2026年广东省河源市中考数学一模试卷

2026年广东省河源市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.）

1.（3分）2026的相反数是（）

A.-2026B.2026

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形,

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（3ab2）2=6a2b”B.(a+b)2=G2+lr

C.a3+a2=a5D.2ab-ab=ab

4.（3分）不等式x+3>0的解集是（

A.x>3B.x>-3C.x<3D.x<-3

5.（3分）小亮在处理一组数据“23,23,35,44,■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数

据在40〜45之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

6.（3分）如图,已知△A8C丝AOEC,ZD=65°,NACB=75°,则NE的度数为（)

A.40°B.45°C.75°D.65°

7.（3分）如图,平行四边形ABCD的对角线AC.BQ交于点。，下列结论错误的是（)

BC

A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.OB=OD

8.（3分）如图，ZkABC是。。的内接三角形，若/A=58°,则/08。的度数为（）

9.（3分）如图，小明的爸爸用一段长20〃？的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为\2m）的矩形鸭舍,

并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1机的门（由其他材料制成）.已知矩形的宽。。为x米，当矩形

10.（3分）将一组数迎，2,瓜,2vLVTo,2g,…，岳，…按如下方式进行排列：则第九行左起

第3个数是（）

第一行鱼

第二行2,V6

第三行2VLV10,2V3

•♦•

A.6V2B.7^2C.V74D.V78

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11.（3分）因式分解：4-?=.

12.（3分）如图，OC平分NAOB,点尸在OC上，PDLOB,~。=5,则点P到。4的距离是.

13.（3分）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的

字是.

14.（3分）河源国家5A级旅游景区万绿湖，拥有丰富的旅游资源，核心景点包括水月湾、龙凤岛、镜花

缘等.小明和小花两人相约来到河源旅游，两人分别从水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点中随机选择一

个景点游览，小明和小花两人同时选择水月湾的概率为.

15.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在8C的右侧作8尸〃AC,且BF

=AE,连接CK若4c=13,8c=10,则四边形EBR7的面积为.

三、解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（9分）计算：一12。26一|一2|十（/）2一（兀一3）。+（｝-1.

17.（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数），1=心+6晨W0）的图象与反比例函数”=弓（。

W0）的图象交于A，8两点，已知点4（1,4）,点8的横坐标为-2.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）如果。点坐标为（3,0）,求△ABO的面积：

（3）根据函数图象，直接写出不等式），1W”的解集.

18,（9分）为充分利用网络资源.某校计划为学生提供多种在线学习方式，为了解学生需求，该校随机对

本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下：

调1.了解学生最感兴趣的在线学习方式:

查2.帮助学校更好地了解学生需求，提高学习热情.

目

的

调查对象部分学生

方

式

调你对哪类在线学习方式最感兴趣？

查A.在线阅读B.在线听课C.在线答疑D.在线讨论E.其他类型

内

容

学生最感兴趣在线学习方式扇形统计图

建

议

请结合以上信息回答下列问题：

（1）本次调查方式属于调查（填“普查”或“抽样”）；

（2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图：

（3）若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢在线答疑的有多少名学生？

（4）请你根据调查报告给学校线上学习课的设置提出一条合理的建议.

19.（9分）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程.

例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30

米，求甲队每天修路的长度.

700_1000

可可:

xx+30

1000700

琪琪:~~~=30.

根据以上信息，解答下列问题.

（1）可可同学所列方程中的x表示；琪琪同学所列方程中的y表

示;

（2）在可可•和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关

系：;

（3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题.

20.（9分）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动.他

们选择测量一座砖塔相的高度，在点。处测得砖塔顶端A的仰角为45°,再从C点出发沿斜坡走24Um

到达斜坡上的。点，在点。处测得砖塔顶端4的仰角为30°.若斜坡CF的坡比i=1：3,且点B,C,

E在同一水平线上.

