解三角形【21大常考题型】（解析版）-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

解三角形【21大常考题型】

I题型归纳•内容导航I

题型1余弦定理解三角形：题型12三角形中线问题（重点）

题型2正强兔捶解=扁形..................:南型彳3M鬲舷高的向霞（■点）...........

窗型3定表:泰森兔福线含廨三备舷（■甫厂］逅型彳鬲形鬲分线的间海（重点）......

题型4判断三角舷解而不数（易错点）题型15多=角弦戢西迈舷问题（难点）

感型5录=鬲影外接面平荏麻型彳6解三鬲舷曲范函写最值词函（凝点）

面型6攵笛五花（重点）....................，面型彳7距离胸・问题

题型7倒断三角形形状（重点）.............j题型18高度测量问题

窗型8求三角形周长（常考点5...........................；面迥布隔度谢■间窗....................

题型9求三角形周长的最值（范围）（常考点）题型20解三角形写同■的融合...........

题型而三角形面积公式及应用（常考点5........:藏画21解三角形大题汇编（重菽5..................

题型11源=隔形而射的基值（括画）（童版）…1

［题型通关•靶向提分1

题型一余弦定理解三角形（共4小题）

1.（25-26高一下•广东•月考）在ZU4C中，若48=1,AC=5fBC=3叵，则8=（）

A.30"B.45°C.135°D.150°

【答案】C

【详解】由余弦定理可得8s八笔黑泮二"筮=-孝’故6=3.

2.（25-26高一上•北京东城•期末）在△力台。中，若4=120°,48=5,8c=7,则4c等于

（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】D

【详解】在△4BC中，力=120。，4B=5,RC=7,

由余弦定理可得5c2=432+4C2-24BZCCOS4,

1/67

即72=52+AC2-2X5JCX^-1L整理得JC2+5JC-24=0,

解得/C=3或力。=—8（舍去），故力。=3.

故选：D.

3.（24-25高一下•江苏南通•期中）在△48C中，若（a+"c）（〃-b+c）=比，则8=（）

A.30°B.60°C.1200D.150°

【答案】C

【详解】由题设5+。）2-/=*,贝IJ/+/—〃=一女.，

所以cos8=〃+c'~一"=」,又0v8<180°,可得8=120°.

2ac2

故选：C

4.（25-26高一下・云南曲靖•月考）在△月8c中，角4B,C所对的边分别为。，儿c,且

4

a=3,b=5,sinC=—,则c=.

【答案】4或2万

43

【详解】由sinC=w，f'cosC=±-,由余弦定理/=/+〃-2"c0sC.

*JJ

当cosC=］时，°?=9+25—18=16,c=4,此时三角形为直角三角形；

当cosC=-w时，^=9+25+18=52，。=2，万，此时三角形为钝角三角形.

题型二正弦定理解三角形（共3小题）

5.（25-26高三上♦内蒙古锡林郭勒•期末）在△48C中,设角41C的对边分别为a,b,c,若

b=2>/3,C=—,J=y^-，则c=（）

A.25/2B.3C,3\/2D.2&

【答案】A

■、»i■c兀5兀71

【洋解】==y,

人2石c

由正弦定理可得=，=一£｝即一"故c=2加，

sinBsinCsin—sin-

34

故选：A.

6.（25-26高一下•江苏无锡・月考）在△ABC中，〃=2,c=2G,力=30°,则。=（）

2/67

A.30°B.60°C.120。D.60,或120°

【答案】D

【详解】由正弦定理一^二」^，可得sinC=£-sin4=2^x'=3,

sin力sinCa222

X0<C<I50°,故C=6(r或120°.

7.(25-26高一下•云南曲靖•月考)在ZU8C中,角48c所对的边分别为a,b,c.若

a=2,b=瓜,B=60”,则力=()

A.30°B,45°C.60°D.90°

【答案】B

【详解】由正弦定理/";=3可得〃sin82x与所以<=45。或

sinAsinBsinA--■—=—=—

b762

4=135",

因。〈方，则4<8,故X为锐角，即4=45".

