2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷与答案

2025・2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列交通标志是轴对称图形的是（）

2.（2分）下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成三角形的是（)

A.135B.336C.123D.346

3.（2分）在平面直角坐标系宜为中，点M（1,2）关于x轴对称点的坐标为（）

A.（1,-2）B.（-I,2）C.（-1,-2）D.（2,-1）

4.（2分）下列运算正确的是（）

A.B.a2*«=a2

C.（a2）3=a5D.Ca2b）2=a4b2

5.（2分）有些人可能有花粉过敏的现象，其实花粉粒的大小会膨响我们的防护方法.花粉粒的大小因植

物而异，一般在10到200微米之间.比如，春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在20到30微米，而

某些热带植物的花粉粒径则小于10微米.医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉高

发季节，外出时佩戴口罩可以臧少花粉吸入.若某种植物的花粉粒径为18微米，将18微米川科学记数

法表示应为（注：1微米=106米）（）

A.18X106米B.18X106米

C.1.8X105米D.I.8X106米

6.（2分）下列运算正确的是（）

2

A.3a-2=ynB.

C.（«2+l）°=0D.

7.（2分）根据以下作图痕迹，能得到△人8c的角平分线人D的是（）

1

AA

8.（2分）图1是一扇古建筑的窗杈，它的窗花格子由许多紧密连接的正三角形构成，图2是它的一部分.有

以下三个结论：①△ACO和△AEO全等;②△相＜?和△/1产G的面积相等；③△?1£：〃是一个直角三角形，

它的面积是△ABC面积的1.5倍.其中正确结论的个数是（）

图1图2

A.0B.IC.2D.3

二、填空题（本题共7小题，每小题2分，共16分）

9.（2分）分解因式：2〃2-4,由+2射=.

10.（2分）下面是“过直线AB外一点。作直线AB的平行线”的尺规作图方法.

（1）如图，过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；

（2）在点C处作NCEB的同位角//CD,使NFCD=NCEB；

（3）反向延长CD,得到直线CD,则直线CO〃AB.

上述方法通过判定△/CMg△GE”得到NR7O=NCEB,其中判定△户CMgAGEH的依据

2

11.（2分）如图，在△ABC中，ZBAC=90a,AB=6.A。是△A8C的中线，过点。作。交AC

于点E.若AABC的面积是24,则线段OE的长是

12.（2分）若关丁人的方程&2乂・％=1・zi的解为负数，则&的取值范围是.

13.（2分）某班计划开展“好书奥读”活动，同学们将自己的好书带到班级中，其他同学可以借阅，自愿

参加.计划苜批征集60本书，首批实际参与人数是原计划人数的2倍，平均每位同学比原计划少带了

3本.若设原计划首批参与人数为x人，则所列的方程是.

14.（2分）如图，在△ABC中，N8AC=a,点。是△A8C的外角NEAC的平分线和边8C的垂直平分线

的交点，则NDC8=（用含有a的式子表示）.

E

15.（2分）如图，在△ABC中，NAC8=120°,AC=BC=4,若尸是直线BC上的动点，则巴4+*8的

三、解答题（共68分，第17题6分，第18题7分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题,

每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（6分）计算：

(1)«Ca+b)+b(Z?-a)；

(2x+y)(2x-y)-4-

xy

17.(7分)计算:

(1)(m+n)2-(〃？-〃)(〃计3〃)；

3

m-11-n

(2)------+-----

(m-n)2(n-m)z

18.(5分)如图，在和AB。尸中，点4,B,C,。在同一条直线上，ZA=ZhCE//DF,AB=

19.（5分）如图，已知直线E尸和△ABC,点A,B在直线E尸上.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①过点C作直线Er的垂线，垂足为点G；

②作点C关于直线EF的对称点Ci；

（2）若点C到直线*'的距离为I,ZCW=30°,求线段4c的长;

（3）在（2）的条件下，若AB=2BC,求△A8Ci的面积.

20.（5分）如图，△4/3C是等边三角形，。是AC的中点，BEA.BC,AE//Bl）,CE交BD于点、F.

（1）求八月的大小：

（2）判断45所的形状,并证明.

21.（5分）先化简代数式，再在给定的5个数中选取一个合适的数代入求值：（冒法+百弟）+芸'

其中x从。，1,2,3,4中选取.

