高考数学全程复习 平面向量的应用

平面向量的应用

〃电’⑤题型讲解

题型一向量与平面几何

［例1］(1)如图，在平面四边形片8c。中，ABA.BC,ADLCD,Z5JD=120°,AB=AD

=1.若点E为边CD上的动点，则成•族的最小值为0

A.—21B.3k：.—25D.3

16216

(2)［2020•江苏卷］在。中，月6=4,AC=3,Z41。=90%。在边6c上，延K月。

到尸，使得力0=9,若底=/〃丽+2-”［或?(加为常数)，则CD的长度是.

［听课记录］

类题通法

平面几何问题的向量解法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这弹就

能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的关系，利用向量共线构造关于没定

未知量的方程来进行求解•.

巩固训练1：(1)［2021•山东潍坊模拟］如图，在梯形/8CO中，AB//CD,CD=2,ZBAD

=-,若彘•衣=2赢而,则疝石=

4

(2)已知△力3C的三边长JC=3,BC=4,AB=5,P为AB边上任意一点，则不•(扇一南

的最大值为.

题型二向量与三角函数

［例2］已知向量。=(cosx,sinx),6=(3,—3),x£［0,兀］.

(1)若。〃b,求，的值;

(2)记仍，求.公)的最大值和最小值以及对应的x的值.

［听课记录］

类题通法

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直的等式成立,

得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解

题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

［2-2］

巩固训练2：在平面直角坐标系xOy中，已知向量/〃=122),/i=(siiiv,co&x),

⑴若，〃_L〃，求tanx的值;

(2)若m与〃的夹角为:，求x的值.

题型三向量与解三角形

［例3］［2021•山东烟台诊断性测试］在△4?C中，内角4B,C所对的边分别为小b,c,

已知c—2b),w=(cosC,cos/)，且

(1)求角力的大小；

(2)若/)+c=5,△/BC的面积为3,求a

［听课记录］

类题通法

(1)破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三.南公

式对三角函数进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现

的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化.

(2)这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余

弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”.

巩固训练3：在△XBC中，设4B,C的对边分别为。，b,c,向量〃i=(cos/,sinJ),

〃=(2—sin/LcosA),且|/w+〃|=2.

(1)求角力的大小：

(2)若b=42,c=2a,求△/AC的面积.

考⑤命题预测

［预测1］核心素养——逻辑推理数学运算

在△IB。中，AB=5,AC=6,cosA=\。是△zib。的内心，若沆，其

中x,y£［O,l］,则动点。的轨迹所覆盖图形的面枳为0

A.106B,146C.43D.62

33

［预测2］新题型——解答题

在①函数/(力:)后融⑺+⑴卜＞0'何＜；)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象,

g（x）图象关于原点对称；②向量"，=（3sincox,cos2cox）,〃=b°s""'4],co>0,/（x）=/«•〃；

③函数儿》）=（：05公心1』”"+6）—1（（^>0）这三个条件中任选一个，补充在卜面问题中，并解答,

4

已知，函数/（》）的图象相邻两条对称轴之间的距离为;

⑴若0<伙;且sinO=；,求火0）的值；

（2）求函数4丫）在[0,2兀]上的单调递减区间.

状元笔记

平面向量与三角形的“四心”

1.三角形各心的概念介绍

重心：三角形的三条中线的交点：

垂心：三角形的三条奇线的交点；

内心：三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；

外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）.

根据概念，可知各心的特征条件.比如：重心将中线长度分成2:1：垂线与对应边垂直;

角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等.

2.三角形各心的向量表示

（1）0是AABC的重心<=>6X+6b+6fc=o；

（2）o是AABC的垂心台公b6d=636X；

（3）o是AABC的外心o|6X|=|db|=|庆|（或公』加』庆2）：

ABAc]（jA§C]fcACBI

（4）0是△ABC的内心崩1|AC|J=OB-l|BA||BC|J=0cl|CA||CB|J=0.

CABAC

注意；向量』涌|/JGK0）所在直线过AABC的内心（是NBAC的角平分线所在直

线)

题型归纳

1.将平面向量与三角形外心结合考查

［典例I］若O为AABC内一点，|公|=|加|=|充|,则0是4ABC的0

A.内心8.外心C.垂心。.重心

【解析】由向量模的定义知0到4ABC的三顶点能离相等，故0是4ABC的外心，

故选B.

【答案】B

2.将平面向量与三角形垂心结合考查

［典例2］点P是aABC所在平面上一点，若冰•丽=丽•证=帝:则点P是4ABC

的()

A.外心B.内心C重心。.垂心

【解析】lhPAPB=PBPC,得五•诒一诒4^=0,HPPB(PA-PC)=0,即品己=0,

则PB1CA.