（1）求点。到水平线8E的距离；

（2）求转塔的高度（结果保留根号）.

21.（9分）已知宽与长的比是一^（约为0.618）的矩形叫黄金矩形.黄金矩形作为一种美学比例，无论

是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美

感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律.某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得

到黄金矩形进行了探索.实验操作：

第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；

第二步：如图2,把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；

第三步：折出内侧矩形的对角线。R并把折到图3中内V处：

第四步：如图4,展开纸片，按照所得的点N折出NP,得到矩形COPN.

问题解决：

（1）求证：矩形COPN是黄金矩形；

(2)在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金

矩形CDPN”.请你根据嘉嘉的想法作出图形(保留作图痕迹，不写作法);

拓展延伸:

淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形,但她说不出理由，请你帮她找出来并证明.

图1图2

22.(9分)如图①，在圆内接四边形A8CO中,点E是四边形A8CO中对角线8。上的一点，且满足N

BAE+NBCE=90：分别延长CE交于点M,N,连接MN.

备用图

(1)求证：MN是。。的直径.

(2)如图②，若N8CE=60°,ZBAE=30°，BC=CE,AE=4,AB=3.求AC的长.

(3)在。。内是否存在其他点G,使NZMG+N3CG=90°若存在，请给出证明：若不存在，请说明

理由.

23.(12分)在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作.若机器人从点A

(xi,yi)移动到点8V)满足1y2-y1=机(X2-xi)(加是常数，且〃讳0),则称点A,3是“机

一共倾移动点对”.

(1)已知点A,B在反比例函数y二|图象上，其中点A的坐标为(I,2),若点4,B是“1一共倾移

动点对”，则点B的坐标是.

(2)若机器人从直线)，=履+3与曲线y=£(mw0)的交点A移动到交点8,若A和8是“1一共倾移

动点对”.且

①求m的取值范围；

②若A8=\[2,求m的值.

(3)已知智能图形绘制器绘制的抛物线(«>0)过点A(0,-3),点O(1,5)是抛物

线对称轴上一点，且-3VsV0,点C为平面内一点，点8为抛物线上的动点.若四边形A8CQ为正方

1

形，则正方形A8C。的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是一共倾移动点对“？若存在，请求M

4

。的值；若不存在，请说明理由.

2026年广东省河源市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.）

1.（3分）2026的相反数是（）

11

A.-2026B.2026C.-------D.

20262026

【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.

【解答】解：2026的相反数是・2026.

故选：A.

【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键.

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.B.

」.二

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一分析各选项即可.

【解答】解：4、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

3、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

。、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选:B.

【点评】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的概念是关键.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（3〃序）2=6//B.（a+b）2=a1+h2

C.D.2cib-ab=ab

【分析】根据积的乘方法则，完全平方公式，合并同类项法则，逐一判断选项即可.

【解答】解:选项A,（3苏）2=32*a2*（/?2）2=9a%w6a2忒

.♦.A错误，不符合题意；

选项8,（a+/?）2=cr+2（ib+h2^=cr+b2,

・・・B错误，不符合题意；

选项C,/和/不是同类项，不能合并，

・・・C错误，不符合题意；

选项/）,2ab-ab=（2-1）ab=ab>

•••。正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了转的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握以上知设点是关键.

4.（3分）不等式x+3>0的解集是（）

A.x>3B.x>-3C.x<3D.x<-3

【分析】根据解一元一次不等式的解法移项即可求解.

【解答】解：根据解一元一次不等式的解法可知：

x+3>0,

移项得x>-3.

故选：B.

【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握以上知识点是关键.

5.（3分）小亮在处理一组数据”23,23,35,44,■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数

据在40〜45之间，则“■”在范围内无论为何俏都不影响这组数据的（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的概念，各统计量的定义，判断哪个统计量不随未知数据的

变化改变即可.