题型三正弦、余弦定理综合解三角形（共3小题）

8.（25-26高三上•山东青岛・期末）记WBC的内角4£C［向对边分别为a也c,4=（,c=JL

〃=3,贝ljsin/1=()

3A/10RM

/A・C

105-T

【答案】A

【详解】由余弦定理，得:

b2=a~+c2-2t/ccos5=32+(V2)2-2x3xV2xcos—,

4

x^-=11-6=5»

=9+2-2x3x72

2

所以b=5/5»

b

再利用正弦定理:

sinAsinB

3V5V52>/5

代入已知值：嬴万一二二1一方一方,

42

整理得：siM=3x半=吗=亚.

2V52V510

故选：A

3/67

9.（25-26高一下,江苏无锡•月考）在△力8c中，若乙4=60'，b=2,其面积为2百，则

a+h+c/、

-----------------------=（）

sinJ+sinB+sinC

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】由题意知，S=-bcsinA=-2-c--=—c=2yf3,所以c=4.

2222

由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA=22+42-2-2-4^=\2,所以4=26.

bca2y/3

由正弦定理得，sinB-sinC-sinJ-一，则a=4sin4,h=4sini?,c=4sinC.

LL7a+b+c4sinJ+4sin8+4sinC

加以---------------=-------------------=4.

sitvl+sinA+sinCsirvl+sinZ?+sinC

10.（25-26高三上•山东枣庄•月考）在△48C中，角力，B,C的对边分别为。，b,c,若

。=26，C=y,sin8=2sin/，则a的值为（）

A.2B.3C.6D.4

【答案】A

【详解】在△/8C中,因为sin8=2sin4,

bb

所以由正弦定埋」■；可得」7

sinAsinBsmA2sinA

因为0<力<兀，所以sin4>0,所以b=24.

将匕=2。及c=2石，C=y代入余弦定理cJa?+从一2加cosC

可得（26y二/+（2a）2—2ax2〃x；,即12=3/,解得/=4,

因为。是三角形的边长，所以。=2.

故选：A

题型四判断三角形解的个数（共4小题）

11.（25・26高三上,河北保定•月考）在△川。中，若AC=瓜,C=jAB=2,则AXBC

4

解的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.不确定

【答案】C

4/67

“，AR巫_2r-

【详解】由正弦定理，得3=乌，所以菊二/，即sin8=±，又AC>AB,

s\nBsine--2

2

所以“哈5弋或去

所以ZUBC解的个数为2.

故选：C.

12.（多选）（24-25高一下•云南曲靖•开学考试）在△力4c中，角A,B,C所对的边分别为

。，h,c,分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（）

A.。=8,Z）=16,A=30°B.Q=25,Z）=30,A=150°

C.a=30,b=40,J=30°D.a=72,/;=30,4=45。

【答案】AD

【详解】由正弦定理可得一三二一々，

sinAsinB

8_16

若A成立，a=8,力=16,J=30°,有工=sinB，

2

.•.sin8=1,.•.8=90。，故三角形48c有唯一解;

25=303

若B成立,。=25,b=30,A=150°,有1sinBt•••sin5=—,又b>a,

25

故8>150。，故三角形为6C无解；

.......旦旦.21

3c成"，。=30,力=40,4=30°,41sin8，・•.sin8=彳>二，又b>a、

232

故30°v5vl50°,故三角形43c有两个解;

72_30

若D成立，a=72,8=30,4=45。，有正一sin8,

V

.•.in5=—由于Bv力=30°,故三角形力月。有唯一解.

S242

故选：AD.

13.（2025高一下•江苏南京•专题练习）在△48C中，已知4c=2,B=g若该三角形有

两个解，则力。的取值范围是.

【答案】（6,2）

【详解】因为三角形有两个解，所以8c•sin8<4C<8C,

5/67

即2xsin工<4C<2,解得百</C<2，

3

故答案为：（6,2）.

