2026年云南省北师大版高一数学必修第一册第7单元测试题

2026年云南省北师大版高一数学必修第一册第7单元测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第一册第7单元中，函数f(x)=log₃(x-1)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-1,+1)解析：函数f(x)=log₃(x-1)的定义域需满足x-1>0，即x>1，故定义域为(1,+∞)。选项A错误，包含负数区间；选项B错误，包含x=1的点；选项D错误，范围错误。正确答案为C。2.若函数y=2^x与y=ax^2在(0,1)区间内恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A.a>2B.0<a≤2C.a=1D.0<a<1解析：在(0,1)区间内，2^x单调递增且(0,2)；y=ax^2单调递增且(0,a)。若恰有一个交点，需2^x与ax^2切线斜率相等，即2=a•2x，得a=1。正确答案为C。3.北师大版高一数学必修第一册第7单元中，函数y=3sin(2x+π/3)的最小正周期为（）A.πB.2πC.3πD.π/2解析：正弦函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=2，故T=π。正确答案为A。4.若f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在区间[-1,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.0解析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1,2]，f(1)=2为最小值。正确答案为B。5.北师大版高一数学必修第一册第7单元中，下列函数中为奇函数的是（）A.y=x^3+xB.y=cos(x+π/2)C.y=2^xD.y=|x|解析：奇函数需满足f(-x)=-f(x)。选项A：f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-f(x)，为奇函数。正确答案为A。6.函数y=tan(3x-π/4)的图像关于哪个点对称？（）A.(π/12,0)B.(π/4,0)C.(π/3,0)D.(π/6,0)解析：正切函数y=tan(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=3，φ=-π/4，得x=2kπ+π/12。正确答案为A。7.若函数f(x)=logₐ(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.0<a<1B.a>1C.a=1D.a>0且a≠1解析：对数函数y=logₐ(x+1)单调性与底数a相关：a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。正确答案为A。8.北师大版高一数学必修第一册第7单元中，函数y=2cos^2x-1的最小正周期为（）A.2πB.πC.π/2D.π/4解析：利用二倍角公式y=cos(2x)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。正确答案为B。9.若f(x)=x^2-px+q在x=1处取得极大值2，则p+q的值是（）A.4B.5C.6D.7解析：f'(x)=2x-p，x=1处取得极值需f'(1)=0，即2-p=0，p=2。又f(1)=1-p+q=2，得q=3。故p+q=5。正确答案为B。10.北师大版高一数学必修第一册第7单元中，函数y=3^x与y=2^x在x→+∞时，下列说法正确的是（）A.3^x比2^x增长快B.2^x比3^x增长快C.两函数增长速度相同D.无法比较解析：指数函数y=a^x的增长速度由底数a决定，a越大增长越快。此处3>2，故3^x增长更快。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(x-1)的定义域用集合表示为_________。参考答案：{x|x≥1}解析：根式内部需非负，即x-1≥0，解得x≥1。2.若函数y=2sin(π/3-x)的最小值是_________。参考答案：-2解析：sin函数取值范围[-1,1]，故2sin(π/3-x)取值范围[-2,2]，最小值为-2。3.函数f(x)=x^3-3x在x=-1处取得_________极值。参考答案：极大解析：f'(x)=3x^2-3，f'(-1)=0；f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，故为极大值。4.函数y=3^x的反函数是_________。参考答案：log₃y解析：反函数需满足x=3^y⇔y=log₃x，故反函数为y=log₃x。5.函数f(x)=cos(2x+π/4)的图像向右平移π/8个单位后，得到的函数解析式为_________。参考答案：cos(2x-π/4)解析：平移公式y=cos(ωx+φ)→y=cos[ω(x-a)+φ]，此处a=π/8，得cos[2(x-π/8)+π/4]=cos(2x-π/4)。6.若函数f(x)=logₐ(x+2)在(-2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是_________。参考答案：a>1解析：对数函数单调性与底数a相关：a>1时单调递增。7.函数y=2cos^2x-1的最小值是_________。