专项突破（二）第3节 数列的综合应用-2026年高考数学二轮复习

第3讲数列的综合应用

—■部究真题明确方向■------------------------------------------------------------------------

1.（2023•全国乙卷理，T10）已知等差数列｛出｝的公差为尊集合S=｛cosa“蚱N*｝,若5=｛〃，b｝,则他等于

（）

11

A.-lB』C.OD；

2.（2024•北京，T14）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是痛、合、升，斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、

斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为

65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为

mm.（不计量器的厚度）

3.（2025•全国I卷，T16）已知数列佃,｝中，。尸3,亡品.

（1）证明：数列｛〃劣｝为等差数列；

⑵给定正整数〃?，设函数府）=。1卢尔2+..・+*叫求八-2）.

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5〜10分.

考查方向：

一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考

查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的

递推关系.

1.答案B

解析方法一由题意得

cosa,计3=cos(Qi+g(几+2))

=cos弧十⑸十第

=COS(Q1+yn4-2TT-y)

=C0S(ai+Tn-T)

所以数列｛cos小｝是以3为周期的周期数列,

又COS£72=COS（ai+T）

1V3.

-^cost/i-ysina\,

COS43=COS(Q1+与)

=-^COS6fi+ysin6fi,

因为集合S中只有两个元素,

所以有三种情况:COSa尸COS42Heos。3,

COS«1=COS〃3WcOS02,

COS«2=COS43WCOSCl\.

下面逐一讨论:

①当COSm=COS42¥cos43时,

有cost7i="|cost7i-ysina\,

得tan«i=-V3,

所以ab=cos«i(-|cosQi+ysin/)

=-^cos267i+ysin«icosa\

-|cos2ai4-YSinaicosai

sin2ai+cos2ai

-l+ytanaj

tan2«i+l

13

__2_2-1

3+1W

②当cosm=cossHcos。2时，

有COSQi=-|costfi+ysi

得tan67I=V3,

所以ab=costzi(-1cos%-ysin%)

1oV3.

=-^cos-67i-j-siner।cosa\

-|cos2ai—ysinaicosai

siMai+cos2al

3+12'

③当COSfl2=COS43WCOS时,

有-^costzi-ysinm=*osai+ysina\,

得sin«i=0,

所以ab=cos«।1cosai-ysin%)

=-^COS267|=-^(l-sin267|)="1.

综上，ab=1.

方法二取贝Ucosm=1,

COS«2=cosM+海

COS〃3=COS(%+号)=",

所以S=｛；,一1｝，

2.答案2357.5

解析设升、斗量器的高分别为小mm,h2mm,

升、斗、斛量器的容积分别为匕向东，匕mi/,%mm3,因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比

数列，所以匕=10匕，

即兀x(等)2x230=10X71x(笺)2x42,

解得力2=23.

又匕=10%，

即兀x(罢)2K23=]0X7IX怎)2><加，

所以加=57.5,所以升、斗量器的高分别为57.5mm,23mm.

3.(1)证明在数列｛小｝中，m=3,〃仁N,

,即(〃+1)斯+1-〃%=1,又当〃=1时，1X41=3,

，数列｛〃〃”｝是以3为首项，1为公差的等差数列.

(2)解由(1)可知，〃a“=3+(〃-l)X1=〃+2,

由题意得/'(人)一田十2a”十十…十〃心,认”'"

=3+4工+5/+…+(〃?+2)日/,①

又可/k•尸3x+4W+5./+…+(加+1)//+(〃?+2)的，②

①-②得(l-x)/V尸3+x+■x2+…+yn/-(/〃+2WM,

令x=-2,得3八-2尸3+(-2)+(-2)2+・・・+(-2严-(〃?+2)(-2严=3+-2,](曹」(加+2)(-2)胃(7n+0(-2)-,

故八-2)3•得+§(-2产

考点一数列在实际问题中的应用

例1(1)(2025・昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、

乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、中、酉、

戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…,

以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到

“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为

A.癸未年B.辛丑年

C.乙酉年D.戊戌年

答案C

解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

100+10=10余0,则2125年对应的天干为乙，

100+12=8余4,则2125年对应的地支为酉，

所以2125年为乙酉年.

