2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷02（上海专用）解析版

高一数学下学期第一次月考卷02（上海专用）

全解全析

（考试时间：90分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：：沪教版必修第2册第6章三角。

一、填空题（1-6填对每题得4分，7T2填对每题得5分.）

1.化弧度制为角度制：y=

【答案】240

【分析】由兀=180°进行变形求解.

4it4

【详解】y=-xl80°=240°,

故答案为：240.

2.若-则点（cota,cosa）必在第象限.

【答案】三

【分析】由-5兀＜。＜一兀可求出的正负，从而可求得结果.

3

【详解】因为一5兀＜1＜一兀所以sin<7>0,cosa<0,

cosa

所以cota=

sina

所以点（cota,cosa,必在第三象限.

故答案为：二

3.已知角。的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，其终边经过点（-1,2）.则角。的正弦值为

【答案】巫法

55

【分析】根据二角函数的定义求解即可

22&

【详解】根据三角函数的定义，=-=

J(T)~+2-5

故答案为：巫.

5

4.已知。是第三象限的角，且sina=-去24，则taan£=.

【答案】w4

【分析】首先由a的范围确定多的取值范围，利用正弦函数的二倍角公式对Sina变形即可得到

-a

2tan—

sina=2sin-cos-=-----J，最后由？的范围确定出tan1的最终取值

22*加里22

2

【详解】*•*Ge^+2k7r,—+2k7v,:.—e(—+k/r,—+kn,

k2/2^24)

2tan—».

、.aa224a4-3o

sma=2sin—cos—=-------=---,解得fa〃一二一一或一一，

221+/加425234

2

“a(乃？3乃？、a,a4

又•••一e—+K7T,—'k冗,:,tan-<-\,tan—=一一

2124J223

4

故答案为

【点睛】本题考查二倍角公式与同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中的应用，是基砒题

tana_2/_、

5.已知「『一丁则sin2a+£的值是.

tan^a+-114；-----

【答案】叵

10

【分析】由题意首先求得tana的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求

值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

tana_tana_tan<x(l-tana)_2

【详解】由］了石一tana+l—-tana+1一—-7,

tana+--------

I4)1-tana

得3tan2a—5tana-2=0,

解得tana=2或tana=一1.

sin(2a+-

=sin2acos—+cos2asin—

l4J44

2sinacosa+cos2a-sin,a、

学(sinla+cos2a)=—~22~

sina+cosa

2tana+l-tan2a>

tan2a+l,

当tana=2时,

上式=笄若斗寻

综上，sinf2cx+—1=

I4j10

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透/逻辑推理和数学运算素养.米取转化法，利用分类讨论和转

化与化归思想解题.

n37r

cos—+a-----atan(7t+<7)

6.化简一上2一2

sin(兀一a)cos(3兀+a)cot--a

<2

【答案】-1

【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答.

(7V1•(3乃)/\

cos—+asin-----aran(^+«).

V2J12J7_-sina(-cos6r)tana

【详解】

/\、sina(-cosa)tana

sin(^-a)cos(3^+a)cotlI/

故答案为：—1

7.若。£卜］,0）,且8520=851+：）,则==.

【答案】三

【分析】化简三角函数式，求出sin（a+：）=g,根据“"可即可求解.

/

【详解】由cos2a=cosa+—得cos%-sin%=——(cosa-sina).

I4,乙

因为ae（-号0）,所以cosa-sina工0,则cosa+sina,贝Jsin（a+：）=g

由＜一"｝得。+储则a+；=?解得〃=*.

故答案为：一万.

8.在△力8c中，角48,C所对应的边分别为db,c.若力=1,8=[,〃=2&,则人=

43

【答案】2百

【分析】根据正弦定理即可求解.

20延

【详解】因为‘4=名，所以方=也7=-*-=2jJ.

sirvlsmBSIIL4。2

故答案为：2\/J.