同理PA_LBC,PCJ_AB,所以P为AABC的垂心.故选D

【答案】。

3.将平面向量与三角形内心结合考查

［典例3］0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足加=6X+

ABAC

十

ll|AB||AC|J»1^(0,4-oo),则点P的执迹一定通过AABC的0

A.外心8.内心C.重心。.垂心

油一一一一

【解析】因为一是向量AB方向上的单位向量，设AB与AC方向上的单位向量分别为白

|AB|

和言，又办一5=万,则原式可化为苏="流+原)，由菱形的基本性质可知力P平分/比1C,

那么在△48C中，4P平分NBAC,故选B.

【答案】B

4.将平面向量与三角形重心结合考查

［典例4］点P是所在平面内仔一点.G是△初。的重心台布二；(说+而+曲).

【证明】'：PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG,

・・.3元;=（乃+前+&；）+（函+而+正）.

•・•点G是△力8c的重心，/.GJ+CT+GC=O.

・••元+苑+G=0,即3的=&+而十元.

由此得元;=；（诙+而+元）.

反之亦然（证略）.

5.将平面向量与三角形四心结合考查

［典例5］已知向量加|“京2,加3满足条件（为+苏2+（防3=（），K而|=|加2|=|加3|=1，

求证：APlP2P3是正三角形.

【证明】由已知条件可得赤l+C亦2=一（防3,两边平方，

得加|•奥2=一1.

2

—►—►—►I

同理OP20P3=OPyOP\=-.

2

即NPQP2=NP20P3=/尸。心=120。，

・・・|帝2|=|前3|=|曲||=3.

从而△P|P2P3是正三角形.

第2课时平面向量的应用

课堂题型讲解

题型一

图1

例1解析：（1）方法一：如图1,以。点为坐标原点，D4所在直线为x轴，QC所在直

线为），轴，建立平面直角坐标系.

・・・/（1,0）,击，在平面四边形力8C。中知。。=、区

22

・•・设。七二々£［0,SD，；・£（0,0.

，病算=（一1,/）卜2'L2）=3+[_3,=bJ+21

2216

q—>—>o1

・•・当/=:时，（/£8E）min=.

416

方法二：易知OC=3,NC/£>=60。，设。E=x（O〈xW3）,则崩•盛=（元5+方]（扇

+疝+反）=1X1Xcos600+l2+0+xX1XCOS150°+0+X2=C4J2+21>21.

1616

图2

方法三：如图2,取力B的中点F,连接E尸，则企•崩=茂・诵=（评+育）•（济一法）=俞

一成2=定一L可知当且仅当।泳।最小时近.砺取最小值，分别过凡8作CO的垂线，垂足

4

分别为〃，G,当点£与以重合时，七户取到最小值，易知叱为梯形D48G的中位线，由

已知得18Gl=3,\AD\=1,则"F|=|"1=I（|8G|+MO|）=5.故而•赤的最小值为21.故选A.

22416

（2）解法一：以点力为坐标原点，的方向为x轴的正方向，AC的方向为y轴的正方向

建立平面直角坐标系，设诙=，无，Ae[0,l],则0（4九3—32）,AD=AC+kCB=XAB+（\

-A）JC,又点尸在彳。的延长线上，则可设存=/3,又应=m（而-的）+贝=小量

+；元，则眉=加盛一否+；（元一丽，；力=〃凝+『〃”石则2〃酸+（3—2〃庆=

AP=nAD=^iAB-\-n{\—X\AC,所以2m="，3—2加="一"，所以"=3,又4P=9,则力£>

=3,所以（44+（3—3/1）2=9,得或2=0,则|函=；；|函=；；X32+42=]或|国=

0X|C5|=0.

解法二由题意可设屈（=亦5=纵丽+（1—〃）后]="而+Q—加元'，其中A>1,O0W1,

=tn,

3\PA\3一

又诙=加两+一〃腐所以得2=；,即_=2又PA=9,则|PD|

12\PD\2

=6,|力。|=3,所以4O=4C.当。与C重合时，CQ=0,当。不与C重合时，相NACD=

rr)AD

ZCDA,所以/。。=180。-2/力。，在△力。。中，由正弦定理可得

sinZCADsinZ/fCZ),

则CD

y/Dsin(180°-2Z/lCD)sin2N4C。，八./℃八，3、/.18

='-AD=2cosZACDAD=2XJX3=.

sinZ/4CDsinZJCD55

综上，C£>=18或o.

1Q

答案：(1)A(2)：或0

巩固训练1解析：⑴方法一：因为凝・k=2就・石，

所以还后一疝仄

所以疝庆=疝历.

因为48〃CO,CQ=2,ZBAD=n,

4

所以2|A5|=|j5||jb|cos71,

4

化简得|花|=22.

故石后=石(而+5b=|石产+石灰=(22>+22X2008^=12.

4

方法二：如图，建立平面直角坐标系

依题意，可设点。(〃?，〃?)，C(〃?+2,〃?)，8(几0),其中〃?>0,〃>0.