（2）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，

从第二圈起，第〃圈栽种花卉比第〃圈多栽种2（〃-l）（2W/W8,〃£N*）株，则第8圈栽种花卉（）

A.57株B.56株

C.55株D.54株

答案A

解析设笫〃圈栽种花卉小株，

则。〃F小1=2（〃-1）,2W〃W8,

又m=1,。2=3,

则。8也7=14,47/6=12,46-45=10,…，他-。1=2,

所以。8=（。8-。7）+（。7・46）+（。6・的）+~+口2・。1）+。1

=14+12+10+…+2+1

=^^-1=57.

［规律方法］数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，

利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型：

（1）等差模型：后一个量比前一个量增加（或减少）的是同一个固定值.

（2）等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑a〃与

。用（或者相邻三项）之间的递推关系，或者S,与S“+i（或者相邻三项）之间的递推关系.

跟踪演练1（2025・龙岩模拟）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的;处，

那么在第〃次着地后，它经过的总路程超过5m,则〃的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析设小球第一次落地时经过的路程为第〃-1次落地到第〃次落地经过的路程为

由题意，0=1,数列｛〃”｝从第二项起构成以首项为S=1X：X2=1,公比为:的等比数列，

则第〃次着地后经过的路程为

ai+s+…+。尸1

即第w，

结合选项，当〃=4时，G）

当〃=5时，成立，

所以n的最小值是5.

考点二数列与其他知识的交汇

考向I数列与不等式

例2（2025•湖南省名校联考）已知｛服｝是无穷等比数列，其前〃项和为S”671=1,S2=1.若对任意正整数

〃，都有•力＞0,则实数力的取值范围是（）

A•（告DB.［号,1）

C（WDD.昌，I）

答案B

解析由s=l,S2=m+a2=1,

故〃2=~1,所以公比

由•介0可得非1-

当〃为奇数时，贝仁［1+0卜介0,故4|［1+01

由于儿。号［1+0］,〃£N*单调递增，且加）vg故心1，

当〃为偶数时，则；［1一0〉”＞。，故4彳［1一0］，

由于g（〃）q［i—（j］,〃WN*单调递增，

当〃=2时，此时以〃）=［1-6）"］取最小值也故力4,综上可得

故实数4的取值范围是卜1）.

考向2数列与函数

例3（2025•蒲泽模拟）对于任意x£R,M（x+l）=a+l»（x）+l,且/（2尸3,贝4/（2025）等于（）

A.-lB.lC.2025D.4049

答案D

解析由就x+1尸（x+l）/（x）+l,当x£N*时，可得〃：1））叫:赋值可得

八''"\，x+lxx（x+l）XXx+1

011

-+

22--3-

11

7(3)+

=一

3--4-

岛11

=+

44--5-

f(2025)_/(2024)(11

、2025=2024.2024—2025

利用累加法可得端呼4----

4U4。w22025

代入抬尸3可得霍号拉黑=/(2025)=4049.

考向3数列与几何

例4(2025•大庆模拟)己知数列｛诙｝为等差数列，且公差4W0,直线/:出送十^松尹^小力伽金^泻圆。：

(x-l)2+(y+2)2=l交于4B两点,则N/C8的最小值为()

A?B.；C.；D.；

3234

答案B

解析由题意可知，圆C:(Kl)2+(y+2)2=l的圆心为C(1,2),半径r=l,

设等差数列｛小｝的公差为"，

则直线08+的+2卜+。”+5=0可化为。/+(。”+2沏汁。〃+5d=0,

即(x+y+1)。”+(2)45)"=0.

令厂+1=必解得fW

⑵+5=0,[y=--»

可知直线/过定点。值，-|),

如图，当CZ)J_4?时，弦长|48|最小，此时N4C8最小.