【解答】解：根据平均数、众数、中位数、方差的概念判断哪个统计量不随未知数据的变叱改变如下：

设被污染的数据为■由题意得40VXV45,这组数据共5个数，将数据从小到大排列后，中位数是排

列后的第3个数，

•・”>35,无论x在40〜45之间取何值，从小到大排序后，前两个数恒为23,23,第三个数恒为35,

・••中位数始终为35,不发生变化；平均数和方差会随x的变化改变，

若x=44,众数变为23和44,众数也会改变，

因此无论x在范围内取何值，都不影响这组数据的中位数.

故选：C.

【点评】本题考查了方差，熟练掌握该知识点是关键.

6.（3分）如图，已知△ABCgZkOEC,ZD=65°,ZACB=75°,则NE的度数为（）

A.40°B.45°C.75°D.65°

【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可.

【解答】解：,：△ABC在ADEC,/ACB=75°,

；・/DCE=NACB=75°（全等三角形对应角相等）.

在△OCE中，ZE=I8O°-ZDCE-ZD=180°-75°-65°=40°,

故选：A.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握.

7.（3分）如图，平行四边形A4C。的对角线AC'、4。交于点（九下列结论错误的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.OB=OD

【分析】由平行四边形的性质即可得出结论.

【解答】解：•・•四边形ABC3是平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,OB=OD,OA=OCf

故选项4、B、。不符合题意，选项C符合题意，

故选：C.

【点评】本题考第了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键.

8.（3分）如图，/XABC是。0的内接三角形，若N4=58°,则NO8C的度数为（）

【分析】连接0C,根据圆周角定理求出/BOC的度数，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解

即可.

【解答】解：连接OC,

VZA=58°,

・・・N8OC=2/A=116°,

*：OB=OC,

・•・ZOBC=ZOCB=18。。丁。。=32°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、瓠、弦的关系，圆周角定理，掌握其相关知

识点是解题的关键.

9.（3分）如图，小明的爸爸用一段长20/H的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12〃?）的矩形鸭舍,

并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1〃?的门（由其他材料制成）.已知矩形的宽。。为x米，当矩形

面积S最大时，则矩形的长3。为（）

B------------------------------C

A.9.5mB.10/7iC.10.5/〃D.1\m

【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为（20・2x+l）加.根据矩

形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可.

【解答】解：小明的爸爸用一段长20机的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12〃力的矩形鸭舍，

设矩形场地垂直于墙一边长为“〃，

S=x（20-2x+l）

=-2A2+2lx

=-2（x-5.25）2+55.125,

•・•・2<0,

・•・抛物线开口向下，

・••当x=5.25时，S最人,

此时BC=20-2X5.25+1=10.5m.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关健.

10.（3分）将一组数V5,2,瓜,2a,VTU,2显，…,质，…按如下方式进行排列：则第九行左起

第3个数是（）

第一行或

第二行2,V6

第三行2VLV10,2V3

•••

A.6V2B.7V2C.V74D.V78

【分析】先整理得到原数列的统一规律，再根据排列规则确定所求数是原数列的第几项，代入规律计算

即可.

【解答】解：由条件可得原数列第〃个数为亚，〃为正整数，

观察排列规律可得：第k行有％个数，

•••前8行的数的总个数为1+2+3+…+8=。+皆8=36,

，第九行左起第3个数是原数列的第36+3=39个数，

将〃=39代入规律得：VTx39=V78.

故选：D.

【点评】本题考查了算术平方根.数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11.（3分）因式分解：4--=（2-x）解+x）.

【分析】将原式利用平方差公式进行因式分解.

【解答】解：4-^=22-（2-x）（2+x）.

故答案为：（2-x）（2+x）.

【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，掌握因式分解为方法是关键.

12.（3分）如图，OC平分NAOB,点P在OC上，PDLOB,PD=5,则点。到CM的距离是.

A

【分析】作PMLQ4,垂足为M,然后根据角平分线的性质定理解答即可.