22.（5分）如图，在△ABC中，AB=AC,//3=30°,。为边8C上的一点（点P不与点、B,。重合）,

连接八尸，△八PC的两个内角E勺差恰好为90°.

（1）求NBAP的度数;

（2）若AP=〃，求8c的长（用含有〃的式子表示）.

4

A

23.（5分）在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，噪作步蛛为：

①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为小于100

的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码：③将三个因式码按从小到大的顺序排列（仅有一位的

因式码前面补0变为两位），形成六位数字密码.

例如选取多项式式■84,分解因式得到（4a2+b2）C2a+b）⑵-8）；取。=4,。=5时，4a2+^2=89,

2a+b=\3,2…=3,三个因式码分别为89,13,3；将这三个因式码按从小到大的顺序排列并补位后，

得到六位数字密码031389.

（1）依据该加密方式，对文件I加密时，选取多项式凶取尸%y=4,求形成的六位数字密码；

（2）依据该加密方式，对文件II加密时，选取多项式4?-X』,形成的六位数字密码的前四位为（）410.若

x，），分别表示文件U被加密时的月份和FI期，求4,y的值.

24.（6分）某物流公司使用A,B两个机械臂完成一批货物的码垛工作，若A,8单独完成该项工作，则

4所用时间是A所用时间的2倍.为提高效率，采取协同作业的方式：4,3共同工作1小时后，A经

算法优化工作效率提高50%,再与B共同工作2小时恰好完成全部工作.

（1）求A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间（列分式方程解决问题）；

（2）若该公司先将A,B的工作效率均提高50%,再协同作业，能否在2小时内完成该项工作？并说

明理由.

25.（7分）在△ABC中，ZBAC=120°,△ACO是等边三角形，点E在直线C。上，且8E=BC

（1）如图1,点。在AC的上方.

①来证：NACB=NDBE；

②用等式表示线段人力4C,CE的数量关系，并证明；

（2）点。在AC的下方，在图2中补全图形，直接用等式表示线段A&AC,CE的数量关系.

26.（7分）在平面直角坐标系X。」中，对于点产和垂直于x轴的直线/,给出如下定义：若点产关于直线

5

,的对称点P'的横坐标和纵坐标相等，则称点尸是直.线/的“等变换点”.

(I)已知直线/过点A(2,0)且垂直于x轴.在Pi(1,2),P2(1,3),P3(3,1)三个点中，直

线/的“等变换点”是；

(2)已知点8(4,1),C(4,-1),直线/】过点。(公0)且与x轴垂直，直线/2过点E*+0.5,0)

且与x轴垂直.以线段3。为边向右侧作正方形，若该正方形上既存在直线/I的“等变换点”又存在直

线/2的“等变换点”，则人的取值范围是；

(3)已知直线/过点M(〃?，D)旦垂直于x轴，过点产(2m，〃?+1)作尸G垂直直线/于点G.若以线

段FG为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线/的“等变换点”，则m的取值范围

是.

6

2025・2026学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678

答案BDADCDBC

60601

9.2(«-/?)2910.SSS11.3\2.k<-\13-=—4-314.90°-4a15.6

x2x2

选择题、填空题解法提示

8.解：如图，连接48,AC,AE,AF,AG,EG,

图2

设每个小正三角形的边长为1,则小正三角形的高为今，

①△ACQ和△AE。中，

CD=DE,ZCDA=ZEDA=120°,DA=DA,

•••△ACOdAE。(545),

故结论①正确，符合题意；

②SAABC=jBC*h=x2x=g,

VAF=4x亭=2V3,AAFG的高GH=

S"FG=2=~^9

•\S^ABC=S^AFGi

故结论②正确，符合题意；

③△4EF是一个直角三角形，直角边AF=2g,直角边石r=1,

:.S/y.AEF=\X2A/3xl=V3,

由②知△ABC面积

7

，△4后户的面积是△A8C面积的2倍，

故结论③错误，不符合题意，

综上，正确结论的个数是2个，

故选：C.