14.（25-26高一上•上海宝山・期末）在△48C中，角力、B、C所对的边分别为。、h、c,

已知。=8,8=2,要使该三角形有唯一解，则6的取值范闱为

0

【答案】{4}U[&+oo）

【详解】因为。=8,8=1由正弦定理号二一二

6sinAsinB

得人flsinZ?8sin64，即sin4=上

b——；---——；-----b

sinAsinAsinA

因为4+C二学，要使三角形有唯•解，

O

所以0<d三四或/=四，所以0<sin4二,或sin4一1,

622

414

即0<Y-或==1,解得48或力=4,

b2b

所以6的取值范围为{4}U[8,+oo）

故答案为:{4}U[8,E）.

题型五求外接圆半径（共4小题）

15.（25-26高一上•广东汕头・期末）在△ZBC中，角4丛。的对边分别为a,Ac,若。=2,4=]，

则&ABC外接圆半径为.

【答案】平/Wb

【详解】因为。=2,4=g,

\_al22币

所以△4AC外接/半径为2sinA23

V

故答案为：巫

3

16.（24-25高一下•上海宝山•月考）在△/8C中，=%力=2S△.二6，则其外接圆

的半径为.

【答案】巫4n

33

6/67

【详解】由题意邑襁c=；Asin4=；x2csing=J5,c=2,所以△NBC是等边三角形，则

4=2,

。_2_26

所以其外接圆的半径为“;而7=；"="亍，

2sin—

3

故答案为：空.

3

17.(25・26高三上•河北衡水•期末)在△NBC中，内角内角。所对边分别是。也c,若

6sinB-acosC=ccosJ,且力=3,则△48C外接圆的面积为.

【答案】9兀

【详解】由6sin8-acosC=ccosA且/)=3,可得2Z)sin8-4cosc=ccosJ,

则由正弦定理可得，2sin8sin8-sin/cosC=sinCcosJ,

则2sin^sinB=sinCcosA+sinAcosC=sin(^4+C)=sin(n-^)=sinB,

因为340,兀)，所以sinBwO,则sin5=g,

2R=—^—=—=6

设△48。外接圆半径为/?,则sin51,得R=3,

2

则LABC外接圆的面积为nR~=9几.

故答案为：9兀

18.(25-26高一上•福建度门♦期末)在△力8c中，内角力，B,C的对边分别为“，b,c,

已知4=2百，(siM-sin8)(b+2石)=c(sin8+sinC),则。外接圆的面积为：.

【答案】4冗

【详解】由(sinJ-sinB)仅+2@=c(sin5+sinC),及〃=26，根据正弦定理得

(a-b)(b+a)=c(b+c),辩方—/=一儿，

由余弦定理得cos/="=生=一！,又4c(0,兀)，

2bc2bc2

故siM=Jl-cos?%=-；=乎，

ra26d

设△力8C外接圆的半径为/?,根据正弦定理得sinJ昱

解得R=2,

7/67

贝IJ△48c外接圆的面积为兀*=4H.

故答案为：4兀

题型六边角互化（共5小题）

19.（2025•江西南昌•二模）在“8C中,角48,C的对边分别是。，仇明若

b=3,2acosC+2ccos力=3a,贝IjQ=（）

49

A.2B.3C.-D.-

32

【答案】A

【详解】由余弦定理可得2〃,+2c"+c：-J=3一化简可得26=3。，

因为b=3,所以。=2.

故选：A

20.（多选）（2026高一下•全国•专题练习）在A/iZ?。中，内角4,B,。的对边分别为b,

C,若=2bsin/,则8=（）

冗一兀一5兀3n

A.-B.-C.—D.—

6464

【答案】BD

【详解】由已知条件及正弦定理得&sin4=2sin/sin8,

乂在三角形中sin力工0,sin8=立.

2

乂0<8〈兀，..8=£或8=也.

44

故选：BD.

