难点6 立体几何中的截面问题【讲】-2025-2026学年期中重难点复习【含答案】

难点6立体几何中的截面问题【讲】

期中重点难点一览无余

考向1棱柱的截面问堰

芝包"情的菽面弓题

立体难点1多面体的截面问题必备知•只

何

几考向3校台的菽面问题考向归类

的

中典例解耍

面

截生向L圈纱截面日题自考提醒

题

问难点2旋转体的截面问题考向2圈住的截面问题

考向3球的截面问题

啮演破期中重点难点融合贯通

突破1多面体的截面问题

【必备知识】

多面体定义组形及表示相关概念特殊情形

直棱柱：侧棱垂

有两个面互

直于底面的楼

相平行，其余

底面：两个互相柱斜棱柱：侧棱

各面都是四互_D'

平厅的面侧面：不垂直于底面

.AT於、R

边形，并且相上::淆己作:棱

其余各面的棱柱

邻两个四边侧/葭应

楂柱侧棱：相邻侧面正棱柱：底面是

A3、顶点

形的公共边

柱的公共边正多边形的直

都互相平行，

，，，，顶点,侧面与底棱柱

由这些面所ABCDEF-A'B'CDEF

面的公共顶点平行六面体：底

围成的多面

面是平行四边

体叫做棱柱

形的四棱柱

试卷第1页，共8页

有一个面是底面：多边形面

多边形，其余侧面：有公共顶

正棱锥：底面是

点顶点

各面都是有点的各个三角

则棱/侧面

正多边形，并且

一个公共顶形面

棱锥71日记作:棱顶点与底面中

1/上啧面

点的三角形，侧棱：相邻侧面

AB

心的连线垂直

由这些面所^.S-ABCD的公共边

于底面的棱锥

围成的多面顶点：各侧面的

体叫做棱锥公共顶点

上底面：原棱锥

用一个平行的截面下底面.：

o

于棱锥底面户、原棱锥的底面

的平面去截侧面：其余各面

棱台棱锥,底面和侧棱：相邻侧面

截面之间的顶点的公共边

那部分多面台ABCD-AHCD顶点：侧面与上

体叫做棱台（下）底面的公共

顶点

【考向归类】

考向一：棱柱的截面问题

【典例1】

1.一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形在棱长为1的正

方体力48cA中，E为48的中点，尸为CG的中点，过口,瓦厂三点的截面图形的

周长为（）

A.^（25+2713+975）B.却5+49+明

C.-^（25+2713+675）D.《（15+4拒+6司

【备考提醒】

棱柱的截面问题，核心是确定平面与棱柱各面的交线，利用棱柱的平行特性，掌握平行线法

和延长交线法,进而分析截面形状、计算周长或面积.

试卷第2页，共8页

【举一反三】

（25-26高二上•上海•期末）

2.已知正方体力8。。-4月0。1，棱的中点为E,棱力。的中点为产，棱CG的中点为

G,过反EG作该正方体的截面，则该截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

（2026•重庆九龙坡•一模）

3.已知正方体力88-4圈G"棱长为1,过点民"的平面截正方体所得截面为菱形时，该

截面的面积为（）

A.巫B.7C.V2D.瓜

24

考向二：棱锥的截面问题

【典例2］（2025・安徽合肥•三模）

4.已知正四棱锥尸-48c。的所有棱长都等于3,点G是△/MC的重心，过点G作平面。，

若平面a〃平面尸8,则平面。截正四棱锥夕-力灰:。的截面面积为（）

A.巫B.C.2GD.2715

48

【备考提醒】

棱锥的截面问题，核心是确定平面与棱锥各面（底面和侧面）的交线，由于棱锥的侧面交于

顶点，截面通常与侧棱相交，形成多边形，利用顶点和底面，掌握延长交线法和相似比法.

【举一反三】

5.已知四棱锥S-48c。中，S4_L平面48CO,四边形/8CO为正方形，SA=AB=6,平

面a过S8,CD,SO的中点，则平面a截四棱锥S-/88所得的截面面积为（）

A.—V6B.红恒C.976D.125/6

42

（24-25高二下・四川内江•开学考试）

6.一棱长为。的正四面体木块如下图所示，点P在平面以C内，过点P将木块锯开，且使

截面平行于直线I力和力C,则在木块表面画线的总长度为（）

试卷第3页，共8页

A.。B.laC.4。D.无法确定

考向三：棱台的截面问题

【典例3】（23-24高三上•河北廊坊•期末）

7.如图所示，正四棱台/4CQ-4片CR中，上底面边长为3,下底面边长为6,体积为

竺点七在力。上且满足。E=2月E,过点七的平面a与平面平行，且与正四棱台

2

各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周氏为（）

A.772B.872C.3百+4&D.46+4加

【备考提醒】

棱台的截面问题，核心是确定平面与棱台各面（两个底而和侧面）的交线，棱台可看作棱锥

被平行于底面的平面截去顶部后形成的几何体，因此截面问题常可转化为棱锥的截面问题,

核心是“补形成棱锥”.将棱台补成棱锥后，棱锥的截面方法（延长交线法、平行线法）完全

适用，最后将结果限制在棱台范围内即可.