14.解：如图，过点。作。尸18E1于凡DGIAC^G,

•・F。是/E4C的平分线，DFLBE,DG1AC,

：,DF=DG,ZFAD=ZCAD,

•・•点D在边BC的垂直平分线上，

：.DB=DC,

:・/DBC=/DCB,

在RtABFD和Rt^CGO中，

(DB=DC

IDF=DG'

；・RSFDgRtACGD(HL),

：・4FBD=NACD,

ZBAC=a,

AZEAC=180°-a,

•・・/EAC是△ABC的外角，

••・ZEAC=ZABC+ZACB=ZDBC+ZDCH,

/.ZDCB=|ZEAC=90°-1a,

故答案为：90°-4a.

15.解：如图：延长AC,过点B作BOJ_AC于。点,

8

B

/

AC6P7D"

VZ4CB=120°,

••・N8CO=60°,

••・NCBO=30°,

VBC=4,

J在Rt^BCO中，CO=/BC=2,

TP是更线8c上的动点，

••・当尸运动到C点处，P'D=CD=^PB,

;此时A,P,,。在一条线上，

••・P4+2PB最小，

：,PA+^PB=AD,

乙

•：AC=BC=4,

：,PA+^PB=40=4+2=6,

乙

故答案为：6.

解答题参考答案

16.解：(1)原式=/+而4协2_帅

=a2+b2.

(2)原式二名产

xy

xy

=-y.

X

17.解：(1)(rn+n)2-(m-n)(m+3n)

=nr+lmn+n2-(w2+3w/?-inn-3772)

=rf^+lmn+n2-m1-3mn+mn+3n2

=4干2；

9

m-11-n

(2)------+------

(m-n)2(n-m)z

m-1,1-n

=------2+------2

(m-n)(m-n)

m—1+1—n

=~(?2-

(m-n)

m-n

=7

(m—n)

1

~m—n"

18.证明：•・•点A,B,C,。在同一条直线上，AB=CD.

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD,

*：CE//DF,

J/ACE=ND,

在△ACE和△B。尸中，

(LACE=LD

\AC=BD,

\LA=41

(ASA)

：.CE=DF.

19.解：(1)图形如图所示：

(2)根据(I)中作图，可知/于点G,CG=l,

在RtZkBGC中，NCGB=90°,

ZCBG=30°,CG=\,

:.BC=2；

(3)VBC=2.

；.AB=2BC=4,

根据作图，可知△ABCigZVlBC,

10

・"△八的=S"BC=\AB-C(；=1x4xl=2.

20.解：⑴々△ABC是等边三角形,

：.BC=AC,N4BC=NBCA=60°,

•・•点。是AC的中点,

/.ZABD=ZCBD=|ZABC=3O°,

YAE//BD、

：.ZBAE=ZABD=30°；

(2)48万尸是等边三角形，证明如下：

VBE1BC,

・・・NEBC=90°,

；・NEBF=/EBC・NCBD=60°,NEBA=NEBONABC=30°,

在△E48中，NBAE=NEBF=30°,

:・EA=EB,

在△E4C和△£水?中，

(EA=EB

\BC=AC,

ICE=CE

:•△EA84EBC(SSS),

：.NACE=NBCE=|zBCA=30°,

•••/BFE是△尸BC的外角，

：・/BFE=/CBD+/BCE=60°,

在△BEf'中，ZEBF=ZBFE=60°,

•••△8EF是等边三角形.

x-4

3r

总一2)

717

x(x—2)x(x—2)

。+2)(工-2)+双1一。.

加2)2

ii

-x(x-2)2・3x

—__x_—__4_•--3--%--

-x(x-2)2x-4

3

9

-(x-2)2

2,4,

••x=1,3,

当x=1时，原式=3=3；

(1-2)2

当x=3时，原式=-=3.