21.（25-26高一上•广东深圳•期末）在△/!〃。中，角力，B,2的对边分别为a,b,c,若

S“8c=¥，2qsin（8+^）=gc,2sinB=3sinC,则"的值为（）

A.7R.3C.V3>J7

【答案】D

【详解】在中，因为2sin8=3sinC,所以由正弦定理得2b=3c,

由2asin（8+W）=岳及正弦定理得

sin/l（sin8+百cosB）=VJsinC=币）sin（J+8）=G（sinAcosB+cosAsinB）,

UPsinJsinZ?—xf5cosAsinB»因为8G（0,兀），所以sin〃w0,所以tan片—J5,

8/67

又/£（0,九），所以力=三，所以S核」晨m月=立22=亚，得c=2,则方=3,

3aABC2422

所以由余弦定理可得a2=/+c2—2〃ccos4=9+4-6=7，所以a=77.

故选：D

22.（25-26高一下•全国•课后作业）已知△48。中，内角4B,。所对的边分别为a,b,

c,且c?—/=",C=3,则吗的值为

3sinR

【答案】2

【详解】由余弦定理°2=02+从—2“bcosC,nc2-b2=a2-2abcos^=a2-ab.

S^Jc2-b2=ab»所以。2-。6=而，化简得”=2Z>.

由正弦定理，得当=?=2.

sinBb

故答案为：2.

23.（2026高一下•全国•专题练习）在ZUA。中，a,b,c分别是角4B,。的对边，且

acosB+--h=c>则月=.

2---------------------

【答案】£/30。

6

【详解】因为acos8+立5=c,所以由正弦定理得sin/kos8+且sin8=sinC.

22

因为sinC=sin［兀一（8+J；］=sin（<+8）=sin/cos4+cosNsin4,

所以立sin8=cosJsinB.

2

因为sinAwO,所以cos4=巫.

2

因为Ae（O,兀），所以j=2，

6

故答案为：

6

题型七判断三角形形状（共5小题）

24.（24-25高一下•江苏南京•期中）在济。中,其内角A,B,C的对边分别为。，b,

^acosB-bcosA=c,则△N8C的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

9/67

【详解】因为4cos4—〃COS/=C,由余弦定理知,

2ac2bc

整理得/=/+〃，

即△力8C的形状是直角三角形.

故选：B.

25.（25-26高一下•上海普陀•月考）己知△月6C的内角小B,C所对的边分别为mb,c,

若c=2bcos4,则△48C的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【详解】因为c=2bcos/,由正弦定理可得sinC=2sin8cos4,

则sin（彳+3）=2sin5cos4,即sin力cos8+cos4sin8=2sin8cos4,

所以sinAcosB-cos4sin8=0,即sin（J-8）=0,

又因为45«0,兀）,4-5e（F,冗）,则力一8=0,即4=B,

所以△力8c是等腰三角形，

26.（24-25高一下•江苏盐城•期中）在△N8C中,角A、B、C所对边分别为〃、b、c.若

2

2sin4=—,则该三角形一定是（）

2a

A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【详解】由2sin2O="cos8=^^,则COS8=1-0=£,

2aaa

所以“一+‘一”=£,可得/=〃+/,不能确定b是否成立，

2aca

所以△46C一定是直角三角形.

故选：B

27.（24-25高一下•北京朝阳•期中）在△48C,若acos8=bcos下且。=bsinC,则△”C

的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】C

【详解】因为acosA="os/l,由」E弦定埋可得sin月cos4=cos力sin",则tan4=tanA,

10/67

A=B.所以4=6,

又因为q=8sinC,所以sinC=l,

XCe（O,n）,可得。=5,故MBC的形状是等腰直角三角形.