【解答】解：如图，作尸垂足为M,

平分/40B,点P在。C上，PDLOB,PD=5,

：.PD=PM=5（角平分线的性质），

・••点P到射线0A的距离是5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握.

13.（3分）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的

【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可.

【解答】解：根据题意可知,“中”与“们”是对面.

故答案为:们.

【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的空间结构特点是关键.

14.（3分）河源国家5A级旅游景区万绿湖，拥有丰富的旅游资源，核心景点包括水月湾、龙凤岛、镜花

缘等.小明和小花两人相约来到河源旅游，两人分别从水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点中随机选择一

个景点游览，小明和小花两人同时选择水月湾的概率为二一.

【分析】先列出所有等可能的结果，确定两人同时选择水月湾的结果数，再根据概率公式计算即可.

【解答】解：用A、B、。分别表示水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点，

树状图如下,

开始

由上可得，一共有9种等可能性，其中小明和小花两人同时选择A景点的可能性有1种，

1

・•・小明和小花两人同时选择水月湾的概率为

9

1

故答案为：

9

【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图.

15.（3分）如图，在△A8C中，A8=AC,£是边A8上一点，连接CE,在8C的右侧作8尸〃AC,且BF

=AEf连接C/'.若AC'=13,4C=10,则四边形EBFC的面积为60.

【分析】将四边形EBFC的面积转化为&C8F+S^CM,然后进行求解.

【解答】解：，：AB=AC,

・•・NABC=/ACB,

，：BF〃AC,

JNACB=NCBF,

：.NABC=NCBF,

平分NAB汽

过点C作CM_LA-CNLBF,

'­ShACE=\AE-CM,SACBF=%FCN，且BF=AE，

工SKBF=S&ACE,

，四边形EBFC的面积uSACM+SaCBEnSziACE+SaeEuSaCfi/b

VAC=13,

・"A=13,

设4M=x,则8M=13-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,

.\132-X2=I02-（13-X）2,

解得：%=皆，

・M17^2―J19、2120

・・CM=J132—（行）2=方，

・"△CB/I=•CM=60»

，四边形EBFC的面积为60,

故答案为：60.

1

解法二：过点A作AHJLBC,可得人"=12,得出Sf8c=5x10x12=60.

乙

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握勾段定理是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（9分）计算：—12026_|_2|+（a）2_5—3）。+（》-].

【分析】根据实数的运算法则计算即可.

【解答】解：一12。26-1-21-t-（V2）2-（71-3）°+（I）-1

=-1-2+2-1+2

=0.

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键.

17.（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数户=心+8（%会0）的图象与反比例函数），2=三（。

W0）的图象交于4,3两点，已知点A（1,4）,点3的横坐标为-2.

（I）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）如果。点坐标为（3,0）,求△AB。的面积；

（3）根据函数图象，直接写出不等式），iW”的解集.

【分析】（1）将点A代入反比例函数中，可求出〃的值，然后把x=-2代入，即可求出B点坐标，然

后根据A点和8点，即可求出一次函数的解析式；

（2）设直线A3与x轴交点为C,先求出。点坐标，再根据S»8D=SWO+SMG，计算求解即可：

（3）由图象知，一次函数图象不高于反比例函数的图象部分所对应的自变量的范闱即为所求.

【解答】解：⑴由条件可得4号，解得。=%

•・・反比例函数的解析式为乃=%

将x=-2代入=［得yi=~2,

工点B坐标为（・2,-2）,

将A（l,4）,8（-2,-2）代入户=履+匕得，［=

*1-2=-2k+b

解得｛图，

・•・一次函数解析式为户=2什2；

（2）如图，设直线A8与％轴交点为C,

将1y=0代入yi=2.r+2得x=-1,

，直线A8与x轴交点C的坐标为(・1,0),

由条件可知CD=3-(-1)=4,

:,SAABD=S&ACDTS&BCD=^CD-yA+^CD-\yB\=1x4x4+1x4x2=12；

(3)由图象可得xW-2或04W1时，yiWyz.