【举一反三】

8.在正四棱台力8。。—44CQ中，川？=24蜴=4,低棱若尸为8c的中点，

则过8,D,尸三点截面的面积为.

9.在正四棱台16。。—44CQ中，川？=2/4=4,低棱44=#，若尸为6c的中点，

则过8,D,。三点截面的面积为（）

试卷第4页，共8页

15

A.B.4A/6C,56夜

~2D.6

Q突破2旋转体的截面问题

【必备知识】

1.圆柱

结构特征图形表示

圆柱用表

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成

示它的轴

的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直史轴

的字母表

底面《丁侧面

于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边

示，如图中

旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，:B

的圆柱记

平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

作圆柱。。

2.圆锥

结构特征图形表示

言轴

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转圆锥也用表示它的轴的字

轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转例面；iV-母线母表示，如图中的圆锥记

体叫做圆锥底面丁作圆锥S。

3.球

结构特征图形表示

半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的

,

“球常用表示球

M

径

曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称半

轻

直心的字母来表

心

球

球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意L

示，如图中的球

一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过

1可表示为球o

球心的线段叫做球的直径

【考向归类】

考向一：圆柱的截面问题

【典例1】

试卷第5页，共8页

10.从•个底面半径和高都是〃的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的

圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为/,并且平行于底面的平面

去截这个几何体，则截面面积为.

【备考提醒】

圆柱的截面问题，核心是确定平面与圆柱面（侧面和底面）的交线，核心是“根据截面与轴

的关系判断形状”.垂直于轴是圆，平行于轴是矩形，倾斜于轴是椭圆.

【举一反三】

II.已知圆柱的上，下底面的中心分别为Q，u，过直线的平面截该圆柱所得的截面是

面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（）

A.8兀B.1()71C.12兀D.16兀

12.如图所示的几何体是由•个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆

锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

C.（1）（4）D.（1）（5）

考向二：圆锥的截面问题

【典例2］（2026•浙江台州•二模）

13.已知一个圆锥的底面半径为百，高为1,则下列对该圆锥的表述正确的是（）

A.体积为37rB.表面积为2石几

C.两条母线的夹角的最大值为方D.过顶点的截面面积的最大值为2

试卷第6页，共8页

【备考提醒】

圆锥的截面问题，核心是确定平面与圆锥面（侧面和底面）的交线，由于圆锥面是曲面，截

面与侧面的交线可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线（统称圆锥曲线）.

【举一反三】

（2026・陕西榆林•一模）

14.一个圆锥的高是G，侧面积是2兀，则该圆锥轴截面的周长为（）

A.3B.4C.5D.6

（25-26高三上•安徽•期中）

15.已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为/,若过该圆锥顶点的平

而截此圆锥所得截面面积的最大值为8,则/=（）

A.3B.4C.5D.6

考向三：球的截面问题

【典例3】（25-26高二上•贵州遵义•期末）

16.在一个水平平面。上放一个半径为3的球，球面上两点48满足04上08,。是球心,

且点A到平面。的距离为5,则点B到平面。距离的最大值为（）

A.yB.3+痴C.3+V5D.5

【备考提醒】

球的截面问题，核心是确定平面与球面的交线.由于球面是中心对称的曲面，任何平面截球

面得到的交线都是圆，核心是“球心到平面的距离”.只要算出d,截面圆半径、面积、周长

就全部确定.

【举一反三】

（25・26高二上•四川内江•月考）

17.球的半径为10,若它的截面面积是64兀，则球心到截面的距离是（）

A.9B.8C.6D.4

18.己知各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与三棱锥

所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下面一些观点，与周边同学议一议，看看这四

位同学的观点谁的正确（）

试卷第7页，共8页

A.以上四个都正确

B.只有（2）（4）正确

C.只有（4）错

D.只有（1）（2）正确

试卷第8页，共8页

1.A

【详解】延长。/交。。的延长线于点N,连接NE交8c于点G,

延长NE交DA的延长线于点M,连接J即交力4于点〃，连接HE,GF,

如图所示，可得正方体的截面图形为五边形EGP"〃.

