：lnan.

a1a2an

n23n

【答案】（1）S

n2

（2）a1

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由等差中项判断数列an为等差数列，再由等差数列前n项和公式求得公差，从而求得Sn；

（）求导判断的单调性，当时，，再由

2fxa0fxminfa1alna

ga1alnag10结合f10得a1；

1n11n1

（3）由lnx1，令x，得lnlnn1lnn，由裂项相消法得到

xnn1n

111

lnan.

a1a2an

【小问1详解】

因为an2an2an1，所以数列an是等差数列，

98

又因为a2，所以S9ad54，解得d1，

1912

nn1n23n

所以S2n.

n22

【小问2详解】

a

f(x)alnx的定义域为0,，

x

a1xa

f10，fx，

x2xx2

当a0时，fx0，所以fx在0,上单调递增，

又因为f10，所以当0x1时，fxf10，不符合题意，

当a0时，令fx0得xa，令fx0得xa，令fx0得0xa，

所以fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增，

a

所以fxfaalna1alna，

mina

1

令ga1alna，ga1，

a

令ga0，得0a1，令ga0，得a1，

所以ga在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以gag10，

又因为f10，要使得f(x)0恒成立，则a1.

【小问3详解】

由（1）知an2n1n1，

11

由（2）知，当a1时，fx1lnx0x1，即lnx1x1，

xx

n1n1n11n1

令x1，所以ln1，即lnlnn1lnn，

nnn1n1n1n

1111