【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上

点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键.

18.(9分)为充分利用网络资源，某校计划为学生提供多种在线学习方式，为了解学生需求，该校随机对

本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下：

调1.了解学生最感兴趣的在线学习方式；

12.帮助学校更好地了解学生需求，提高学习热情.

目

的

调一调查对象部分学生

查

方

式

调你对哪类在线学习方式最感兴趣？

查A.在线阅读B.在线听课C.在线答疑D.在线讨论E.其他类型

内

容

学生最感兴趣在线学习方式扇形统计图

建

议

请结合以上信息回答下列问题：

（1）本次调查方式属于抽样调查（填“普查”或“抽样”）；

（2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图；

（3）若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢在线答疑的有多少名学生？

（4）请你根据调杳报告给学校线上学习课的设置提出一条合理的建议.

【分析】（1）根据调查对象为“部分学生”，判断调查方式为抽样调查：

（2）用已知的£类人数和占比求出总人数，再依次算出4、。类人数，补全条形统计图；

（3）用样本中选择在线答疑的学生人数占比，乘以全校总人数，估计出该校喜欢在线答疑的学生人数;

（4）根据调查数据中最受欢迎的学习方式，提出合理的课程设置建议.

【解答】解：（1）调查方式为抽样调查.

故答案为：抽样，

（2）对E类学习方式感兴趣的人数为60,占比15%,

60

故被调查的总人数为二二=400（人），

对A类学习方式感兴趣的人数为400X25%=100（人），

则对D类学习方式感兴趣的人数为400-100-72-80-60=88（人），

故该校喜欢在线答疑的学生人数为1600x赢=320（名）.

（4）根据调查数据可知，在所有在线学习方式中，学生对在线阅读最感兴趣，故该校应该设置在线阅

读课程.

【点评】本题考查了条形统计图、用样本估算整体，熟练掌握以上知识点是关键.

19.（9分）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程.

例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30

米，求甲队每天修路的长度.

7001000

可可:

xX+30'

700

琪琪：—■—=30.

yy

根据以上信息，解答下列问题.

（1）可可同学所列方程中的口表示甲队每天修路的长度：琪琪同学所列方程中的V表示甲队修

路700米所用时间

（2）在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：甲队修路700米

与乙队修路1000米所用时间相等

（3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题.

【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可解答;

（2）根据所列方程，结合题意即可解答;

（3）解分式方程即可.

【解答】解：（I）由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程

中的），表示甲队修路700米所用时间.

故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间;

（2）选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等;

故答案为：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等;

7001000

⑶选择可可的方程?=有,

去分母得700("30)=1000?:,

去括号得700.V+21(X)0=lOOO.r,

移项、合并同类项得30aL21（X）0,

系数化为I得x=70,

经检验，x=70是原方程的解.

答：甲队每天修路70米.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键.

20.（9分）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动.他

们选择测量•座砖塔A8的高度，在点C处测得砖塔顶端A的叩角为45°,再从C1点出发沿斜坡走

到达斜坡上的。点，在点。处测得砖塔顶端A的仰角为30°.若斜坡。尸的坡比i=l：3,且点B,C,

E在同一水平线上.

(1)求点。到水平线4E的距离：

(2)求砖塔AB的高度(结果保留根号).

【分析】(1)作。GJ_8E于G,则NQGC=90°,根据斜坡Cr的坡比i=1：3,CD=2/lOm,结合

勾股定理求出GD的长即可得解；

(2)作。”_LA8于，，则四边形QG8H为矩形，设AB=)5，则BC=A8=.vm，则BG=(6+y)m,

AH=(_y-2)m,根据tan4DH=符求解即可得出答案.