故选：C

28.（多选）（25-26高一下•江苏无锡•月考）A43C的内角:4伉（所对边分别为a,b,c,下

列说法中正确的是（）

A.若sirb4>sin8,则力>8

B.若sin24=sin28,则△48C是等腰三角形

C.若/+/一1>0,则△/8C是锐角三角形

D.若，：=—4二一=，则△力8c是等腰直角三帝形

sinJcosBcosC

【答案】AD

【详解】对于A,因为在中，由正弦定理可得sin/>sin8等价于又因三角形中

大边对大角，故。>6等价于4,选项A正确；

对于B,因为sin24=sin28,所以24=28或24+28=7,即/=8或/+△=色，△48C是

2

等腰三角形或直角三角形，选项B错误；

对于C,由/+〃-d>0可以确定NC是锐角，但不能确定N8和的大小，所以不能判

断△,MC是锐角三角形，选项C错误；

对于D,由正弦定理==结合条件~^7=一,

smJsin8sinCsinJcosBcosC

得—，，=」，

sinBcos8sinCcosC

0,cwO,「.sin8=cos4,sinC=cosC,又。<B<TI,0<C<TC,

所以5=C=W，A=n-B-C=^,所以△力6。是等腰直角三角形，选项D正确.

题型八求三角形周长（共4小题）

29.（25-26高三上•辽宁•期中）设△48C的内角力，B,C所对的边分别为。，b,*若

C=y,ab=6,c=J7,则△/AC的周长为.

【答案】5+V7

【详解】因为必=6,c=g,C=p

11/67

由余弦定理/+〃—2abcosC=6,彳了+6~—2x6x,=7,即/+〃=13,

故（a+力『=a2+b2+2ab=\3+\2=25,解得a+/?=5,

故△力^。的周长为5+J7.

故答案为：5+币

30.（25-26高一下•山西临汾•开学考成）在△/15C中，边”,〃山分别为角儿6,。的对边，满

足4=§b+c=2a,"BC的面积为2G，则LABC的周长为.

【答案】6&

【详解】S=-bcs\nA=-bcs\n-=2y/3,则〃。=8,

223

,b2+c2-a2（/>+e）2-2bc-a-4/-2x8-M1

cosA=----------=---------------=-------------=-,

2bc2bc2x82

化简得/=8,解得4=2应（负值舍去），

则△ABC的周长为〃+力+c=3q=3x25/2=65/2.

31.（25-26高一下•山西临汾•开学考试）在中，边”也c分别为角4民。的对边，满

足力=方力+。=2a,。的面积为2石，则'ABC的周长为.

【答案】6立

【详解】5=-Z,csin/i=-bcsin-=273,则bc=8,

223

b°+C?_q2+-2bc-a2_4/-2x8-/_1

COS/I=

2bc-2bc-2^8~2

化简得〃2=8,解得a=2应（负值舍去），

则△力8c的周长为a+b+c=3a=3x2VI=6VL

32.（2026•黑龙江哈尔滨模拟预测）在△48C中，角4,B,。的对边分别为a,b,c,若

s6

a+3c=3bcosA,且△力AC的面积为^——.

2

⑴求cos8的值；

（2）若加inC=2及,求ZU8C的周长.

【答案】（l）cos8=—（；（2）10

【详解】（1）由a+3c=3bcos4,正弦定理可得sinN+3sinC=3sin3cos4,

12/67

sin力+3sin（4+8）=3sinBcosA,sinA+3（sinAcosB+CQSAsinB）=3sinBcosA,

sinJ+3sinAcos8=0,

因为/e（0,7t）,所以sin/l>0,两边同时除以sin力得l+3cos8=0,

解得cos8=-；.

r-

（2）由8G（0,兀），cos8=-2，得sinB=Jl—cos?B=.

33

因为S&ABC=3a6sinC=且bsinC=2^2，所以°=g.

再由Sj8c=Lacsin8,得也=lx*xcx述，即c=3.

22223

由余弦定理：Z?2=f-1+32-2x-x3xf—Ll=—+9+5=—,得8=

UJ2{3）442

5Q

因此△力8c的周长为a+6+0=5+5+3=10.

题型九求三角形周长的最值（范围）（共4小题）

33.（2023•陕西西安一模）在△力8c中，内角力，B,C所对的边分别为。，b,J且满

足。+2bcos/-2c=0,若b=2jj,则△力8c周长的取值范围为.

【答案】（46,66]

2c—a

【详解】因为。+26cos/-2c=0,所以cos/l=-----,

2b

在。中，由余弦定理可得cos4="二-<,

2bc

所以主二£二价+'二一",整理可得/+“2_〃=",

2b2bc

所以cos8H二J）,因为8e（0,江所以8=三.