9.在△XBC中，A=60°,b=\,其面积为J5,则---.

smJ+sin5+sinC

【答案】亚

3

【分析】利用三角形的面积公式求得%利用余弦定理求得。，结合正弦定理求得正确答案.

【详解】依题意S“sc=gAsin/,lxlxcx^=V3,c=4,

由余弦定理得/=「+42-2xlx4xcos600=13,”如，

a+b+c_a_y/\3_2y/39

由正弦定理得sin4+sin8+sinCsinA石3-

V

故答案为：亚

3

10.在△48C中，若21g-〃一/)=怆2+2怆4+2怆力，则。=.

【答案】135°

【分析】本题首先可以根据对数的运算将21g(。2-/一/)=怆2+2尼。+2吆〃化简为。2一/一/=也仍，然

后根据余弦定理cosC=《^^二《■即可求出cosC的值，最后得出结果.

2ab

【详解】由题意可知：21g(/—从-*=收2+2棺4+2棺6,

即lg(c2-b~-a2^=lg2+lg6/2+lgZ>2,

即Ig(c2-b1-«2)2=lg2a~b2,

即6-从一/J=2"

即c2—bz—a'=>[2ab»

因为cosC=3士，所以cosC=1色些=*，/C=135。,

lab2ab2

综上所述，ZC=135°.

2>2_2

【点睛】本题考查对数的相关性质以及余弦定理的使用，余弦定理公式为cosC=T^'考杳计算能

力，考查化归与转化思想，是中档题.

II.在△力4c中，若4B=5,BC=5,C/=4,则NC.（用反三角函数表示）

【答案】arccos^^-

14

【分析】根据余弦定理求解即可.

/,、BC2+CA2-AB221+16-25阴

【洋角限】cosZC=—————------=-----；=-=-—»

1BCCA2x721x414

所以ZC=arccos立.

14

故答案为：arccos

14

sina+sin?B-a

12.若对满足a工"360。、wZ的任何a、£都有-------------=wcot------+〃，则数组(〃?,")=

cost?-cos/?2

【答案】（1,0）

【分析】根据题意利用和差化积公式分析求解.

【详解】因为a土/H/36（）o,〃eZ,可知妇2/Z8（）O,〃€Z,即sin生也工0,

22

.a+Ba-p

2sin-----cos......-

sina+sinpa

则22=一8々=8卫=2"一+〃,

cos”cos/?一2sinjsinj222

22

可知〃?=l,〃=0,即(〃?,〃)=(l,0).

故答案为：（1,0）.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每超4分,第1576题每题5分）

13.在△48c中，若A>B,则下列结论错误的是（）

A.sinJ>sin5B.cosA<cosBC.sin2/4>sin25D.cos2J<cos2^

【答案】C

【分析】根据大角对大边，再利压正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反

例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D.

［详解1设WBC二边a,b,c所对的角分别为45,C,

对于A,\\\A>B,则a>b,再由正弦定理得sin/i>sin4>(),故A正确；

对于B,因为冗>力>4>0,由余弦函数的单调性知cos力<cos8,故B正确；

对于C,当力=：、〃=5时，满足力>8,但sin24=0<sin28=^,故C错误；

262

对于D,由A知,sin>sin5>0,所以sir?力〉sir?B>0,

又cos24=1-Zsin，力，cos2j?=l-2sin2B,.1.cos2J<cos2Z?,故D正确.

故选：C.

14.已知a,leRJjM“sin(a+p)=sin2a，捻")=a+2Qr(A£Z)，^()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用正弦函数性质得出。，4的关系，然后根据充分必要条件的定义判断.

【详解】由$111(々+夕)=$访2。，

可得a+/=2a+2k兀、kJZ或a+。=冗-2a+2k兀,〃eZ,

即尸=a+2kMkcZ)或〃=2A•乃+乃-3a(AeZ),

所以由“sin(a+/?)=sin2a"推不出”=a+2k五伏eZ)”，由“夕=a+2kjr(keZ)”可推出“sin(a+£)=sin2a”,

所以“sin(a+尸)=sin2a”是“fl=a+2左不/eZ)”的必要不充分条件.