又因为|CQ|考，

则M8|=2〃2-£叫2=鱼,

在△力。中，可知IC^+ICAkM^F，则/力。8弓，故/4C4的最小值为]

考向4数列与概率统计

例5将16处景观分别用小，力2,…，46表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一

条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达4有—

种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观4的不同路线有0条，其中1W7W16,，

n

£N*,记。2〃+1=〃?（1W"W7,〃£N"）,贝I」2an=（结果用〃?表示）.

i=1

入口

答案8w-1

解析由题意知，到达42点共有1种走法，

到达，43点共有1+1=2（种）走法（一种是经过42点到达4,一种是直接到达43）,

到达4点共有1+2=3（种）走法（一种是经过42,一种是经过43,所以到达4的走法是将到达42,4的走法

加起来），

到达乩点共有2+3=5（种）走法（一种是经过力2和4,一种是经过43,所以到达45的走法是将到达44,Ay

的走法加起来），

到达06点共有3+5=8（种）走法（一种是经过42和4,一种是经过43和4，所以到达46的走法是将到达4,

4的走法加起来），故按图中所示方向到达4有8种不同的打卡路线.

由题意知，6/1=1,。2=1,43=0+6=2,。4=。2+。3=3,。5=。3+。4=5,…，。〃+即+1=4〃+2（114且〃£N）

因为斯+。”+1=。”+2（1W〃W14且〃£N"）,

所以口I+。2=。3，。3+〃4=。5,。5+。6=〃；，…，«2n-l+。2〃=。2n11（1W〃W7且〃仁N）

将上式累加可得a1+42+43+44+05+/+…+。2止1+。2"=。3+。5+。7+…+。2”+1（1WnW7且nN*）,

整理可得。1+。2+。4+〃6+…+。2"=。2«+1,又a\=\,。2什1=〃?，

n

所以“2+44+06+…+。2〃=。2加,即2a2i=m-\.

i=1

［规律方法］数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、

数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的理象、性质求解;

二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求

解.

跟踪演练2（1）将被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛劣｝,记数列｛〃“｝的前

〃项和为S”，则纪五竺的最小值为（）

n

A.20B.25C.yD.40

答案B

解析被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2,公差为3的等差数列｛〃“｝,

则S,=2〃必JX3=1〃2g,

...2Sn-483“2+n+483〃当］

rinn

22J3nXy4-1=25,

当且仅当3〃=竺，即〃=4时，等号成立，故所求最小值为25.

n

（2）（2025•昆明模拟）已知函数/（x）=/+x,数列｛4｝是等差数列，且。1013＜0，则/（。1）十/（。2）寸｛。3）+…t/（42

024）切。2025）的值（

A.大于0B.小于0

C.等于0D.不能确是

答案B

解析函数歹=/,尸4均为奇函数且为增函数，则函数加）=/+1为奇函数且为增函数,

由数列｛小｝是等差数列,

得防十。2025=2。1oi3＜0,即a\＜-ai025»

于是/（。1）勺（-。2025）=T/（42025）＞

即/（的H/3025）＜0,同理J（ai）+J（ai（24）＜0,

_/（。3）七《42023）〈。，•,,»J（a\OI2）t/（^l014）＜0,f｛a\013）＜0»

因此贝尸/（。2）Q。3）+…一/（。2024）+/（。2025）＜0.

（3）（2025・辽宁名校联盟模拟）如图，正方形48CQ的边长为1,取正方形各边的四等分点生,82,G,

。2，得到第2个正方形4262c2。2，再取正方形42&。2。2各边的四等分点4，&，C3,。3，得到第3个

正方形483c3。3,依此方法一直进行下去，若从第〃个正方形开始，它的面积小于第1个正方形面积

的春则正整数a的最小值为（参考数据：怆2巾.3）（）

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为J（：）2+&）2邛，

所以其公比为乎.

4

__2

设第4个正方形的面积为小，则公=（邛）中〃？？），

当〃=1时，0=1,所以。产G），

由程备,得（旷V，

所以件1）1普1龈

gn卜］＞Tg50_Tg5-l_-（lTg2）T_lg2-2=0.3-2_

"Ig5-lg8Ig5-3lg2l-lg2-3lg2l-4lg2~l-4x0.3

所以女＞9.5,所以正整数攵的最小值为10.