由与AC,D,F相似得AH=\,

4

321

所以4〃=彳，△4A”与ACG尸相似得CG=],所以BG=§.

由勾股定理得KG=」?1+4丫=巫，GF

⑴6）6

FR=符'冬HE/皿邛

所以截面图形的周长为《（25+2万+9逐）.

/\

/DI---

M匕

2.C

【分析】采用截面扩展法找出截面与各条极的交点,即可得到截面形状.

【详解】

,Av"

:>/G

P

延长£7、交CN>的延长线于点。，延长"E,交C4的延长线于点P,

答案第1页，共11页

连接。G,交。A于/,连接PG,交BB、于H,

连接EH.

则五边形EF/GH即为过E、RG与该正方体的截面.

故选：C.

3.A

【分析】取彳4的中点E,CG的中点尸，得到8瓦）尸为菱形，故有过点的平面裁正

方体所得截面为菱形的截面是菱形BED尸，根据题意求出8%的长度，取。R的中点”，

连接EH,FH,EF,根据勾股定理求出E厂的长度，故菱形尸的面积为;叮•4。1，代入

数值得解.

【详解】取力4的中点石，CG的中点/，连接£Q],/）尸，FB，BE,

取的中点G,连接GE,G尸，取的中点“，连接EH,FH,EF,

分别是力小DD、,CG，物的中点，."//G是正方形，

...EG//HF且EG=HF,*/D£//HF且D.C,=HF,

.•.EG//〃G且EG=AG，/.EGGA为平行四边形，;.GCJIED\R.GC\=ED\,

而GCJ/6产且GC1=5/，则BF//ED1,BF=ED、，；.BFD】E为平行四边形,

.•.8E〃尸乙.•.民用尸㈤四点共面，又BE=BF=叵，，BEDF为菱形,

2

B[u平面BE。尸,

过点伉4的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形尸，

BD\=6£//=1,F//=1,则EF=JEH?+FH?=ViTT=&，

故菱形BE»F的面积为LEF.=1x亚x囱=也.

222

故选：A

答案第2页，共11页

【分析】过点G依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯

形即可求面积.

【详解】

点G是△尸力。的重心，^|=|,过G作GH//PC交4c于H,并延长交21于M,

过H作EF//CD,过E作EN//PC,如图四边形EFMN为截面，

0G_1OH_OG_\

•.•点G是△尸4c的重心,

~PG~2T^C_PG_2?

HC1PMPNMN…，,

-----=—==——=,MN=1EF=3,MF=NE=2,

AC2PAPBAB

四边形为等腰梯形，故面积为S=（"3）X6=2后.

2

故选：C.

5.A

【分析】顺次连接E,F,G,HJ,则平面EFG"/即为过E,F,H的平面。截四棱锥P-ABCD

所得截面，求其面积，可得答案.

【详解】分别取S3,BC,CD,SO的中点E,F,G,",线段以上靠近S的四等分点

连接EI,EF,FG,GH,HI,

因为EF//SC,EF=-SC,HG//SC,HG=-SC,

22

所以EFHHG、EE="G,四边形EFGH是平行四边形，即E,£G,"四点共面,

答案第3页，共11页

设%中点为N，易得HF//BN,EH/BN,故HFHE1,所以E,F,G,HJ五点共面,

则平面£FG〃/即为平面a,如图，

在RtaS/lC中，SA=6,AC=6g河彳导SC=dAC?+SA'=J6)+2x6?=6百,

所以EE=HG=3A/J,FG=3应，/E=//7=1.^—1+AB2=-732+62=—,

2H2J22

在等腰三角形"77中，EH=FG=3®，IE=IH,所以高为毡，

22

故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，S=3&x36+;x3&xgjJ=

224

故选：A

【点睛】关键点点睛：分别取SB,BC,CD,S。的中点E,F,G,H,线段S力上靠

近S的四等分点/作出并证明平面EFGHI即为平面。是解题的关键，属于中档题.

6.B

【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求.

【详解】

如图，在平面"C内过点P作/WN〃4C,分别交口,叱于点M,N,则PM=%V=A#/,

MN=NC.

在平面K48内作ME//J/8交力3于点E,在平面FBC内作MII形交8c于点b,则

ME=MA,NF=NC,

：.MEHNF,ME=NF,故截面为平行四边形MYFE,

答案第4页，共11页

•••在木块表面画线的总长度为2（MN+ME）=l（VM+MA]=2VA=2a.