则由彳力•左二2励

得(几0>(〃?+2,m)=2(w,0)(/M,7M),

所以〃(/??+2)=2nm,化简得〃?=2.

故力。4c=(〃?，，”>(〃；+2,"。=2，，产+2，〃=12.

(2)方法一(坐标法)：由已知得力C_L4C,所以以C为原点，建立平面直角坐标系如图所

示，设尸点坐标为(x,y)且OWyW3,OWxW4,则丹=(x,y),就=(一4,3),反?=(-4,0).，百•(法

-BC)=&CA=(xty)(0.3)=3y,当y=3时，取得最大值C

方法二(基向量法)：*•不=8+万，BA~BC=CAt

：,&(BA-BC)=(CA-}-APyCA

=CA2+APCA=9-APAC

=9一丽就|cosN砌C

=9-3而cos/切C

•・・cosN历1C为正且为定值，

・•・当法|最小，即液=0时，[卜(屈一诙)取得最大值9.

答案：(1)12(2)9

题型二

例2解析：(1)・・%〃力

-3co^i=3siiLr

・，3

・・tanx=—

3

VxE[0,7t]

・_57r

一6。

(2)由外)=a协得

Xr)=3cosx-3s\nx

卜+H

=23cosI6)

Vxe[o,K]

nlit

・・.x+"_6'6_

6

当即工=?时，/(x)取得最小值为-23,

66

当即x=()时，人工)取得最大值为3.

66

巩固训练2解析：因为胆=(2，-？],

〃=(sinx,co&r),mJ.n.

所以/w〃=0,即金©11¥一也cosx=0,

22

所以sinv=cosx,所以tanx=I.

⑵因为加|=|〃|=1,

TT]mi

所以/w/i=cos=,则一・〃，\s\up6(--)),M\s\up5(-*)川〃，\s\up6(-*))|)=,

加2•21

即sinx-cos.v=,

222

所以sin]"J」，

2

因为

2

所以

444

所以x—兀=几，即工=5兀

4612

题型三

例3解析：⑴由/〃_!_〃，得/M-/J=O,

即2/)cosJ=acosC+ccos/，

由正弦定理得2sinBcosJ=sinJcosC+sinCcoS/4,

即2sin8cos4=sin(4+C).

Vsin(J+C)=sin(7r—5)=sinZ?,

.••2sin4cos/=sin&即sin^(2cos/l_1)=0,

V()<5<7t,.'.sin5T^O,.•.cos/=L

V0<J<7t,AJ=71.

3

⑵由3,可得jcsin/=3,

:・bc=4,,"+c=5,

由余弦定理得a2=b2-\-c2—2bccosA=(b-\-c)2—3bc=\3,

：,a=13.

巩固训练3解析：(I)*，〃+〃=(2+cosJ—sirvl,cos/f+sinJ),

,•\m-\-n\

=(2+cos/f—sin^)2+(cosJ+siivl)2

*.,|m+w|=2,sink4j=0,

又()<A<7t,

・7c,/冗,3冗

..—<A—<

444

：.A-n=0即4T

4t4

n

(2)Vc=2a,A=f

4

sinCc

...c==2,

asin/I

.\sinC=1,

又0<C<7t,：.C=n.

2

•••△RBC为等腰直角三角形,

Sj8c=；X(42>=16.

高考命题预测

预测I解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以08,OC为邻

边的平行四边形及其内部，其面积为△8OC的面积的2倍.

在△片8c中，设内角.4,8,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理Q2=〃+/—2bccosJ,

得a=l.

设△力8c的内切圆的半径为广，则

^>cs\nA+占+<?)/,,解得

3

2水=7水

所以S^oc=-^aXr=-XJX

223-3

故动点。的轨迹所覆盖图形的面积为2s田。=噂.

故选B.

答案：B

预测2解析:方案一：选条件①

T—2兄—•—1

由题意可知,T——兀，••to—1*

1a)

:./(x)=$in(2x+勿),

“a尸轲卜+Yl

又函数g(x)图象关于原点对称,

：・(/)=kit+£k£Z,

・1何〈、，..夕一/，

2o

1伍+叶

=

«**/(-v)2sinl6j,

(l)V0<6kH,・・・sin9=2,.\^=7t,

224

•W)=J4]=*sin^=?；

234

(2)由江+2£兀.2工+%W37c+24兀,kWZ,得兀+A兀WxW2n+E,k《Z,

26263

令k=0,得[WxwH

63

令人=1,得7兀WxW叫

63

prr27T7n5n

・•・函数人制在［0,2兀］上的单调递减区间为I6’36,3

方案二：选条件②

Vm=(3sin(yx,cos2(m),

fl11

COSft>X,

〃=124J,

・〃、3..1113sin2s+%os2①x]1.(2①x+九

--J(x)=jtfn=sin«KCosa)x+cos2a)x=122