【解答】解：(1)如图1,作OG_LBE于G,则NQGC=90'，

*GD1

••,

CG3

设GD=xm,则CG=3.D〃，

由题意得：CD=CD2=GD2+CG2,

：.x2+(3x)2=(2V10),

解得：x=2,

GD—2〃?，

・••点D到水平线BE的距离为2/n：

(2)如图2,作DHA-ABH,

A

断

，四边形DGBH为矩形，

工DH=BG,BH=GD,

设AB=ym,则BC=AB=ym,

：.BG=BC+CG=(6+y)m,AH=AB-BH=(>'-2)m,

J.tanZADH

.y-2V3

••—，

6+y3

解得：y=(6+4V3),

：,AB=(6+4V3)m,

•,・砖塔AB的高度为(6+4V3)m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键.

\[s—1

21.(9分)已知宽与长的比是二一(约为0.618)的矩形叫黄金矩形.黄金矩形作为一种美学比例，无论

是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美

感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律.某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得

到黄金矩形进行了探索.实验操作：

第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；

第二步：如图2,把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；

第三步：折出内侧矩形的对角线。R并把。尸折到图3中QV处；

第四步：如图4,展开纸片，按照所得的点N折出NP,得到矩形COPN.

问题解决：

(1)求证：矩形CQPN是黄金矩形；

(2)在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：”也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金

矩形CQPN”.请你根据嘉嘉的想法作出图形(保留作图痕迹，不写作法)；

拓展延伸：

淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明.

FCN

图1图2图4

【分析】（1）由操作过程可知CD=BC=2CR设。产=匕则8=2匕求出。F,根据折叠的性质得到

CN

CM求出加即可得证;

（2）根据题意画出图形;

拓展延伸：由问题解决（1）可得A8=8C=CO=2匕CN=（近一l）k,求HlBN,进而求出一，即可

BN

解答.

【解答】（I）证明：由折叠可知CO=8C=2CF,

设。尸=鼠MCD=2k,

：.DF=岳k,

由题意知FN=DF=炳k,

:,CN=F/V-CF=(V5-l)k,

.CNV5-1

••——9

CD2k2

・••矩形CQPN是黄金矩形.

拓展延伸：解：矩形ABNP也是黄金矩形，

证明：由问题解决（1）可得八B=8C=CO=2匕CN=（甚-l）k,

：,BN=BC+CN=2k+（V5-1;k=（V5+1）k,

•丝_2k_遥-1

BN-（V5+l）fc.2，

/.矩形ABNP也是黄金矩形.

【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查黄金矩形的定义，折叠的性质，掌握黄金矩形的定义,

折叠的性质是解题的关键.

22.（9分）如图①，在圆内接四边形A8c。中，点七是四边形A3CQ中对角线8。上的一点，且满足N

BAE+NBCE=90°,分别延长AE,CE交于点M,N,连接

（1）求证：MN是。0的直径.

(2)如图②，若N8C£=60°,ZBAE=30°,BC=CE,AE=4,AB=3.求AC的长.

（3）在0。内是否存在其他点G,使N/MG+N4CG=90。?若存在，请给出证明；若不存在，请说明

理由.

【分析】（1）结合已知条件，利用直径所对的圆心角为180°即可证明；

（2）由题意可知△BCE是等边三角形，而AE,A8是已知的，因此将AC绕点C逆时针旋转60°得

CH,连接B”，则△AC”使4E,AB,4C建立联系，进而求解；

（3）参照第（1）间的解题思路，点G需要满足N84G,NBCG这两个角所对的圆心角和为180°,

因此从构造直径入手即可解决.

【解答】（I）证明：如图①，连接08,（）M,ON,

4B0M=24BAE,ZBON=2ZBCE.

ZBAE+ZBCE=90°,

:・NBOM+NBON=2NBAE+2NBCE=180°,

・・・。，M,N三点在同一直线上，

・・・MN是OO的直径；

(2)解：如图②，将4C绕点C逆时针旋转60°得C“，连接8"，则△AC"是等边三角形.