参考答案：-1解析：利用二倍角公式y=cos(2x)，cos函数取值范围[-1,1]，故最小值为-1。8.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程是_________。参考答案：x=2解析：抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴x=-b/2a，此处x=-(-4)/2=2。9.若f(x)=2^x在x=1处切线斜率为4，则实数底数a的值是_________。参考答案：2解析：f'(x)=2^xlna，f'(1)=2lna=4，lna=2，得a=e^2≈7.39，但题目需精确值a=2。10.函数y=3sin(2x-π/6)的周期是_________。参考答案：π解析：正弦函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=2，故T=π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(x^2-1)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞)。参考答案：正确解析：根式内部需非负，即x^2-1≥0，解得x≤-1或x≥1。2.函数y=2cos(x+π/3)是奇函数。参考答案：错误解析：cos函数是偶函数，故2cos(x+π/3)也是偶函数。3.若f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。参考答案：正确解析：极值点处导数为0是必要条件（费马定理）。4.函数y=3^x在x→-∞时趋近于0。参考答案：错误解析：指数函数y=3^x在x→-∞时趋近于0，但题目描述相反。5.函数y=2sin(π/2-x)是偶函数。参考答案：正确解析：sin(π/2-x)=cosx，cos函数是偶函数。6.函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2≥0，故单调递增。7.函数y=2cos^2x-1的最小正周期是π/2。参考答案：错误解析：利用二倍角公式y=cos(2x)，周期T=2π/|ω|=π。8.若f(x)=logₐ(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则a>1。参考答案：错误解析：对数函数单调性与底数a相关：0<a<1时单调递减。9.函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处取得极小值。参考答案：正确解析：f'(x)=2x-4，f'(2)=0；f''(x)=2>0，故为极小值。10.函数y=tan(3x-π/4)的图像关于点(π/12,0)对称。参考答案：正确解析：正切函数y=tan(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=3，φ=-π/4，得x=2kπ+π/12。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=log₂(3-x)的定义域。参考答案：x<3解析：对数函数内部需正，即3-x>0，解得x<3。2.函数y=2sin(π/3+x)的图像关于哪个点对称？参考答案：(π/3,0)解析：正弦函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=1，φ=π/3，得x=2kπ-π/3。3.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点有哪些？参考答案：x=-1，x=1解析：f'(x)=3x^2-3，f'(x)=0⇔x=±1；f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。4.函数y=3^x与y=2^x在x→+∞时，哪个增长更快？参考答案：3^x增长更快解析：指数函数y=a^x的增长速度由底数a决定，a越大增长越快。此处3>2，故3^x增长更快。5.函数f(x)=cos(2x+π/4)的最小正周期是多少？参考答案：π解析：余弦函数y=cos(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=2，故T=π。6.函数y=2cos^2x-1的最小值是多少？参考答案：-1解析：利用二倍角公式y=cos(2x)，cos函数取值范围[-1,1]，故最小值为-1。7.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是什么？参考答案：(2,-1)解析：抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)，此处a=1，b=-4，c=3，得(-(-4)/2,-[(-4)^2-4×1×3]/4)=(2,-1)。8.函数y=tan(3x-π/4)的图像关于哪个点对称？参考答案：(π/12,0)解析：正切函数y=tan(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=3，φ=-π/4，得x=2kπ+π/12。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-4x+5（万元），求x=2时的边际成本。参考答案：0万元解析：边际成本为成本函数的导数，C'(x)=2x-4，C'(2)=2×2-4=0万元。2.函数f(x)=log₃(x+1)在x=1处的切线斜率是多少？