专题强化练

［分值:80分］

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.(2025•上饶模拟)某统计数据共有13个样本为(i=L2,3,…，13),它们依次成公差d=l的等差数列,若

这组数据的60%分位数是26,则*3为()

A.32B.31C.I9D.18

答案B

解析因为数列｛&｝为公差d=l的等差数列，且13X0.6=7.8,

所以该组数据的60%分位数为工8,由X8=XI+7=26得xi=19.

所以x13=xi+12d=19+12=31.

2.(2025•苏州模拟)在平面直角坐标系中，若直线/：3x+4y+〃=0与圆C(x・2)2+f=Q会念＞o,〃EN*)相切，则

数列｛的｝的前1。项和为()

2327

A.yB.yC.23D.27

答案C

解析由圆C：(x-2)2+产£2知〃＞0,〃£N"),可得圆心为C(2,0),半径为日而

可得国心C(2,0)到直线/：3x+4v+〃=0的距离为公广了1

V32+425

因为直线/：3x+4尹〃=0与圆C相切，

则d=r,即小号，他”｝为等差数列，

1(fllFfllo)

所以数列｛斯｝的前10项和为5lo-°2-5X+y)=23.

3.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段48,作一

个等边三角形48C,然后以点8为圆心，48为半径逆时针画圆弧交线段C8的延长线于点火第一段圆弧),

再以点C为圆心，CZ＞为半径逆时针画圆弧交线段4c的延长线于点E,再以点力为圆心，4E为半径逆时

针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为()

A.44nB.64TTC.70兀D.80兀

答案D

解析由题意每段圆弧的圆心角都是每段圆弧的半径依次增加1,

则第〃段圆瓠的半径为〃，瓠长记为的，则。"号"

所以&5关乂(1+2+3+・・・+15)=80兀.

4.(2025・长春模拟)已知递减的等比数列｛为｝的前〃项和为S”，旦满足0=2,0+02=6.3,若NWS”一•WM恒

成立，则"W的最小值为()

42Q

A.：B.：C.2D.7

324

答案D

解析由题可设等比数列｛小｝的公比为q,0<夕<1,

V^i=2,。1+。2=6。3,

・♦・2(1+夕)=12夕2,解得q=g舍去)或疔

••…(旷I©:

，铲m-a

**•5/1^4,又S"2si=m=2,

・・・2WS〃<4,

令t=Sn,・\/W=K，f£[2,4),

显然函数火。在[2,4)上单调递增，

Q1q

・・・夕2户川内(4)弋,

故若恒成立，则NW：,M2?,故"-N2浮咨，即M-N的最小值为！

Sn244244

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.将函数｛x)=sin(3X-D(〃)>0,工>0)的零点按照从小到大的顺序排列,得到数列｛〃”｝,日,贝4()

A0=2

B：/W在(1,2)上先单调递增后单调递减

C.mo号

D.数列｛&｝的前〃项和为^^

O

答案BD

解析由4v)=O,得S：T=A•兀(AvZ),则L(3?2)TT(A-亡Z),

因为3>0,且41=1,

所以当仁0时，芸(当《W・1且〃£Z时，x〈0,不符合题意，台去)，得所九，故/W=sin(TlX—⑶A错

误；

若x£(1,2),则心片七信，

故/(x)=sin(Trx-g)在(1,2)上先单调递增后单调递减，B正确；

由于3=兀，故周期为2,所以数列｛呢｝是首项为:公差为1的等差数列，

则小号9X1号，数列｛〃“｝的前〃项和5,=|〃母3乂13瞥，C错误，D正确.