故选:B.

15.根据下面的条件解△48C,则解唯一的是()

A.«=25,6=30,4=30°B.a=18,6=20,4=100。

C.4=20,b=34,A=60°D.a=60,6=50,A=45°

【答案】D

【分析】根据正弦定理，逐项判断,即可得出结果.

【详解】对于A选项.由c；「&_5sin/_30-5_3、1可得力或力.因此.三角

oinD—"一■——》——oin/I22

a2552

形有两解；

对干B选项，三角形中，大边对大角，由。=20>。=18得8>力，又/=100°为钝角，所以3也为钝角，显

然不成立，故三角形解的个数为。个;

0立

对干C选项，由._bsinA217JJ不成立,所以三角形解的个数为。个;

sinB=--------=-------=------>1t

a2020

V2——

对于D选项，由.人sin45&JI.所以因此三角形个数只有一个.

sinB=-----=---------=------<——=sinA

a60122

故选D

【点睛】本题主要考查判断三角形解的个数，熟记正弦定理即可，属于常考题型.

16.在△力4c中，三边的长分别是右、扬、若力+/=°2,则的形状是()

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角或锐角三角形

【答案】C

【分析［先由题意得到。+〃>c，由余弦定理得到cosC=^^〉0,从而可得出结果.

【详解】因为a2+b2=c\因此(a+b)2—c2=2M>0,

所以a+b>c,所以cosC="^_^°>0,

闪此C为锐角II是最大角，

所以△48C是锐角三角形.

故选C

【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)

17.(本题14分)设〃”R,已知。©(0,外，且关于x的一元二次方程/+孚工+加=0的两实根分别为sina

和cosa.

八sin2acosa，/士

(1)求-----------+-------的1v值；

sina-cosa1-tantz

(2)分别求〃?和sina-cosa的值.

【答案】(1)—3

3

力1•后

(2).7：=sum-cos«=—^—

【分析】(1)根据韦达定理，结合同角公式的商数关系化简计算即可求解；

(2)根据sina+cosa与sinacosa的关系求出sinacosa,结合完全平方公式计算即可求解.

【详解】(1)因为sina、cosa为一元二次方程/+立力机=()的两个实根，

3

所以sina+cosa=一且,sinacosa=ni.

3

sin'acosasin-acosa

----------H--------=-----------+----:---

sina-cosa1-tancrsincr-cosa〔sina

cosa

sin2acos2asin2a-cos2a.6-

-------------------F-----------=-------------=sina+cosa....../

sina-cosacosa-sinasina-cosa3

(2)由(1)知，sina+cosa=--,sinacosa=m，

3

则(sina+cosaf=1+2sinacosa,

即1=1+2加，解得用=-1；

所以$宿185二二一；<0,由aw(0,冗)，知sina>0,cosa<0,

所以(sina-cosaf=(sina+cos«)2-4sir)acosa=-+—=-,

333

由sina>“cosa<(),所以sina-cosa>0,

所以sina-c5)a=巫...........14分

3

18.(本题14分)已知tanl°=q.

(1)用a表示sin2。的值;

(2)用。表示tan3。的值;

(3)用反证法证明：tanl。是无理数.

【答案】(i)*4

a+1

(2)^4：

1一3/

(3)证明见解析.

【分析】(1)应用二倍角正弦公式及平方关系、商数关系有,心"潦吟，即可得:

⑵由二倍角正切公式得加2。=9，再由和角正切公式求解:

(3)假设tanl。为有理数，应用三角恒等变换依次得到1@!13。,口119。,匕1]27。为有理数，最后应月和角正切公

式得到tan3(T=tan(27o+3。)为有理数,得到矛盾,即可证.