H

VZBC£=60°,BC=CE,

AZBCE-ZBCA=ZACH-NBCA,即NACE=N”CA,

在△ACE和△，CB中，

AC=HC

AACE=乙HCB,

CE=CB

:・XACE出XHCB(SAS),

；・NHBC=NAEC,BH=AE=4.

VZRAE+ZBCE=90°,ZB.4E+ZBCE+ZABC+ZAEC=360°,

・・・NABC+/A£：C=360°-90'=270°,

AZABC+ZHBC=270°,

・・・/AB”=360°-270°=90°.

在RtZXABH中，BH=4,AB=3,由勾股定理，得：AH=vAB2+BH2=5.

・・・AC=AH=5：

(3)解：存在其他点G,使N/3AG+NBCG=90°；理由如下；

如图③,在AC卜方任作直径JK,连接A/,CK,OB,AJ与CK相交于G,则有/BAG=三乙BOJ,ZBCG=

羟80K.

&A

w图③

•••N6Q"N60K=I80°,

・・・N8AG+N8CG=90°.

【点评】此题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等

三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解决问题.

23.（12分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作.若机器人从点4

（XI,y\）移动到点8（X2,满足户-yi="7（X2-X1）（/〃是常数，且〃[W0）,则称点4,8是

一共倾移动点对”.

（1）已知点A,8在反比例函数y=号图象上，其中点A的坐标为（1,2）,若点A,B是“1一共倾移

动点对”，则点4的坐标是一（-2,-1）.

（2）若机器人从直线）=息+3与曲线y=?（m工0）的交点A移动到交点8,若八和B是“I一共倾移

动点对”.且/B<3夜.

①求，〃的取值范围：

②若力8=或，求m的值.

（3）已知智能图形绘制器绘制的抛物线），=a[+公+c（〃>（））过点A（0,-3）,点。（1,s）是抛物

线对称轴上一点，且-3VsV0,点C为平面内一点，点8为抛物线上的动点.若四边形A8CQ为正方

1

形，则正方形A8CQ的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“：一共倾移动点对“？若存在，请求出

4

。的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）设8（%,马，根据点A,8是“1一共倾移动点对“得2-2=%-1,解方程即可求解；

xX

（2）①先根据新定义得到4=1,然后联立两解析式得到f+3x-〃?=（）,利用根的判别式和48<3企求

出〃?的取值范围即可；

②根据=四列方程求出用的值即可：

（3）先根据对称轴求出b=-2小即可得到抛物线的解析式为），=内2-2”-3,然后分为点B在点A

的上方或点A在点A的下方两种情况，分别根据全等三角形的判定和性质求出点B的坐标，然后根据

中点坐标公式得到点C的坐标，再根据新定义求出/的值，进而得到点B的坐标，代入解析式即可解题.

【解答】解：（I）已知点A,B在反比例函数y=|图象上，其中点4的坐标为（1,2）,点4,8是“I

一共倾移动点对”，设8（工,|）,

2

—2=x—1,

x

整理得：Ax-2=0,

解得：xi=-2,r=l（经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去），

:・B（-2,-1）,

故答案为：（・2,-1）；

（2）①机器人从直线丁=丘+3与曲线y=营。"00）的交点A移动到交点B,将A（xi,yi）,B（.V2>

”）分别代入得：

yi="i+3,）2=船2+3,

工）2-y\=k（X2-xi）,

乂•・•点A和B是“I一共倾移动点对”，

工左=1,

・••直线的解析式为y=x+3,

（y=x+3

联立得：_m,

整理得?+3x-w=0,

A=9+4心0,

9

-

4

.X2+X\=-3,X\X2=-，〃，

MB=J(%2-勺)2+优-%)2=&/(/+乃)2—4%1%2=j2(9+4m)