6.（2025•兰州模拟）如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作

新三角形的内切圆.如此下去，则（）

A.第〃个圆的面积为荒

B.这〃个圆的半径成公比为;的等比数列

C.第一个圆的面积为当

D.前〃个圆的面积和为（1一a）兀

答案ABD

解析设第〃个正三角形的内切圆的半径为外，

因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个正三角形的a

每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的提

即这〃个圆的半径成公比为♦的等比数列，故B正确;

b21x3x3xsin60°百

因为--------十口

*（3+3+3）2

111

所以数列｛册｝是以日为首项，g为公比的等比数列，

所以。『苧X（9"T,则成弓X（JT,

则第〃个圆的面积为兀成.义（；）XTF李，

第一个圆的面积为?，故A正确，C错误；

设前〃个圆的面积和为S”，

则与号

4(AG—1

专、L?'一［1一G）17t=（1一台兀，故D正确.

4

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.（2025・南宁模拟）在公差不为0的等差数列｛%｝中，若的是以与的的等差中项，则聚的最小值

xy

为_____

答案|

解析因为在公差不为0的等差数列｛〃〃｝中，s是处与的的等差中项,

所以2的=处十%，所以工+产6,

且xel,1,x,y£N*,

所以％Ha”')G+G+(+7)另(5+2号V，

当且仅当需，即尸2,尸4时等号成立，

所以聚的最小值为义

xy2

8.(2025•唐山模拟)设〃WN*,1是曲线厂.白人2在点(1,-1)处的切线与.r轴交点的横坐标，记的M/n+l

n+1

则数列｛斯｝的前50项和为.

套案5100

口采101

解析产(2〃-1濡"-2,

当x=\时，y=2〃-l,

・•・在点(1,-1)处的切线为>4-1)=(2«-1)(%-1),

化简得y=(2n-\)x-2fi,

令尸0,得尸含，即x产产7

2n-l

2n25+1)

nxxn"4n24n2

rtn+12n-l一"(2n-l)(2n+l)=16岛一熹),

n+1n+1(2n-l)(2zi+l)4n2-l

则数列｛斯｝的前50项和为ai+〃2+%+…+。5。

=504x(1-14-1-14-1-14-...+^-^)

=5修(一卦5。喘=兽

四、解答题(共28分)

9.(13分)(2025・广州模拟)已知向量a=(sin£,—siny),/>=(cosy,Siny),函数/(X尸〃力，/(X)的所有大

于0的零点构成递增数列｛a”｝.

(1)写出｛小｝的前6项；(8分)

(2)求｛*的前100项和S@.(5分)

解⑴由题意得/Osin.cos:-sin^^^sin心劣1-cosJLV)

=^(sinTix+cosM-1=^sin(TTX4-

由1/(x)=0,得sin(nx+号.

所以7Lv+g2E+^或7tx+^=2E+*，AEZ.

4444

即尸2a或尸2对，kGZ,取其中的正数构成递增数列｛〃“｝.

所以｛飙｝的前6项为g,2,1,4,6.

(2)依题意

Soo=G+I+...+等）+（2+4+…+100）

_则（尹学）I50x（2+100）

22

=5025.

10.（15分）（2025•江门模拟）已知数列｛〃”｝满足s=2,且对于任意正整数〃，均有〃%+1-（〃+1）。〃=，7（〃+1）,且

2.

n

（1）证明：｛儿｝为等差数列;（5分）

（2）设c产含，S”为数列｛儿｝的前〃项和，7”为数列｛以｝的前〃项和，若巾W幺詈对任意的〃WN*恒成立,

求实数〃的取值范围.（10分）

⑴证明由题意，等式〃〃〃+]-（〃+1>%=〃（〃+1）两边同时除以〃（〃+1）,可得;:卜1，

因为n

则bn+i・bn=l,且h\=ai=2,

所以数列｛儿｝是首项为2,公差为I的等差数列.

⑵解由(1)可得bn=2+n-\=〃+1,

bn±l

所以％：n

(2+n+l)nn(n+3)

22

北厂;卜卷+）卜…嗡^

则号畀••叶n+1

2n+29

上述两个等式作差可得产得玲#一1注川;亨）苗

3714-3

4-2n+2*

所以。尸!■器,

因为泞士华义对任意的恒成立,

日nn+3vfc(n+3)_2k，则心智,

即^n+T'心+3