2sin1°cos1°2tanl°2a

【详解】(1)由蜘2。=..........3分

sin2l°+cos21°tan2l°+l-a2+\

2a

2tan10_2atanl°+tan2°3…3

(2)由tan2°=则tan30=tan(l°+2°)=

l-tan2l°-l-a2l-tanl°tan2°,la11—3/

..........7分

（3）假设tanl°为有理数，则tan3o=2W也是有理数，

\-3a~

2tan30

tan90=tan（3。+6。）=（an-tan6。=an=Sta-h

l-tan3°tan60j_tan2ox2lan31-3tan'3°

-l-tan23°

所以tan9。也为有理数，同理可得tan27。为有理数，

由tan30。=tan（270+3。）=-27：：。忸吗:也是有理数，而tan30。=正为无理数，

1-tan27°tan3°3

所以，与假设有矛盾，则tanl。是无理数..........14分

3

19.（本题14分）在△/8C中，内角4伉C所对的边分别为a,ac.已知a>b,a=5,c=6,sin5=-.

⑴求b和力的值；

（2）求sin（24+；）的值.

【答案】（1）〃的值为而，力的值为aicsin亚

13

⑵吟

【分析】（1）根据余弦定理求人再由正弦定理得sin4,根据得力为锐角，得角力；（2）由（1）可

计算cos4,从而得sin24cos2力，利用两角和的正弦公式代入计算即可.

34

【详解】（1）在△/灰?中，因为故由sin4=《，可得cosB=g.

由已知及余弦定理，YJb2=a2+c'—Zaccos/^=13»所以力=JTJ.

由正弦定理」4=刍，得sin/f=M0=±叵，

sinAsinBb13

由于a<c,则力为锐角，得力=arcsin主叵.

13

所以，方的值为JI5，力的值为arcsin当叵............7分

13

（2）由（1）及得cos4=豆叵，

13

所以sin2A=2sinJcosJ,

cos2J=1-2sin2A=---.

13

故sin（24+色=sin2Acos—+cos2Asin—=............|4分

I4J4426

20.（本题18分）在△NBC中，内角4aC所对的边分别为db,c,VJsinJ-cos/1=,C为锐角.

C

⑴求c；

（2）若c=l,延长力夕至。，使得BD=24B,/BCD=3,求的面积.

6

【答案】（1）C=3

6

2

【分析】（1）利用正弦定理、和角的正弦公式、正弦函数的性质以及辅助角公式化简计算即可求得答案；

（2）在△45c和△8C。中，利用正弦定理推出sinA=2sin（年-⑷，化简求得力=],求出边b,利用三角

形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为瓜iM—cos4=®^,由正弦定理，得

c

VisiivlsinC-cos^sinC=y/3s\nA-s\nB（*）.

又8=冗（A1C）,所以sinA=sin（zHC）=sin/icosCIcos/sinC,

代入（*）,可得Gsirk4sinC=>/JsinJ-sinJcosC.

因为/€（0,冗），所以sin/fwO,

所以JJsinC+cosC=，即sinC+yl=.

k6；2

因为人（呜>所以C+X泮）

所以C+£=f,即C=B..........8分

636

（2）在△48C中，由正弦定理得」4='77=2①

sin4sine

在△BCO中，BD=2C=2,ZBDC=TI-----A=--A,

663

a_BD

由正弦定理，..2TT—~~sinZBCD~

sEin（——A）

由①②可得sinA=2sin（y-J）,展开化简得cos4=0,

因为力«0,兀），所以4=5.

因为c=l,N/C8=m，所以8=一-=>/3.

6tanZ.ACB

所以S=lb。='x1xV5=..........18分

“BC222

A

BC

D

21.（本题18分）如图，某景区有景点48,C,。，经测量得,BC=6km,//BC=12（r,

⑴求景点4。之间的距离；

（2）现计划从景点8处起始建造一条栈道8M,并在"处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景

点，4,。