2ac23

由正弦定理得一~7=^^='7=4,所以。=45出/，仁=4$亩。，

sinAsmcsinB

所以△力AC的周l<：a+c+/>=4sinJ+4sinC+2A/3=4sin4+4sin（4+]）+2百

=6sin4+26cos4+2>/j=4A/5sin'/+2）+26,

因为（）<力<§,则+所以:<sin（4+gkl,

3666216J

所以4石<a+b+cW6石，即△Z8C周长的取值范围为卜6,66].

故答案为：（46,6石].

13/67

34.（25-26iSj一下•广西贵港•月考）348c中,sin2J-sin25-sin2C=sin^sinC.

⑴求4

（2）若。=3,求△/AC周长的最大值；

（3）若4=3,求△ABC面积的最大值.

【答案】（1）力=§；（2）3+26;（3）地

【详解】（1）由正弦定理可得：a2-b2-c2=bc，

2bc2

•.•4c（0,兀），A=^-.

（2）［方法一］：由余弦定理得：a2=h2+c2-2h-ccosA=/?2+c2+/）'（?=9»

即（b+cf-8•c=9「.f.cW（21£）（当且仅当6=c时取等号），

.•.9=（8+c）2-6・c2（b+c）2-（等）=、（b+c）2,

解得：Hc<2j5（当且仅当方二c时取等号），

.•・△力4。周长乙=a+b+c43+2G，.・・△/4C周长的最大值为3+2J5.

［方法二］:

设6=¥+a,C=£-a,则根据正弦定理可知—1=3=_1=26,

6666sinAsinBsinC

所以>+c=2\/J（sin8+sinC）=sin~~+a+sin^-aj=2\/Jcosa42上，

当且仅当a=0,即B=C=?时，等号成立.

此时△力8C周长的最大值为3+2百.

（3）由余弦定理得:a2=b2+c2-2b'CC0sA=b2+c2+b-c^2bc+bc=3bc,

即b（当且仅当b=c时取等号）,

••・S"*.=」Asin/l«Lx3xE=逑（当且仅当6=c1时取等号），

枚时2224

.•・△力8。面积的最大值为迈.

4

35.（24-25高一下•内蒙古锡林郭勒♦期中）锐角三角形ZVIBC的内角48,C的对边分别为

a,b、c,已知2cos4（ccos8+bcosC）=a.

14/67

⑴求彳;

(2)若。=3,求△力4c的周长的取值范围.

【答案】(l)g；(2)(3百+3,9]

【详解】(1)因为2cos4ccos8+6cosC)=a,

由正弦定理得28s/(sinCcosB+sinBcosC)=sinJ,

又囚为6+C=JT-4,所以sinCeos〃+sin4cosc-sin(Z?+C)-sinA,

所以2cosAsinA=sinA,

因为△48c为锐角三角形，可得/w(O,g,所以sin力>0,

所以cos4=g,可得力=：.

a=b=c二3.2万

(2)由正弦定理可得sin/sinBsinC5/3,

所以6=2VJsin4,c=2VJsinC,

则b+c=2V5(sinB+sinC)=2>/3[sinB+sin(--B)]=2>/3[sinB+(—cos^+-sin8)]

322

=273-(-^sini?+^y-cosj?)=6sin(i?+-^),

0<B<三

因为△⑷?C为锐角三角形，可得02,解得

八27c门冗62

0<-------B<—

32

可得8+：e(m，W),所以sin(S+B)e(1,1],则6sin(8+g)£(3石,6],

即6+cw(3百6],所以ZUBC的周氏a+6+c£(36+3.9]，

所以的周K：的取值范国为凸百+19]

36.(2026•浙江•模拟预测)已知15C的外接圆半径为2,A68C的内角/,B,C的对边分

别为a,6,c,且a<ccos8.

(1)试判断"BC的形状;

(2)若acos8+/)cos4=26,求A/IAC周长的最大值.