故选：B.

7.D

【分析】首先过点4作4"，力。于点“，结合己知得力〃=述，由楼台体积公式得

2

=半，由勾股定理得力力，2+4〃2=3,再求出/〃的长，最终根据相似三角形

对应边成比例即可得解.

【详解】如图所示，

过点4作4H1AC于点H,因为4G=30AC=6五,

所以47=述，

2

则四棱台的高为4〃，则四棱台的体积为;（32+G+3x6）x4〃=竽,

解得4〃=手，所以侧棱长为44=JAH2+AJ1=3.

如图所示：

过。尸_1力。于点/，力G14。于点G,连接力2,

6-33

由对称性可知DF=AG=—=—,GF=%。=3,

22

39

所以力尸=6-7=7，

22

而DDi=AA[=3t

所以。/二

答案第5页，共11页

所以力曰+.=3行，同理。2=力"=3百,

分别在棱DC,DD,上取点N,M,使得DN:NC=DM:A7D,=2:1,

易得ME=NM=g=26,EN=：力。=4&,

所以截面多边形的周长为4石+4上.

故选：D.

o15

8-T

【分析】取G"的中点0，连接尸。，BR,结合中位线、正四棱台的性质证截面为

等腰梯形，再根据已知求截面的面枳即司;

【详解】取G"的中点0，连接尸0，BR,则PQ//B。,PQ=NR,又BDHB\D\,

则产Q//4D,根据止四棱台的性质得。。=片~,则〃。。产为等股梯形，

即过从D,P三点截面为等腰梯形8。0P.

取8c的中点M,连接MP,

在等腰梯形4GC8中，8G=2,BC=4,BM=2,

则J482—［；（BC—qCjf=亚,DQ=BP=ylBM、PM2=3,

在等腰梯形3D。尸中，尸0=：4R=&，BD=4枝，

则梯形的高为J8P2—；（3。-尸0）=乎，

所以等腰梯形8。。尸的面枳5=\（贬+4&»逑=".

222

故答案为：—

9.A

【分析】取GA的中点2,则尸。〃4鼻,又BD〃BR,则「。〃8。，可得过8,P

答案第6页，共11页

三点截面为等腰梯形8。。尸，利用题中数据及正四棱台的性质计算即可.

【详解】

取GR的中点。，连接则PQ〃BQ「PQ=；BQ「

又BD〃BQ、,则尸。〃4〃，又根据正四楼台的性质得。。=以\

则8QQP为等腰梯形，即过8,D,P三点截面为等腰梯形8。0/\

取8c的中点/，连接MP,

在等腰梯形4GC4中，B\C、=2,BC=4、B\B=瓜、BM=2,

则PMMJBIB?-;（BC—BCJ=6，DQ=BP=dBM、PM2=3,

在等腰梯形“。。。中，PQ=；B\D1=6,BD=46

则梯形的高为小尸］；（BD_PQJ=半，

所以等腰梯形8力QP的面积S=；x（&+4五卜孚=£.

故选：A.

10.冗（后一厂）

【分析】画出轴截面，设出4。=工，由图形关系求解即可.

【详解】题图中的几何体的轴截面如图所示，

所以△408是等腰直角三角形.

答案第7页，共11页

又CDH0A,则CZ)=8C.设QO=x,则CD=R-x.

又BC=R-I,故x=/,

所以所求截面面枳S=兀斤-兀『=兀/一/2).

故答案为：”(2一/2)

11.D

【分析】设圆柱的底面半径为丁母线长为/，根据题意求出，/,进而利用圆柱的体积公式

即可求解.

【详解】设圆柱的底面半径为〜母线长为/,由题意得：/=2〃，

因为过直线的平面械该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，

所以2”=16,即/=2r=4,所以r=2,

所以该圆柱的体积为V=w2/=Jtx2‘x4=16兀，

故选：D.

12.D

【分析】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为(I),不过上、下底的中心时截面图形为

(5).

【详解】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为(1)：

当不过上、下底的中心时，截面图形为(5).

所以只有(1)、(5)正以

故选：D.

13.D

【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面

的顶角值后可判断CD的正误.

【详解】对于A,圆锥的体积为:x兀x(G『xl=7r,故A错误；

对于B,圆锥的母线长为反1=2,

故圆锥的表面枳为兀+7txJJx2=2JJ兀+3兀，故B错误；

对于C,设圆锥轴截面顶角为。，则tan2=^=G，

21

答案第8页，共11页

而冬为锐角，故3=故故两条母线的夹角的最大值为弓，故C错误；

对于D,