(3-2)2

22.解：(I)在△48c中，AB=AC,NB=30°,

AZB=ZC=30°,

・・・NB4C=180°-(ZB+ZC)=120°,

设N%C=a,

TP为边BC上的一点(点P不与点3,C重合)，

：.ZBAP=ZBAC-ZPAC=\20°-a,ZPAC<ZI3AC=\20°,

在△%C中，N4PC=180°-(Z^1C+ZC)=180°-(a+30°)=150°-a,

VZ/^C<120°,

AZ/^C-ZC<90°-ZC=90°,

又二△A产。的两个内角的差恰好为90°,

工有以下两种情况：

①当NAPC-N以C=90。时，

/.1500-a-a=90°,

解得：a=30°,

：.ZBAP=\200-a=90°,

②当NA尸C-ZC=900时，

/.150o-a-30°=90°

解得：a=30°,

AZBAP=120<>-a=90°,

综上所述：/HA0的度数为90°；

(2)由(1)得：ZB4C=a=30°,/B=NC=30°,ZB4P=90°,

12

.-.ZB4C=ZC=30°,/XBA尸是直角三角形,

：,CP=AP,

在RtaZMP中，ZB=30°,

：.BP=2AP,

，BC=BP+CP=3AP,

,

：AP=nf

，8C=3〃，

即BC的氏为3”.

23.解：(1)x4-.y4

=(x2-y2)(7+/)

=(f+f)(A+J)(%・y),

当x=9,y=4时，，+)2=97,^+y=i3,x-y=^.

生成的密码是051397.

(2)4?-xy1=x⑵+y)(2.v-y),

因为x,y都是正整数，

所以2x+y>x,2x+y>2x-y,即2x+y的值最大，

当："s时，解得%不符合实际意义，舍去：

(2x-y=10(y=-2

当=，时，解得卜二：?'符合实际意义.

(2%-y=4(y=16

答：x,y的值分别为10,16.

24.解：(1)设A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是x小时，则8单独完成该项工作所用

的时间是2x小时,

由题意得4+/+2(1+50%1

+—）

x2x

解得：x崂,

经检验，％=芸是原分式方程的解，且符合题意.

11

答：A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是万小时:

(2)不能在2小时内完成该项工作，理由如下：

:2x1.5x（豆+=）=3x得=白VL

13

B效率均提升后协同作业，不能在2小时内完成该项工作.

25.解・：(1)①证明：•・•△ACO是等边三角形，

JZACD=ZADC=NDAC=6()c，

VZ^C=120°，

・・・NR4C+/OAC=I80°，

A,。三点在同一条直线上，

•；BC=BE,

：,ZBCE=ZBEC,即NACB+60°=ZDBE+60a,

/./ACB=NDBE；

@AB+BC=AC,

证明：过点石作E/〃AC,

则有NA尸f=N£MC,ZDEF=ZDCA,ZBFE=ZBAC,

:△AC。是等边三角形，

：,AC=AD,ZDCA=ZCAD=ZADC=60°,

：./DEF=/DFE=/EDF=60°,

・•・△£)£尸是等边三角形，

:.DE=DF,

：.ADDF=CDDE,

HPAF=CE,

在△ABC和△尸EB中，

LACB=乙DBE,

乙BAC=£EFB,

(BC=EB,

:、△AB8XFEB(A45).

14

：.AC=BF,

,：BF=AB+AF,

：,AC=AB+CE；

(2)线段44,AC,CE的数量关系是CE=AC+2A〃，

理由：补图如下，过E作G产〃4c交A8,A。的延长线于尸，G,

•・・N8AC=I20°,△AC。是等边三角形,

・・・NC4O=NB4O=60°,

AZAFG=180°-NBAC=60°,

AZAFG=ZFAG=6Q°,

•••△AGF是等边三角形，

：.AF=FG=AG,

VZBAC+ZACD=120°+60°=180°,

：.AF//CE,

：,ZDEG=^AFE=()0o,

•••△OEG是等边三角形，

：.DE=EG,

:,EF=CD=AC,

过？作EJ//AD交AF于J,

:.NJEF=NG=60°,

•••△EE/是等边三角形，

：.JE=EF=JF,

:・AC=JE=JF,ZFJE=60°,

••・N8/E=NZMC=120°,

=BE=BC,

15

，ZBEC=ABCE,

VZJEC=1800-ZJEF-ZDEG=60°=ZACD,

/ACB=/BEJ,

:.△BEJQXBCA(ASA),

：.CE=CD+DE=EF+EG=AF=2AB+JF=2AB+AC.

26.解：(1)•・•直线/过点4(2,0)且垂直于x轴,

工直线/的解析式为x=2,

VPi(1,2)关于直线x=2的对称点为(3,2),

APi(1,2)不是直线/的“等变换点”；

VP2(1,3)关于直线％=2的对称点为(3,3),

：-P2(L3)是直线/的“等变换点”：

•・・P3(3