【答案】⑴钝角三角形；(2)4+2。

15/67

2,2

【详解】（1）因为〃<ccos8,由余弦定理得a<cx"+J一匕,即。2+从一。2<0

lac

故心也C<o,所以cosC<0,故C为钝角，

2ab

所以△/BC为钝角三角形.

另解：因为acccosB,由正弦定理得sin4<sinCcosB,

因为力+8+C=?i,q］以sin力=sin^7i-（i5+C）J=sin（Z?4-C）<sinCcosB,

即sin8cosc+cos8sinC<sinCeos5,即sin8cosc<0,

因为0<8<兀，所以sin8>0，

所以cosC<0,故以为钝角,

所以△力AC为钝角三角形.

（2）△力8c的外接圆半径为??.

由题…6+儿54=26由正弦定理言?=岛=关=2氏=4,

得4sin4cos8+4sinBcosA=2后即

sin(4+=sinC=T

由（1）知。为钝角，所以。二丁.

又

4fsinJ+—cos?l--sin/l(力+亚

=4,sincos/•\j冗

a+h=4sinJ+4sin=4sinJ+sin——A4AsinA+—

u)2222I37

因为。<公，所以十华号

所以当力+工=E，即/=N时，sin4+g取得最大值l，4sin4+：取得最大值4,即a+b

326

的最大值为4.

Xc=2/?sinC=4x—=273.

2

所以△力8c的周长。+/）+。的最大值为4+2\/L

题型十三角形的面积公式及应用（共5小题）

37.（25-26高三下•安徽•月考）在△48。中，内角4民C的对边分别为a*,c,若

222

be=6tb+c—a=8>/2,则△44。的面积为（）

A.1B.yplC.2D.2yfl

16/67

【答案】A

【详解】由余弦定理得cos/=逑,Msir.J=Vl-cosrj=l

2bc33

板'ABC的面积为S=9csin4=；x6x：=L

38.（25-26高三上•山西晋中•期末）在ZU8C中，角4,8,C的对边分别为。，b,c,若

〃=4,b=5,c=l,则ZU4C的面积为（）

A.476B.276C.4D.8

【答案】A

【详解】由。=4,力=5,。=7,由余弦定理得8§（7=察了=竺号j=

2ab2x4x55

又因为0＜。＜冗，所以sinC=J1—COS?C=J—J?=平,

所以S=—absinC=—x4x5x=4A/6.

“K225

故选：A

39.（25-26高一上•浙江湖州•期末）在△/出C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若

4=28,c=2b=2,则△/也。的面积为（）

A,&B.1C.*D,

【答案】C

【详解】因为4=25,所以sin力=sin28=2sinBcosB,

由正弦定理得。=2。cos8,

又c=2/>=2,则〃=1,所以8$4=三=£,

2b2

由余弦定理得cosB=9+c*忙=4+4二1=-

lac4a2

整理得/=3,解得4=6或（舍），

所以/+/=°2,即角。=£,

2

所以△力8c的面积S=—xaxb=—x＞/3x1=

222

故选：C

40.（多选）（2026•陕西咸阳•一模）在△力4c中，角力，B,C所对的边分别为〃，h,c,

已知Q=2,c=—,4=120。，则（）

3

17/67

A,272

A.b=------B.C=30°

3

D.△/灰：的面积为立

C.△川。的周长为2+百

3

【答案】BD

【详解】因为。=2,c=空,4=120。，所以C<90。

3

26

由正弦定理可得：一J二—2,即义二一三,

sinAsinC。3sine

则sinC=；,得C=30。，则8=30。，

所以6=c=殛，

3

所以△力8c的周长。+力+c=2+坟，

3

所以△/8C的面枳为L^csin力=—x^^-x^^-x—=—z

223323

由上可知AC错误，BD正确,

故选：BD

41.（25-26高一下・云南曲靖•月考）在△"C中，角4£。所对的边分别为ahc，且满足

acosC+V3asinC-/>-c=0.

⑴求角力的大小：

（2）若4=2,△ABC的面积为石，求儿c的值.

【答案】（1）力