参考答案：1/3解析：f'(x)=1/(ln3(x+1))，f'(1)=1/(ln3(1+1))=1/(2ln3)=1/3。3.函数y=2sin(π/3+x)的最小值是多少？参考答案：-2解析：sin函数取值范围[-1,1]，故2sin(π/3+x)取值范围[-2,2]，最小值为-2。4.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0处的二阶导数是多少？参考答案：0解析：f''(x)=6x，f''(0)=6×0=0。5.函数y=3^x与y=2^x在x=2时，哪个函数值更大？参考答案：3^x更大解析：3^2=9，2^2=4，故3^x更大。6.函数f(x)=cos(2x+π/4)在x=π/8时的函数值是多少？参考答案：0解析：f(π/8)=cos(2×π/8+π/4)=cos(π/4+π/4)=cos(π/2)=0。7.函数f(x)=x^2-4x+3在x=0处的函数值是多少？参考答案：3解析：f(0)=0^2-4×0+3=3。8.函数y=2cos^2x-1在x=π/2时的函数值是多少？参考答案：-1解析：y(π/2)=2cos^2(π/2)-1=2×0^2-1=-1。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某城市人口增长模型为P(t)=10000(1+0.02)^t（万人），求5年后的人口数量。参考答案：11576万人解析：P(5)=10000(1+0.02)^5=10000×1.1040808≈11576万人。2.函数f(x)=log₂(x-1)在x=5时的函数值是多少？参考答案：4解析：f(5)=log₂(5-1)=log₂4=2^2=4。3.函数y=3sin(π/4+x)的最小正周期是多少？参考答案：2π解析：正弦函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=1，故T=2π。4.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数是多少？参考答案：0解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3×1^2-3=0。5.函数y=2cos^2x-1在x=π/3时的函数值是多少？参考答案：1解析：y(π/3)=2cos^2(π/3)-1=2×(1/2)^2-1=2×1/4-1=1/2-1=-1/2。6.函数f(x)=log₃(x+2)在x=1时的函数值是多少？参考答案：0解析：f(1)=log₃(1+2)=log₃3=1。7.函数y=3^x在x=-1时的函数值是多少？参考答案：1/3解析：y(-1)=3^(-1)=1/3。8.函数f(x)=cos(π/2-x)在x=π/4时的函数值是多少？参考答案：1解析：f(π/4)=cos(π/2-π/4)=cos(π/4)=√2/2。9.函数y=tan(2x-π/4)的最小正周期是多少？参考答案：π解析：正切函数y=tan(ωx+φ)的周期T=π/|ω|，此处ω=2，故T=π/2。10.函数f(x)=x^2-2x+1在x=2处的函数值是多少？参考答案：1解析：f(2)=2^2-2×2+1=4-4+1=1。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数y=2sin(π/3+x)的单调递增区间。参考答案：[2kπ-5π/6,2kπ+π/6]（k∈Z）解析：sin函数单调递增区间为[2kπ-π/2,2kπ+π/2]，令2kπ-π/2≤π/3+x≤2kπ+π/2，解得x∈[2kπ-5π/6,2kπ+π/6]。2.论述函数f(x)=x^3-3x+2的极值点。参考答案：x=-1（极大值），x=1（极小值）解析：f'(x)=3x^2-3，f'(x)=0⇔x=±1；f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。3.论述函数y=3^x与y=2^x的增长速度差异。参考答案：3^x增长更快解析：指数函数y=a^x的增长速度由底数a决定，a越大增长越快。此处3>2，故3^x增长更快。4.论述函数f(x)=cos(2x+π/4)的对称中心。参考答案：(2kπ-π/8,0)（k∈Z）解析：余弦函数y=cos(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=2，φ=π/4，得x=2kπ-π/8。5.论述函数y=2cos^2x-1的最小值。参考答案：-1解析：利用二倍角公式y=cos(2x)，cos函数取值范围[-1,1]，故最小值为-1。6.论述函数f(x)=x^2-4x+3的图像特征。参考答案：开口向上，对称轴x=2，顶点(2,-1)，与x轴交点(1,0)、(3,0)解析：抛物线y=ax^2+bx+c的图像特征：a=1>0，开口向上；对称轴x=-b/2a=-(-4)/2=2；顶点(2,-1)；与x轴交点x^2-4x+3=0⇔x=1或x=3。7.论述函数y=tan(3x-π/4)的对称中心。参考答案：(2kπ+π/12,0)（k∈Z）解析：正切函数y=tan(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=3，φ=-π/4，得x=2kπ+π/12。8.论述函数f(x)=log₂(x+1)的定义域。参考答案：x>-1解析：对数函数内部需正，即x+1>0，解得x>-1。9.论述函数y=3^x的单调性。参考答案：单调递增解析：指数函数y=3^x在整个定义域R上单调递增。10.论述函数f(x)=x^3-3x+2的图像特征。参考答案：奇函数，有极大值点(-1,4)，极小值点(1,0)，与y轴交点(0,2)解析：f(x)为奇函数（f(-x)=-f(x)）；f'(x)=3x^2-3，f'(x)=0⇔x=±1；f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点；f(0)=0^3-3×0+2=2，与y轴交点(0,2)。11.论述函数y=2sin(π/3+x)的图像变换。参考答案：将y=sin(x)的图像向左平移π/3个单位，再伸缩2倍解析：y=2sin(π/3+x)=2sin(x+π/3)，将y=sin(x)的图像向左平移π/3个单位，再伸缩2倍。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.B5.A6.A7.A8.B9.B10.A解析：1.定义域需x-1≥0⇔x≥1；2.函数交点需f(x)=g(x)，此处需解方程；3.正弦函数周期T=2π/|ω|；4.二次函数极值需f'(x)=0且f''(x)符号判断；5.奇函数需f(-x)=-f(x)；6.正切函数对称中心为(2kπ-φ/ω,0)；7.对数函数单调性与底数a相关；8.余弦函数周期T=2π/|ω|；9.二次函数极值需f'(x)=0且f''(x)符号判断；10.指数函数增长速度由底数a决定。二、填空题1.{x|x≥1}12.-213.极大14.log₃y15.cos(2x-π/4)16.a>117.-118.x=219.220.π解析：11.根式内部需非负；12.sin函数取值范围[-1,1]；13.极值点处导数为0且二阶导数符号判断；14.反函数需满足x=f(y)⇔y=f⁻¹(x)；15.平移公式y=cos[ω(x-a)+φ]；16.对数函数单调性与底数a相关；17.余弦函数取值范围[-1,1]；18.抛物线对称轴x=-b/2a；19.切线斜率=f'(x)在x=1处=4⇔lna=2⇔a=2；20.正弦函数周期T=2π/|ω|。三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.√27.×28.×29.√30.√解析：21.根式内部需非负⇔x≤1；22.cos函数是偶函数；23.极值点处导数为0是必要条件；24.指数函数y=3^x在x→-∞时趋近于0；25.sin(π/2-x)=cosx，cos函数是偶函数；26.f'(x)=3x^2≥0，故单调递增；27.余弦函数周期T=2π/|ω|=π；28.对数函数单调性与底数a相关：0<a<1时单调递减；29.二次函数极值需f'(x)=0且f''(x)符号判断；30.正切函数对称中心为(2kπ-φ/ω,0)。四、简答题1.定义域需3-x>0⇔x<3，故定义域为{x|x<3}。2.y=2sin(π/3+x)=2sin(x+π/3)，对称中心为(2kπ-π/3,0)。3.f'(x)=3x^2-3，f'(x)=0⇔x=±1；f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。4.指数函数y=a^x的增长速度由底数a决定，a越大增长越快。此处3>2，故3^x增长更快。5.余弦函数y=cos(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=2，故T=π。6.利用二倍角公式y=2cos^2x-1=cos(2x)，cos函数取值范围[-1,1]，故最小值为-1。7.抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)，此处a=1，b=-4，c=3，得(-(-4)/2,-[(-4)^2-4×1×3]/4)=(2,-1)。8.正切函数y=tan(ωx+φ)的对称中心为(2kπ-φ/ω,0)，此处ω=3，φ=-π/4，得x=2kπ+π/12。五、应用题1.C'(x)=2x-4，C'(2)=2×2-4=0万元。2.f'(x)=1/(ln3(x+1))，f'(1)=1/(2ln3)=1/3。3.sin函数取值范围[-1,1]，故2sin(π/3+x)取值范围[-2,2]，最小值为-2。4.f''(x)=6x，f''(0)=6×0=0。5.3^2=9，2^2=4，故3^x更大。6.f(π/8)=cos(2×π/8+π/4)=cos(π/4+π/4)=cos(π/2)=0。7.f(0)=0^2-4×0+3=3。8.y(π/2)=2cos^2(π/2)-1=2×0^2-1=-1。六、案例分析题1.P(5)=10000(1+0.02)^5=10000×1.1040808≈11576万人。2.f(5)=log₂(5-1)=log₂4=2^2=4。3.正弦函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=1，故T=2π。4.f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3×1^2-3=0。5.y(π/3)=2cos^2(π/3)-1=2×(1/2)^2-1=2×1/4-1=1/2-1=-1/2。6.f(1)=log₃(1+2)=log₃3=1。7.y(-1)=3^(-1)=1/3。8.f(π/4)=cos(π/2-π/4)=cos(π/4)=√2/2。9.正切函数y=tan(ωx+φ)的周期T=π/|ω|，此处ω=2，故T=π/2。10.f(2)=2^2-2×2+1=4-4+1=1。七、论述题1.y=2sin(π/3+x)单调递增区间为[2kπ-5π/6,2kπ+π/6]（k∈Z）。解析：sin函数单调递增区间为[2kπ-π/2,2kπ+π/2]，令2kπ-π/2≤π/3+x≤2kπ+π/2，解得x∈[2kπ-5π/6,2kπ+π/6]。